Книга: Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

ДОНБАСЬКИЙ ГІРНІЧО-МЕТАЛУРГІЙНИЙ ІНСТИТУТ
Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи
Вища математика, як навчальна дисципліна, є однією з осноних при підготовці висококваліфікованих кадрів у вищих технічних та інших навчальних закладах. Диференціальне числення є основним розділом курсу вищої математики в цілому.
Без засвоєння основних положень, на яких базується диференціальне числення, не можна на належному якісному рівні застосовувати теорію та методи вищої математики при розв’язанні ряду задач з різних галузей знань (при вивченні фізики, електротехніки, інших інженерних та економічних спеціальностей).
Матеріал посібника поділено на 4 глави:
1) Функція, границя, неперервність; 2) Диференціальне чис-лення функції однієї змінної; 3) Дослідження функції за допомогою похідних; 4) Диференціальне числення функцій багатьох змінних.
Кожна глава складається з параграфів, яки містять короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання типових вправ. Для самостійної роботи студентів наводиться комплекс типових вправ з відповідями. Наприкінці кожної глави запропоновано зразки контрольних робот з теми, питання до колоквіуму, завдання семестрової роботи студентів. Наведена інструкція що до модульно-рейтингового контролю знань студентів при вивченні даного розділу вищої математики.
Зміст посібника, а також рівень навчальних вимог до знань студентів відповідає програмі курсу “Вища математика для інженерно-технічних, економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, студентів технічних коледжів”.
1.1 Функція. Область визначення функції

Нехай маємо множину Х
дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним правилом або законом поставлено у відповідність одне дійсне число у
, з множини , то говорять, що на множені Х
визначено функцію
і записують .
При цьому множина Х
називається областю визначення
або областю існування
функції; х
називають аргументом
або незалежною змінною; у
називають залежною змінною або функцією
; називають значенням функції
в точці х
; — множина, до якої належить значення функції.
Множину всіх значень функції, яких вона набуває при , називають областю значень
функції.
Приклад 1.
Знайти область визначення функції
Розв’язання.
Функція у
існує, якщо підкореневий вираз невід’ємний. Тому область визначення знаходиться з нерівності:
Таким чином, областю визначення даної функції є відрізок .
Приклад 2.
Знайти область визначення функції
Розв’язання.
Функція визначена, якщо .
Таким чином, область визначення даної функції є сукупність інтервалів:
Приклад 3.
Знайти область визначення функції
Розв’язання.
Функція визначена, якщо
1.2 Парність, непарність функцій. Періодичність функцій

Нехай функцію задано на проміжку , який є симетричним відносно початку координат. Це може бути або нескінченний інтервал , або скінчений інтервал , або відрізок , де а
— будь-яке дійсне число.
Функція , визначена на проміжку , називається парною
, якщо для будь-якого виконується рівність
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.
Функція , визначена на проміжку , називається непарною
, якщо для будь-якого виконується рівність
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад 1.
Нехай , де . Згідно з відомою властивістю даної функції,
Приклад 3.
Дослідити на парність чи непарність функцію
Знайдемо область визначення функції:
Функція , визначена на всій числовій осі, називається періодичною
, якщо існує число таке, що для всіх виконується тотожність
Число Т
при цьому називається періодом функції
, а саму функцію називають Т
-переодічною
.
Якщо число Т
є періодом функції , то й число – Т
є також періодом :
Якщо — періодична функція з періодом Т, то функція , де , є періодичною з періодом .
Зокрема, якщо розглянути функцію , де — сталі, то періодом цієї функції є число .
Зауважимо, що функцію у фізиці називають гармонікою
, число називають амплітудою
, — циклічною частотою
, а — початковою фазою гармоніки
.
Розв’язання.
Функція має період , тому функція має період .
Розв’язання.
Функція має період , тому має період .
Дослідити на парність чи непарність функції:
1.3 Основні елементарні функції та їх графіки

