Коли всього на світі часу замало

Ця трагічна історія починається з задачі:

Дарина вирушає у подорож глибоким космосом. Вона прощається з Володимиром, залазить у косморабель та запускає двигуни, які починають відштовхувати ракету від Володимира з прискоренням 3000 км/с^2. Через дві хвилини, Володимир викрикує в комунікатор "Я кохаю тебе!". Чи отримає Дарина його повідомлення?

Дисклеймер: не припиняйте читати просто через те, що тут якась Особлива Теорія Відносності. Наслідки насправді куди класичніші і осяжніші.

Накладання обмежень, себто встановлення припущень

Більшість задач у фізиці, як і в інших науках, не можуть бути розв'язані без припущень, які не просто спрощують задачу, але й дозволяють отримати приємний, читабельний математичний результат, звичайно ж не дуже застосовний. В даному випадку, гравітацію в околі перебування Володимира та Дарини вважаємо відсутньою, що дозволяє постановити рух прямолінійним. Начебто все!

Тепер введемо систему координат, в якій працюватимемо. Зручно поставити її початок у місці перебування Володимира та вести лік часу за його годинником. Лишається розрахувати рух Дарини, який починається в момент часу t=0 з точки х=0 з нульовою початковою швидкістю і прискоренням, спрямованим у додатньому напрямку. Постає питання: якщо у Дарини стале прискорення, то зовсім згодом вона перевершить швидкість світла? Давайте розбиратись.

Особлива теорія відносності (Special Theory of Relativity) дозволяє працювати з фізичними процесами, у яких задіяно прискорення, через вважання систем відліку щомиті інерціальними. Така собі Стріла Зенона, яка щомиті нерухома, але закінчує у вашому лобі. Миттю фізики переважно вважають нескінченно малий, хоч і ненульовий, проміжок часу. Себто, можна цей проміжок взяти нескінченно велику кількість разів і покрити ним скінченний проміжок, як от одну хвилину, в той час як нульовий на це ніколи не буде здатен. В кожному з цих проміжків і розв'яжемо задачу про рух Дарини відносно Володимира.

Математична частина статті (сміливо пропускайте, якщо бажаєте)

Послугуємось годинником Дарини, відлік якого почнеться тоді ж коли й відлік годинника Володимира. Тоді в момент т за її годинником Дарина, маючи швидкість v(т) відносно Володимира, у власній системі відліку (де її швидкість рівна нулю) здобуває буст у швидкості adт. У цей момент краще повірити, аніж спробувати переварити. Тоді її швидкість у лабораторній системі відліку (Володимира), згідно з релятивістським додаванням швидкостей:

Ця формула береться з того, що час у системах відліку, які перебувають у русі одна відносно одної, тече по різному, через це й швидкості додаються з нюансом. Як можна перевірити, таким чином відносна швидкість ніколи не перевищує швидкість світла, як і має бути. Алгебра дає:

Як бачимо, швидкість ракети ніколи не перевищує швидкість світла. Дивно що це працює, але поки ми міряємо буст добутком прискорення у системі відліку Дарини на проміжок часу у її ж системі відліку, звучить правдоподібно. До того ж ці формули є правильними, тому як казав мій завкат, shut up and calculate. Про наслідки поговоримо пізніше.

Тепер треба отримати залежність координати Дарини від часу, якщо не забути перейти від годинника Дарини т до Володимирового t. Це робиться за формулою сповільнення часу:

Чим швидше ви рухаєтесь, тим довше живете у лабораторній системі відліку, як от атмосферні мюони, які за свої 2.2 мікросекунди існування пролітають кілька десятків км замість обіцяних 3*10^8*2.2*10^-6=660 м. Це якраз тому, що через свою приблизно 0.99с космічну швидкість у їхній системі відліку Земля сплющується у ~14 разів вздовж їхнього напрямку руху, чим дозволяє покрити значно більшу відстань.

