Комплексные числа (избранные задачи) - Математика дипломная работа

Главная

Математика
Комплексные числа (избранные задачи)

Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
по специальности 050201.65 математика
(с дополнительной специальностью 050202.65 информатика)
1. Введение……………………………………………………...…………..…
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме….……...……….….
2.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………..…
2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………
2.5. Комплексные числа и параметры………...……………………...….
3. Заключение…………………………………………………….................
4. Список литературы………………………….…………………...............
В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.
Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.
В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.
В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.
В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.
Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.
При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.
Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.
В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:
1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.
2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.
2 . Комплексные числа (избранные задачи)
2 .1. Комплексные числа в алгебраической форме
Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида
где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение
Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения
Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению
Символ называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида
Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.
Итак, комплексными числами называются выражения вида
где и - действительные числа, а - некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число - его мнимой частью. Для их обозначения используются символы
Комплексные числа вида являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.
Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства
Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида
1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:
2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:
5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:
9. Любому комплексному числу соответствует противоположное комплексное число такое, что .
10. Всякому комплексному числу отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число такое, что .
Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r, т.е. если , где n - натуральное число, то
Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , если
2. Для любого действительного числа a справедливо равенство
3. Для любого действительного числа b справедливо равенство
7. Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.
Модулем комплексного числа называется действительное число вида
Если число является корнем уравнения
с действительным коэффициентами a0 , a1 , …, an , то число также является корнем уравнения (1).
Извлечение квадратного корня из комплексного числа . Пусть
где x и y - действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем
Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле
В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если , и знак минус, если .
Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения , если:
Так как , то это уравнение можно записать в виде или . Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем , откуда , .
Учитывая, что , преобразуем это уравнение: , , , , откуда , .
Задача 2. Найдите x и y, для которых .
Получим и решим систему двух уравнений:
Задача 3. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут противоположными?
Комплексные числа и будут противоположными, если выполняются условия:
Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут равными?
Комплексные числа и будут равными, если выполняются условия:
Задача 6. Решите уравнение относительно действительных переменных x и y.
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .
Так как , тогда корни находятся по формуле
Полагая , получим уравнение , которое имеет корень . Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена и квадратного трехчлена.
Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера:
Квадратный трехчлен имеет корни и .
Следовательно, исходное уравнение имеет корни: , , .
Корни данного уравнения находятся по формулам
где и - числа, удовлетворяющие условию . Отсюда . Пусть , тогда , т. е. . Два комплексных числа равны, следовательно, равны их действительные и мнимые части:
Находим два решения этой системы: , . Таким образом,
решениями исходного уравнения являются числа , и
Задача 10. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:
Задача 11. Произведите следующие действия над комплексными числами:
Задача 12. Запишите комплексное число в виде .
Задача 13. Найдите значение функции при .
Задача 15. Выполните указанные действия: .
Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: и . Найдем сумму и произведение этих корней: , . Число 4 - это второй коэффициент уравнения , взятый с противоположным знаком, а число 13 - свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если и - корни уравнения , где , .
Задача 17. Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющий корень .
Второй корень уравнения является числом, сопряженным с данным корнем , то есть . По теореме Виета находим
где число 2 - это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 - свободный член. Таким образом, получаем уравнение
Задача 19. Зная, что корнем уравнения является число , найдите все корни данного уравнения.
Поскольку все коэффициенты данного уравнения - действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число также является корнем данного уравнения.
Пусть - неизвестный корень уравнения , тогда , где
Разделим обе части последнего равенства на , получим .
Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Пусть - искомое комплексное число, где x и y - действительные числа. Тогда число , сопряженное числу , равно .
Преобразовав это уравнение, получим: .
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:
1) . Тогда система равносильна системе: , которая
2) . Тогда система равносильна системе , которая имеет два решения: и .
Итак, искомых чисел четыре: ; ; , из них два числа и - действительные, а два других и - комплексно сопряженные.
Задача 21. Известно, что , . Найдите:
Задача 22. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут сопряженными?
плексно сопряженными, если выполняются условия:
Отсюда легко следует доказываемое тождество.