Графік функції — пряма, досить знати дві точки, бажано точки перетину з осями координат:
Якщо , функція визначена на всій числовій осі, тобто .
Якщо — функція парна, то приймає значення . Ії графіками будуть параболи відповідно другого, четвертого і т.д. порядків.
Якщо — графіки параболи третього, п’ятого і т.д. порядків.
Область її визначення , область значень . Якщо , функція ­, якщо , функція ¯.
Причому, для довільного , тобто графік довільної експоненти проходить через точку .
Функції та визначені для всіх та мають множину значень .
Функція визначена всюди, крім , , та монотонно зростає в кожному інтервалі області визначення.
Функція всюди визначена, крім , та монотонно спадає в кожному інтервалі області визначення.
Функції , , — непарні, їх графіки симетричні відносно початку координат, — парна, її графік симетричний відносно .
Функції періодичні. Найменший період синуса та косинуса , та — .
6. Обернені тригонометричні функції

Тригонометричні функції в інтервалі монотонності мають обернені:
При побудові графіків функцій часто використовують дефор-мації та паралельне перенесення вздовж осі та .
1) графік функції — дзеркальне відображення графіка відносно осі ;
2) графік функції — дзеркальне відображення графіка відносно осі ;
3) графік функції , де — паралельне перенесення графіка на а
одиниць масштабу вздовж осі ;
4) графік функції , де — паралельне перенесення графіка на а
одиниць масштабу вздовж осі ;
5) графік функції — стиснення в разів , або розтягнення в разів графіка вздовж осі ;
6) графік функції — розтягнення в разів , або стиснення в разів , графіка вздовж осі ;
7) графік функції — дзеркальне відображення від осі від’ємної частини (під віссю ) графіка функції , додатна частина графіка залишається на місці.
8) графік функції — дзеркальне відображення від осі правої частини (з додатної півплощини) графіка в ліву півплощину, додатна частина графіка залишається на місці.
Аналогічно визначаються нескінченно малі й нескінченно великі величини при .
Нескінченно великі величини знаходяться в тісному зв’язку з нескінченно малими: якщо при даному граничному переході функція є нескінченно великою, то функція при цьому самому граничному переході буде нескінченно малою й навпаки.
1.
Функцію можна подати у вигляді , де – стале число; — нескінченно мала при , тоді і тільки тоді, коли .
3.
Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході).
4.
Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала.
5.
Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.
6.
Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала.
7.
Частка від ділення нескінченно малої при на функцію, границя якої відмінна від нуля, тобто , є величина нескінченно мала.
При обчисленні границь необхідно знати такі теореми:
4.
Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність
10.
Якщо змінна величина зростаюча при і обмежена при , то вона має границю .
Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х
при характеризується наступними означеннями й теоремами.
Нескінченно малі функції і називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо дорівнює кінцевому числу .
Якщо , то називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з .
Якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть .
Якщо то називається нескін-ченно малою порядку Р
у порівнянні з нескінченно малою .
1.
Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.
2.
Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.
Якщо при , то справедливі такі еквівалентності
:
При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:
де е
— ірраціональне число, е
= 2,718281...
Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям
невизначеності
.
Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.
Щоб розкрити невизначеність виду , треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.
Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при , для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на .
Розв’язання.
Безпосередня підстановка числа під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на :
Невизначеність виду
перетвореннями приводиться до виду та .
Невизначеність виду розкривається за допомогою другої стандартної границі.
Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:
1.
5 Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність

Функція називається неперервною в точці
, якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці :
Функція в точці буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:
1.
функція визначена в околі точки ;
2.
існує границя функції в точці ;
3.
границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці .
На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:
для того, щоб функція була неперервною в точці , треба щоб:
1.
була визначеною в околі точки ;
2.
існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число ;
3.
існувала правостороння границя функції – число
4.
лівостороння й правостороння границя були рівні
5.
правостороння й лівостороння границя в точці дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто
Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною
.
Якщо функція визначена на відрізку , то в точках а
і b
можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а
— про неперервність справа, а в точці b
— зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.
Функція називається неперервною в точці зліва
, якщо виконуються умови:
1.

визначена в точці (існує число );
2.
в точці існує лівостороння границя функції;
3.
лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .
Отже, якщо
неперервна в точці зліва, то виконується співвідношення
де — лівостороння границя функції в точці .
Функція називається неперервною в точці справа
, якщо виконуються умови:
1.