Тож, координата, пройдена за час т за годинником Дарини, визначатиметься як:

Фактично ми взяли відрізки v(т)dт, пройдені у системі відліку Дарини, розширили їх аби отримати відповідні у системі відліку Володимира, і додали їх. Схожий прийом, до речі, застосовується для обрахунку поточного радіусу Всесвіту, який виходить у світлових роках приблизно втричі більшим за його вік. Перейдімо тепер у час за годинником Володимира. Використовуючи співвідношення між інтервалами вище, маємо:

Застосовуючи співвідношення між гіперболічними функціями, отримуємо остаточно:

Звідси ж, простим диференціюванням, можна отримати швидкість за лабораторним годинником:

Яка, як знову можна помітити, не перевищує швидкості світла, проте прямує до неї за великих t.

Власне, фізика. А точніше, кінематика.

Ми отримали залежності координати Дарини від часу. В кожен момент її швидкість строго менша за швидкість світла. Напрошується висновок зі здорового глузду: так як сигнал поширюється зі швидкістю світла, тобто завжди швидший за Дарину, то згодом він наздожене її. Проте чи так це?

Найцікавіше, що для відповіді на це питання не потрібно думати про світло. Точно таку ж задачу можна вигадати з повітря і просто сказати, що Дарина рухається у дозвуковому літаку зі швидкістю, яка задається формулою вище, або ж зі змінним прискоренням, яке призводить до такої швидкості. Коли сигнал наздожене Дарину? Для цього прирівняємо координати обох об'єктів (t_0 -- момент випускання сигналу):

Результат не видається красномовним, а тому знайдемо, скільки часу мине від відправки сигналу Володимиром до отримання його Дариною:

Легко помітити, що для малих прискорень чи короткої затримки емоцій у Володимира формула нагадує вираз для рівноприскореного проти рівномірного рухів у класичній, Ньютонівській механіці. В той же час бачимо, що за t_0=c/a=300000/3000=100 c отриманий час спочатку стає безкінечним, а зі збільшенням t_0 (у задачі 2 хв, себто 120 с) взагалі від'ємним. Фізично, від'ємний час означає, що момент отримання сигналу ніколи не настає. Звук зажованої плівки.

Якого дідька?

А й справді, якого? Непоборна швидкість світла раптом не є всесильною та вседосяжною? І ми не говоримо навіть про сподівану тривалість життя Дарини -- навіть безсмертною вона вже ніколи не почує три головні слова від Володимира. І розворот тут точно не вписується ні в чиї плани.

Підійти до цього парадоксу можна зі спостереження, що швидкість Дарини хоч і ніколи не стає рівною граничній швидкості, але прямує до неї. Якби її швидкість завжди була менша за швидкість світла на щонайменше 1 см/c чи довільну іншу скінченну величину, сигнал досяг би її за скінченний час, менший за відношення початкової відстані між ними до цієї різниці 1 см/c. Проте у моменти, що прямують до безкінечності, відносна швидкість світла та Дарини ефективно наближається до нуля, роблячи подолану щомиті відносну відстань все меншою і меншою. Отримуємо ситуацію, що нагадує Ахіллеса та черепаху, але навпаки: сигнал побуває в кожній точці, де була ракета, але ракета завжди буде попереду. І не вистачить всього часу у Всесвіті аби Дарина почула Володимира.

Тут можете мені дати ляпас: якого дідька ми говоримо про відносну швидкість світла і Дарини, адже швидкість світла у довільній системі відліку стала! І це правда -- підійдемо до ситуації з іншого боку, перейшовши у систему відліку Дарини. Цей момент дуже підступний, адже система відліку тут не одна, а безліч їх, проте в кожній з них Дарина буде нерухома, а світло наганятиме її зі швидкістю світла. Відповідно через те, що відстань між точкою запуску сигналу і Дариною скінченна, сигнал має досягти її вже дуже скоро. Ось тут і постає два нюанси:

1) Ви впевнені, що ця відстань скінченна?