Задача 24. Докажите, что если число является чисто мнимым, то .
По условию , где b - действительное число, тогда , , .
Пусть . Тогда данное уравнение запишется в виде , откуда . Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому для нахождения неизвестных x и y получим систему:
Из второго уравнения этой системы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде или . Отсюда находим или . Таким образом, числа , , являются решениями данного уравнения.
При y=0 для нахождения x получаем уравнение . Отсюда следует, что x=0, и тем самым .
Задача 27. Решить систему уравнений:
После преобразований данная система принимает вид
Решение полученной системы является пары и . Таким образом, исходная система имеет два решения и .
Задача 28. Докажите, что если , то .
Предположим, что существует такое комплексное число , , для которого выполнено неравенство . Тогда , или .
то и - действительные числа. Поэтому из последнего неравенства получим неравенство: .
Полученное противоречие доказывает утверждение.
По формулам корней квадратного уравнения имеем: .
Извлекая корень квадратный из числа , получаем .
Задача 30. Извлеките квадратный корень из комплексного числа .
Извлечем квадратный корень из комплексного числа по формулам:
Можно сделать проверку по теореме Виета:
Пусть , . При каких действительных значениях a и b выполняется условие ?
Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему
2 . 2. Геометрическая интерпретация комплексных ч и сел
Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число (см. рис. 1).
Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число называется комплексной координатой точки (a; b).
Поскольку при указанном соответствии действительные числа изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа , называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексное число может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа
модуль комплексного числа равен длине вектора .
Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны и соответственно.
Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда
Учитывая, что комплексная координата вектора равна , получим .
Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:
Множество точек - верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую (рис. 4).
Множество точек - левая относительно прямой полуплоскость, включая прямую (рис. 6).
Множество точек - прямая . (рис. 7).
е) Если , то условия и означают, что и . Множество точек - часть плоскости, ограниченная снизу прямой , справа , исключая указанные прямые (рис. 8).
ж) Если , то , и условие означает, что , т.е. . Множество точек - прямая (рис. 9).
з) Если , то при условие, что сумма отлична от нуля, имеем , поэтому . Следовательно, , откуда получаем уравнение:
Таким образом, множество точек - это окружность с центром в точке O радиуса , у которой «выколота» точка (рис. 10).
Множество точек - окружность с центром в начале координат радиуса 1.
к) По условию , поэтому , т.е. , , , . Последнее условие означает, что либо , либо . В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку . Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа неотрицательна.
Приходим к выводу: искомое множество точек - положительная полуось Ox с началом в точке .
Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек , удовлетворяющих условию:
а) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и точкой . Поэтому заданному условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке (рис. 11).
б) . Для каждого число равно расстоянию между точкой и началом координат. Поэтому условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами и соответственно (рис. 12).
в) . Из определения главного аргумента комплексного чи-сла следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол с положительным направлением оси Ох.
г) . Пусть . Тогда данное соотношение перепишется в виде или .
Таким образом, , и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых . Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки и , восстановленный из его середины.
д) Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точ-ке , и второго квадранта (рис. 15).
Задача 37. Докажите, что расстояние между точками и равно .
есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками и .
Задача 38. Докажите, что если точка не совпадает с точкой , то равенство задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину.
Все точки , удовлетворяющие равенству , равноудалены от точек и и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину. Обратно, все точки этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству , следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.
Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам , для которых .
Представим выражение в виде разности двух комплексных чисел: . Тогда становится ясно, что равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом 2.
Неравенству удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности , тогда неравенству соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.
Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: , поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).
Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: .
Равенство является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств , , следует равенство , а значит, , т.е. .
Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).
Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .
. Следовательно, . Таким образом, , , то
Этим числам соответствуют три точки: A (), B () и C (). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18).
Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .
Получили две точки: B () и C () (рис. 19).
Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: и . Если , где x и y - действительные числа, то получаем следующие неравенства: , , , , . Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).
Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и . Если положить , то получаем следующие неравенства:
Искомая область - круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).
Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Неравенство при равносильно неравенству или . Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).
Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: .
Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(-0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.