визначена в точці (існує число );
2.
в точці існує правостороння границя функції;
3.
правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .
Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення
де — правостороння границя функції
в точці .
Точкою розриву функції
називають точку в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .
1.
Точка є точкою усувного розриву
, якщо існує , проте не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;
2.
Точка є точкою розриву першого роду
, якщо існують скінченні ліва та права границі функції, але , різницю
називають стрибком функції
в точці
3.
Точка є точкою розриву другого роду
функції , якщо в точці не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.
Приклад 1.
Дослідити точки розриву функції .
Розв’язання.
В точці функція не визначена. Знайдемо при границі даної функції зліва та справа:
Оскільки односторонні границі скінченні, але
Стрибок в даному випадку в точці дорівнює 2.
Приклад 2.
Дослідити на неперервність функцію
Розв’язання.
Дана функція визначена у всіх точках за винятком х
= 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:
Рівність означає, що х
= 0 є точкою усувного розриву.
Приклад 3.
Визначити характер розриву функції
Розв’язання.
Функція в точці не визначена.
Тому точка є точкою розриву другого роду.
Похідною функції
в точці
х
називається границя (як що вона існує) відношення приросту функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто:
Функція, яка має скінчену похідну в точці х
, називається диференційовною
в цій точці. Приріст диференційовної в точці х
функції має вигляд
де – нескінченно мала функція при , тобто диференційовна функція неперервна.
Якщо , тоді функція в точці х має нескінченну похідну.
Похідні основних елементарних функцій
Розв’язання.
Застосовуючи основні правила диференцію-вання, маємо:
Приклад 2.
Знайти похідну функції .
Приклад 3.
Знайти похідну функції .
Розв’язання.
Використовуючи формули, маємо:
Приклад 4.
Знайти похідну функції .
Приклад 5.
Знайти похідну функції .
Приклад 6.
Знайти похідну функції .
Приклад 7.
Знайти похідну функції .
2.2 Похідна складеної та оберненої функції

Наведене правило обчислення похідної складеної функції застосовується і для композиції довільного скінченого числа функцій.
Наприклад, для складеної функції виду , де , , – диференційовні у відповідних точках функції, має місце рівність
Приклад 2.
Знайти похідну функції .
Розв’язання.
Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, знаходимо:
Приклад 3.
Обчислити похідну функції .
Розв’язання.
За правилом диференціювання частки маємо:
Знайдемо похідну функції , розглядаючи ії як композицію двох диференційованих функцій та . За правилом обчислення похідної функції дістанемо:
Приклад 4.
Знайти похідну функції, оберненої до
Розв’язання.
Дана функція скрізь неперервна та строго монотонна, її похідна , не перетворюється в нуль в жодній точці, тому за правилом диференціювання оберненої функції маємо:
Приклад 5.
Знайти похідну функції .
2.
3 Диференціювання показниково-степеневої функції

Похідна показниково-степеневої функції , знаходиться за формулою
Похідні показникових та логарифмічних функцій

Якщо – диференційовна функція від х
, формули мають вигляд:
Приклад 1.
Знайти похідну функції .
Розв’язання.
Застосовуючи наведені формули, маємо:
Приклад 2.
Знайти похідну функції .
Розв’язання.
Застосовуючи формули, знаходимо:
Приклад 3.
Знайти похідну функції .
Розв’язання.
За наведеними формулами, маємо:
2.4 Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично

Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом , необхідно цей вираз продиференціювати по х
, вважаючи у
функцією від х
, і з одержаної рівності знайти .
яка задана параметрично, обчислюється за формулою:
за умови, що диференційовні в точці функції, причому .
Приклад 1.
Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням .
Розв’язання.
Диференціюючи, дістанемо:
Приклад 2.
Знайти похідну функції, яка задана неявно
Приклад 4.
Знайти в точці похідну функції, яка задана параметрично:
Розв’язання.
Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо:
Знайти похідні функцій, які задані неявно:
9.
Знайти в точці М
(1, 1), якщо .
Знайти похідну функції, яка задана параметрично:
Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.
Приклад 1.
Знайти похідну функції .
Розв’язання.
Прологарифмуємо функцію:
Знайдемо похідну від лівої та правої частин:
Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції
Приклад 2.
Продиференціювати функцію:
Розв’язання.
Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.
Диференціюючи ( у
розглядаємо як складену функцію), маємо:
2.6 Геометричний та фізичний зміст похідної

Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв’язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.
Похідна функції для кожного значення х
дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної
до графіка даної функції у відповідній точці, тобто
де – кут, який утворює дотична до графіка функції в точці з додатним напрямком осі .
На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції записується таким чином:
Якщо неперервна функція в точці має нескінченну похідну, тоді дотичною до графіка функції в точці буде пряма .
Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику , перпендикулярно до дотичної (пряма ), рівняння має вигляд
У випадку нормаллю буде пряма ; якщо функція в точці має нескінченну похідну, тоді нормаллю до кривої буде пряма .
У деяких задачах потрібно знайти кут між кривими та в їх точці перетинання.
Кутом між кривими вважається величина кута між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання; обчислюється за формулою:
В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної
, відрізок нормалі
, піддотична
, піднормаль
, довжини яких визначають за формулами:
Приклад 1.
Знайти, під яким кутом функція перетинає вісь абсцис.
Розв’язання.
Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках . Якщо , тоді
тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює –1. Це означає, що в точках графік функції перетинає вісь абсцис під кутом .
Якщо , тоді . Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь під кутом .
Приклад 2.
Записати рівняння дотичної до кривої
Розв’язання.
Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці :
Приклад 3.
Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично: в точці .
Розв’язання.
Рівняння нормалі має вигляд:
Значення та відповідають значенню :
Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:
В точці маємо . Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді
Приклад 4.
Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої у точці .
Розв’язання.
Значення похідної даної функції в точці А:
Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:
1) при русі тіла швидкість в даний момент часу є похідною від шляху :
2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі кутова швидкість в даний момент часу є похідною від кута повороту :
3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу є похідною від температури
4) теплоємність С
для даної температури є похідною від кількості тепла :
5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення при даному значенні температури є похідною від довжини :
Приклад 1.
Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням , наприкінці третьої та десятої секунд.
Розв’язання.
Швидкість визначається за формулою
Приклад 2.
Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса , оббігаючи коло за час .
Розв’язання.
Нехай точка починає рухатися з положення А
проти годинникової стрілки. Нехай за час вона дійшла до положення .
Кут між її радіусом-вектором та віссю дорівнює в цей час , тому що точка проходить кут за час Т, кут – за одиницю часу і кут – за час .
Отже, в будь-який момент положення точки можна визначити через її дві координати:
Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:
Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв’язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.
Диференціалом функції
в точці х
називається головна (лінійна відносно ) частина приросту диференційовної в точці х
функції.
Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто
Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:
Тоді формула диференціала має вигляд
П
риклад 1.
Знайти диференціал функції .
Приклад 2.
Знайти диференціал функції .
При малих справедлива формула , тобто
Приклад 1.
Обчислити наближено за допомогою диференці-ала значення функції в точці .
Розв’язання.
Найближча к 1,97 точка, в якої легко обчислити значення и , — це точка .
Приклад 2.
Знайти, наскільки зміниться довжина ребра куба, якщо об’єм його зменшиться з 64 до 63,98 м 3
.
Розв’язання.
Якщо х – об’єм куба, а у – його ребро, тоді
За умовою задачі , . Приріст сторони куба обчислюємо наближено:
тобто ребро куба зменшиться на 0,0004166 м.
2.8 Похідні та диференціали вищих порядків

Похідну, для якої існує п
-а похідна в точці х
, називають п
разів диференційовною в цій точці.
Основні правила обчислення похідних

Якщо функції та п разів диференційовні, тоді мають місце такі рівності:
Обчислення похідних вищих порядків функцій, заданих параметрично