2) А чи вистачить світлу часу аби нагнати Дарину?

Щодо першого: відстань дійсно скінченна, достатньо конвертувати t_0 у т_0 за формулами вище, аби в цьому пересвідчитись. Що ж до другого, то світло подорожує не в одній системі відліку з даною відстанню, а щомиті переходить з однією в іншу, де кожен наступний відрізок відстані, який світло має пройти, розширюється відносно своєї початкової довжини. Таким чином, поки сигнал доповзе до відрізків, які знаходяться ближче до Дарини, ті видовжаться настільки, що світлу знову не вистачить часу (всього у Всесвіті) аби дістатись її.

До речі, саме це відбувається у космології: у зв'язку з розширенням Всесвіту за законом Хаббла, де спостережувана "швидкість" віддалення (а насправді всього лиш почервоніння, себто збільшення довжини хвилі фотонів далекої галактики, яке конвертують у швидкість через ефект Допплера) пропорційна відстані до галактики, до деяких галактик вже навіть не дістанеться світло з Чумацького Шляху. А все тому, що відстані, які фотони повинні будуть пройти, все збільшуватимуться і збільшуватимуться, не залишаючи нам і всього сподіваного часу життя Всесвіту на їхнє подолання. Через прискорене розширення Всесвіту, до речі, ми закінчимо однією-єдиною Галактикою, до якої не дістанеться вже світло з жодної іншої. І науковці майбутнього, якщо не знайдуть наших записів, абсолютно науково побудують картину світу, де є лише наша Галактика, і ніяких інших, бо встановлення їхнього існування науковими методами буде неможливим. Схожа ситуація зараз з теорією Мультивсесвіту: єдиний спосіб знайти доказ існування хоча б однієї зовнішньої бульбашки полягав у тому, що вона могла зіткнутись з нашою, і слід від цього зіткнення ви спостерігали б і досі. А так як сліду цього ми не бачимо, то й сказати чи паралельні світи існують ми не можемо.

Мораль?

Мушу зазначити, що в оригіналі прискорення було вдесятеро менше, і через це послання таки досягне Дарини через:

8 секунд! Порівнянну кількість часу займе доставка відповіді назад. Всі щасливі і задоволені, розходимось.

Чи ламається тут довільний з постулатів Особливої (Спеціяльної) Теорії Відносності? Ніт, швидкість світла лишається швидкістю світла. Ба більше, ефекти цієї задачі суто кінематичні і реалізовні в класичній механіці, як ми показали вище. І хоча можна було звернутись до ЗТВ, побудувавши метрику Ріндлера і наочно все зобразивши, моя мета полягала у іншому. За цією ж демонстрацією можете звернутись до @astronomy_guy, який підкинув мені саму задачку і навів прекрасну паралель до чорної діри. Математика її горизонту якісно дуже схожа на "горизонт", який отримали тут ми, і це було очікувано, бо в ЗТВ прискорення=гравітація.

Мені хочеться завершити це куди більш життєво. Деяких людей ви не наздоженете навіть якщо матимете всю силу цього світу, бо починати вже пізно. Не лише інших галактик, а приземленіших речей ми можливо не досягнемо з усім часом на світі, бо почнемо надто пізно. Проте я вважаю, що коли ми женемось за кимось, ми вже програли, і навіть перемога над нашим затятим суперником припинить приносити ейфорію вже через нехтовно малий час у масштабі наших життів. Куди здоровіше оглядатись назад і віддавати належне тому довжелезному шляху, який ми вже подолали, і не для когось, а самих себе. І рухатись не з орієнтиром на чужі траєкторії, а в бік кращого себе, який хоч і змінюється щомиті, все ж має пам'ять про себе, яку нестиме у подальші, ще неінерціальніші і ще захоплюючіші системи відліку.