Задача 47. Из всех чисел , удовлетворяющих условию , найдите такие, что принимает наименьшее значение.
Уравнение задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу , до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина принимает наименьшее значение.
Действительно, для точек P и Q значение равно длине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.
Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением . Решим систему
Уравнение имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа и .
II способ. Пусть . Тогда (см. I способ);
Найдем пары (x; y), для которых достигается минимум функции при условии . Поскольку функция принимает не отрицательное значения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции ц можно рассматривать минимум функции
Преобразуем последнее выражение к виду
Произведем замену и найдем значение t, для которых достигается минимум функции или , или после замены - те значения p, при которых минимально выражение .
Исследуем функцию с помощью производной. Имеем ; , если , т.е. если , а . Последнее равенство выполняется при .
Нетрудно убедиться в том, что если , то , т.е. убывает, а если , то , т.е. возрастает. При функция принимает наименьшее значение.
Значению соответствует , при . Отсюда, учитывая соотношение , находим , или , и получаем окончательный ответ.
Замечание. Конечно, II способ более трудоемкий, но вместе с тем и более универсальный. В частности, если бы на отрезке AB не нашлось ни одной точки, удовлетворяющей заданному в условии равенству, то решение I способом было бы вообще невозможно.
Задача 48. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .
Представим в виде и преобразуем заданную дробь:
Неравенство перепишем в виде . Это соотношение задает круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1;0) принадлежит кругу, однако ее координаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множество изображено на рис. 25.
Задача 49. Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию: , найдите число с наименьшим модулем.
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел и w величина равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числами и w. Точки, соответствующие числам , для которых выполняется равенство , равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а, следовательно, образуют прямую . Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1). Она соответствует числу - числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.
Задача 50. Пусть M - множество точек комплексной плоскости таких, что ; K - множество точек комплексной плоскости вида , где . Найдите расстояние между фигурами M и K.
. Множество точек M комплексной плоскости, удовлетворяющих данному условию, есть окружность с центром в точке O1 (0; ) и радиусом 0,5.
По условию, , т.е. . Полагая , имеем и .
Множество K точек комплексной плоскости, удовлетворяющих этому условию, есть окружность с центром в точке O2 (-; 0) и радиусом 0,5. Так как окружности M и K не имеют общих точек, то расстоянием между ними (рис. 26) является длина отрезка PN линии центров, т.е. .
Замечание. Геометрическое обоснование того, что длина отрезка PN есть расстояние между данными фигурами, весьма просто. Действительно, возьмем на окружностях K и M такие точки N1 и P1 соответственно (рис. 27), что , . Для ломанной O1P1N1O2 и прямой O1O2 выполняется неравенство O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Вычитая из обеих частей неравенства сумму радиусов, получаем P1N1 > PN.
Запишем неравенства . Таким образом, . Это значит, что расстояние от точек фигуры M до точки O1 (0; ) постоянно и равно 0,5. фигура M - окружность с центром в точке O1 и радиусом 0,5. Условие означает, что множество K получено поворотом точек множества M на угол вокруг начала координат, т.е. представляет собой окружность с центром в точке O2 (-; 0) и радиусом 0,5. Дальнейшие рассуждения такие же, как при решении I способом.
Задача 51. Найдите наибольший модуль комплексного числа , удовлетворяющего условию .
Так как , а . Это круг с центром в точке A (3; 4) и радиусом .
Поскольку OA= 5, , имеем . Среди точек круга существует точка , для которой . Это точка пересечения границы круга и продолжения отрезка OA.
Задача 52. Решите систему уравнений
Так как , то . Это множество - серединный перпендикуляр к отрезку AB, где A (0; 2), B (0; 4) - точки, соответствующие числам и . Уравнение этого перпендикуляра есть . Из второго уравнения системы имеем . Пусть , тогда . Так как для каждой из искомых точек, то ; . корнями этого уравнения являются числа 2 и - 4. системе уравнений удовлетворяют 2 числа: и .
Задача 53. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию .
, . Исходное неравенство перепишется так: . Последнее неравенство можно заменить системой двух условий: и , или и .