Якщо функція задана параметрично рівняннями , , тоді похідні обчислюються за формулами:
Для похідної другого порядку має місце формула:
Диференціалом другого порядку двічі диференційовної функції називають диференціал від диференціала першого порядку функції , тобто . У випадку, коли х
– незалежна змінна, диференціали обчислюються за формулами:
Якщо ж х
— деяка функція від t
, , тоді
Якщо для функцій та , х
— незалежна змінна, існують диференціали та , тоді
Приклад 1.
Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично
Приклад 2.
Знайти похідну другого порядку функції
Розв’язання.
Спочатку знаходиться перша похідна від складної функції:
Приклад 3.
Знайти диференціал другого порядку функції в точці .
Розв’язання.
Згідно з формулою для обчислення диференці-алу другого порядку обчислюється :
Приклад 4.
Знайти у випадку, коли функція задана неявно рівнянням
Розв’язання.
Диференціюємо ліву та праву частини рівняння, маючи на увазі, що у
є функція від х
:
Підставляючи замість відповідне значення, знаходимо:
Приклад 5.
Знайти функції, яка задана параметрично рівняннями:
Розв’язання.
За правилами диференціювання функції, заданої параметрично, маємо:
Розв’язання.
З попереднього прикладу маємо , . Тоді
3.1 Монотонність функції. Екстремум функції

Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку ( а
; b
), а є внутрішньою точкою цього проміжку.
Функція називається зростаючою в точці
, якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку ( а
; b
) і такий, що , для всіх і для всіх .
Якщо функція диференційовна на інтервалі
( а
; b
) і зростає (спадає) на цьому інтервалі, то її похідна на інтервалі
( а
; b
) невід’ємна, тобто .

Якщо функція диференційована на інтервалі
( а
; b
) і ії похідна для , то ця функція зростає (спадає) на інтервалі
( а
; b
) .

Функція називається спадною в точці
, якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку ( а
; b
) і такий, що , для будь якого і для будь якого .
Якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку ( а
; b
) і такий, що для всіх , то точка називається точкою максимуму функції
, а саме число називається максимумом функції в точці
.
Якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку ( а
; b
) і такий, що для всіх , то точка називається точкою мінімуму функції
, а саме число називається мінімумом функції в точці
.
Точки максимуму й мінімуму функції називають ще екстремальними точками
, а максимум і мінімум називають екстремумом функції
.
Приклад 1.
Довести, що функція є зростаючою в інтервалі .
Розв’язання.
Знаходимо похідну функції :
Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що функція є зростаючою в кожній точці даного інтервалу.
Приклад 2.
Довести, що показникова функція , , , в інтервалі при є спадною, а при — зростаючою.
Розв’язання.
Знаходимо похідну функції :
Якщо , то і тому . Таким чином, у цьому випадку є зростаючою.
Приклад 3.
Знайти інтервали зростання і спадання функції:
Отже, функція на всій числовій осі є зростаючою.
Приклад 4.
Знайти інтервали зростання і спадання функції:
Отже, в інтервалі функція спадає, а в інтервалі зростає.
При цьому точка є точкою мінімуму заданої функції.
Приклад 5.
Знайти інтервали зростання і спадання функції:
Знайдемо точки, в яких . Це є всі точки, де . Розв’яжемо цю нерівність:
Отже, в інтервалі функція зростає. Тоді в інтервалах , функція спадає.
Робимо висновок, що точка є точкою є точкою мінімуму, а точка — точкою максимуму заданої функції, при цьому мінімум функції дорівнює , максимум .
Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує, дорівнює нулю.

Внутрішня точка проміжку називається стаціонарною
точкою функції , якщо в цій точці . Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, називаються критичними точками
функції.
Перше правило дослідження функції на екстремум
Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:
1)
знайти стаціонарні точки заданої функції, для цього слід розв’язати рівняння , з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками існування функції;
2)
знайти точки, в яких похідна не існує (функція в ціх точках існує). Якщо критичних точок функція не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має екстремуму. Якщо критичні точки є, то їх треба досліджувати далі, для чого:
3)
у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.
Якщо при переході через критичну точку (зліва направо) змінює знак з + на –, то ця точка є точкою максимуму. Якщо змінює знак з – на +, то ця критична точка є точкою мінімуму.

Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.
Теорема.
Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .
Друге правило дослідження функції на екстремум.

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:
1)
знайти стаціонарні точки заданої функції;
2)
знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці. Якщо в стаціонарній точці , то є екстремальною точкою для функції , а саме, точкою мінімуму, якщо , і точкою максимуму, якщо .
Приклад 6.
Дослідити функцію на екстремум:
Розв’язання.
Знаходимо похідну: . Прирівнюємо похідну до нуля і розв’язуємо рівняння:
Підставляємо у вираз для значення і :
Отже, є точкою максимуму, — точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють .
Приклад 7.
Дослідити функцію на екстремум:
Розв’язання.
Знаходимо похідну першого порядку:
Прирівнюємо похідну до нуля і розв’язуємо утворене рівняння:
Звідси знаходимо стаціонарні точки:
Отже, в точці функція має мінімум , а в точці — максимум .
3.
2 Знаходження найбільшого і найменшого значень
функції

Якщо функція набуває найбільшого значення всередині відрізка, то це найбільше значення є одночасно і один з максимумів (локальний максимум) заданої функції.
Теж саме можна сказати про найменше значення функції. Але може бути й так, що одне із значень функція набуває всередині відрізка, а друге на одному з кінців.
Звідси випливає спосіб знаходження точок, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення на відрізку :
2)
обчислити значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізка;
3)
найбільше (найменше) значення серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .
Приклад 1.
Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .
Розв’язання.
Знаходимо стаціонарні точки. Для цього знайдемо похідну:
Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння
дістаємо стаціонарні точки: . Точок, в яких функція не існує, немає.
Обчислюємо значення функції в точках , а також на кінцях відрізка, тобто в точках :
Отже, найбільше значення , найменше є .
Приклад 2.
Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .
Розв’язання.
Функція є неперервною на відрізку . Знаходимо екстремуми функції. Обчислюємо першу похідну:
Функція має дві критичні точки: . Але не належить відрізку . В точці функція має максимум, причому . Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка: .
Приклад 3.
Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .
Розв’язання.
Знаходимо критичні точки функції, розв’язавши рівняння :
Коренями цього рівняння є числа: . Проте ці точки не належать відрізку , тому всередині цього відрізка критичних точок немає.
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка:
3.3 Інтервали опуклості та угнутості кривої, точки перегину

Графік функції може бути опуклим
або угнутим
.
Графік функції є опуклим
на проміжку , якщо відповідна дуга кривої лежить нижче дотичної, проведеної в довільній точці .
Графік функції є угнутим
на проміжку , якщо відповідна дуга кривої лежить вище дотичної, проведеної в довільній точці .
Для дослідження графіка функції на опуклість застосовується друга похідна функції. Якщо друга похідна двічі диференційовної функції від’ємна в інтервалі , тоді графік функції опуклий на даному проміжку, якщо друга похідна додатна , тоді графік функції угнутий на .

Точка, при переході через яку крива змінює опуклість на угнутість або навпаки, називається точкою перегину
.
Точками перегину функції можуть бути лише точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує. Такі точки називають критичними точками другого роду
.

Название: Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової
Раздел: Рефераты по математике
Тип: книга
Добавлен 15:58:37 05 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 2746
Комментариев: 17
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Книга: Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової
Курсовая работа: Розробка автоматизованої системи обліку працівника бібліотечного фонду коледжу УДАУ
Спотлайт 8 Класс Контрольные Работы
Диссертация Государственные Муниципальные
Реферат: Теория Николая Коперника
Курсовая работа по теме Технологический расчет центробежного насоса
Эссе Размышление
Реферат: Единый налог на вмененный доход 8
Образец Доклада Дипломной Работы
Конкурсно развлекательная программа как средство развития творческих способностей младших школ
Реферат: Использование архетипов в рекламе. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат Mapinfo Изменение Структуры Таблиц Подписывание Объектов
Реферат: Стихийные бедствия и действия населения по ликвидации их последствий
Конспект Технические Средства И Системы Охраны Реферат
Реферат по теме Приватизация в Россиской Федерации
Дипломная работа по теме Молодежная сниженная лексика в современном немецком языке
Конфликт Курсовая Работа Психология
Курсовая работа по теме Особенности организационной культуры предприятия гостиничного бизнеса
Реферат по теме Сучаснi тенденцIї нобелевського руху в Українi та свiтi
Мини Сочинение Про Пасху
Курсовая работа по теме Исследование принципов создания клеточной культуры для заместительной терапии
Реферат: Парфюмерная отрасль как пример монополистической конкуренции
Реферат: История Англии в период Республики и Протектората Оливера Кромвеля
Дипломная работа: Філософія і світогляд