Искомое множество изображено на рис. 28. Отметим, что граница множества (прямая ) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).
Задача 53. Множество точек комплексной плоскости определяется условие . В каких пределах изменяется .
Множество точек, заданное условием , определяется на комплексной плоскости круг с центром в точке и радиусом 1. такой круг в системе координат xOy задается неравенством .
Пусть , тогда , , . Задача сводиться к определению границ, в которых может изменяться соотношение при условии . Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях система
Последняя система равносильна следующей:
Эта система имеет решения тогда, когда имеет решение квадратное неравенство . Так как коэффициент при положителен, то оно имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена в его левой части неотрицателен. Имеем
2 .3. Тригонометрическая форма комплексных ч и сел
Пусть вектор задается на комплексной плоскости числом .
Обозначим через ц угол между положительной полуосью Ox и вектором (угол ц считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае).
Обозначим длину вектора через r. Тогда . Обозначим также
Запись отличного от нуля комплексного числа z в виде
называется тригонометрической формой комплексного числа z. Число r называется модулем комплексного числа z, а число ц называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Arg z.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа - (формула Эйлера) - показательная форма записи комплексного числа:
У комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если ц0 - какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти по формуле
Для комплексного числа аргумент и тригонометрическая форма не определяются.
Таким образом, аргументом отличного от нуля комплексного числа является любое решение системы уравнений:
Значение ц аргумента комплексного числа z, удовлетворяющее неравенствам , называется главным и обозначается arg z.
Аргументы Arg z и arg z связаны равенством
Формула (5), является следствием системы (3), поэтому все аргументы комплексного числа удовлетворяют равенству (5), но не все решения ц уравнения (5) являются аргументами числа z.
Главное значение аргумента отличного от нуля комплексного числа находиться по формулам:
Формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеют следующий вид:
При возведении в натуральную степень комплексного числа используется формула Муавра:
При извлечении корня из комплексного числа используется формула:
Представим решение данного выражения в показательной форме записи комплексного числа: .
Тогда , . Поэтому , тогда и , где .
Задача 55. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда:
Задача 56. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа
Задача 57. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия: .
Представим числа и в тригонометрической форме.
Находим значение главного аргумента :
Подставим значения и в выражение , получим
Далее, применяя формулу (9) получим:
Полагая k=0, 1, 2, получим три различных значения искомого корня:
Задача 58. Пусть , , , - различные комплексные числа и . Докажите, что
а) число является действительным положительным числом;
а) Представим данные комплексные числа в тригонометрической форме:
Последнее выражение является положительным числом, так как под знаками синусов стоят числа из интервала .
так как число вещественно и положительно. Дей
Комплексные числа (избранные задачи) дипломная работа. Математика.
Контрольная Работа По Географии 4 Четверть
Курсовая работа по теме Проект организации строительства 16-этажного монолитного дома
Пугачев Как Личность В Капитанской Дочке Сочинение
Реферат: Организация и порядок учета кассовых операций 2
Реферат по теме Россия в первой половине 19 века
Реферат: К вопросу об общем понятии договора
Реферат: Кредитная система России 3
Реферат: Важнейшие особенности процесса развития АПК в России
Как Правильно Сделать Дипломную Работу
Контрольная Работа На Тему Творчество Фонвизина. Образ Эраста В Повести Карамзина "Бедная Лиза"
Закон Сарбейнса Оксли Реферат
Реферат: Философия как «служанка теологии»: удался ли схоластический эксперимент?
Курсовая Работа На Тему Основы Взаимодействия Предприятия С Деловыми Партнерами
Христианская мистика.
Курсовая Размер Шрифта
Братья Стругацкие Собрание Сочинений Скачать
Курсовая работа по теме Організація безготівкових розрахунків
Реферат: Тыловое обеспечение дивизиона. Скачать бесплатно и без регистрации
Понятие Вещного Права Курсовая
Мини Сочинение На Тему Зачем
Субъекты римского права - Государство и право лекция
Нуклеиновые кислоты. Обмен веществ и энергии в клетке - Биология и естествознание реферат
Договор аренды - Государство и право контрольная работа