Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Описание ненильпотентных групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами. Изучение групп с Х-перестановочными I-максимальными подгруппами. Особенности групп, в которых 2-максимальные подгруппы перестановочны с 3-максимальными подгруппами.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Министерство образования Республики Беларусь
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.
Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- множество всех для которых выполняется условие ;
- множество всех натуральных чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число - любое число вида ;
- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
- множество всех простых делителей порядка группы ;
- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
- группа всех автоморфизмов группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
- централизатор подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Минимальная нормальная подгруппа группы - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
Экспонента группы - это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех сверхразрешимых групп;
- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть - некоторый класс групп и - группа, тогда:
- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. .
Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .
Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
Пусть , -подгруппы группы и . Тогда называется:
(1) -перестановочной с , если в имеется такой элемент , что ;
(2) наследственно -перестановочной с , если в имеется такой элемент , что .
Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .
Подгруппа группы называется -максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в , если в найдется такая максимальная подгруппа , в которой является максимальной подгруппой. Аналогично определяют -максимальные (третьи максимальные) подгруппы, -максимальные подгруппы и т.д.
Подгруппы и группы называются перестановочными, если . Подгруппа группы называется перестановочной или квазинормальной в , если перестановочна с каждой подгруппой группы .
Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина . Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля -квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы группы факторгруппа нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая -квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если порождается своими -элементами и -подгруппа группы -квазинормальна в , то факторгруппа нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в подгруппы факторгруппа абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.
Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства -квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы . Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если - квазинормальная подгруппа конечной группы , то факторгруппа содержится в гиперцентре факторгруппы , где - ядро подгруппы . Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.
Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны с силовскими подгруппами из , и группа разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа и такое ее дополнение , что перестановочна со всеми максимальными подгруппами из . Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы при условии, что , где все подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .
В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы и называются -перестановочными, где , если в имеется такой элемент , что . Используя понятие -перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных -перестановочных подгрупп для подходящих . Согласно, группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты ; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом . Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских -подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.
По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем , а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы .
Оказалось, что группы, у которых все -максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все -максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их -максимальные подгруппы сверхразрешимы.
В последние годы получен ряд новых интересных результатов о -максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего , в которых на языке -максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа группы обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора группы выполняется одно из двух условий или . В работе доказано, что группа разрешима тогда и только тогда, когда в имеется такая -максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от -максимальных подгрупп их силовских подгрупп.
Пусть и - подгруппы группы . Тогда подгруппа называется -перестановочной с , если в найдется такой элемент , что . В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия -перестановочности для -максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой -максимальной подгруппы группы , имеющей непримарный индекс, в найдется такая нильпотентная подгруппа , что и -перестановочна со всеми подгруппами из .
Пусть - набор всех -максимальных подгрупп группы .
Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из , существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа разрешима, если любая подгруппа из перестановочна со всеми подгруппами из для всех , где . В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.
Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.
[2.1]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа метанильпотентна.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа метанильпотентна.
Рассмотрим факторгруппу . Пусть - произвольная максимальная в подгруппа и - произвольная -максимальная подгруппа. Тогда максимальна в и -максимальна в , а значит, по условию подгруппа -перестановочна с подгруппой . Но тогда, согласно лемме , подгруппа -перестановочна с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но и поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).
Если в группе существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе все -максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы группы , . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда по условию для каждого , мы имеем . Ввиду леммы , и, следовательно, . Значит, . Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что - разрешимая группа. Это означает, что разрешима, и следовательно, - разрешимая группа.
(3) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и - максимальная в подгруппа, которая не является нильпотентной группой.
Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ), то - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . В силу (2), является элементарной абелевой -группой для некоторого простого . Пусть - максимальная подгруппа в такая, что . Пусть . Ясно, что . Так как , мы видим, что . Это показывает, что и, следовательно, . Ясно, что и поэтому по выбору группы , не является нильпотентной группой.
В силу (3), в группе имеется максимальная подгруппа , которая не является нормальной подгруппой в . Поскольку для любого , - максимальная в подгруппа и - максимальная подгруппа в , то - -максимальная в подгруппа. Если - нормальная подгруппа в , то . Значит, не является нормальной подгруппой в . Покажем, что - максимальная подгруппа группы . Пусть . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Значит, или . Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, . Так как , то - максимальная в подгруппа. Тогда для любого , -перестановочна с . Поскольку , то ввиду леммы (6), перестановочна с . Из максимальности подгруппы следует, что или . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда для любого и поэтому . Следовательно, . Это означает, что - нормальная подгруппа в , противоречие. Теорема доказана.
[2.1]. Каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с любой максимальной подгруппой в тогда и только тогда, когда либо нильпотентна, либо - такая ненильпотентная группа с , что циклическая силовская -подгруппа группы не нормальна в , а максимальная подгруппа группы нормальна в .
Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы следует из теоремы . Предположим теперь, что не является нильпотентной группой. Пусть - максимальная подгруппа группы , которая не является нормальной в . Пусть и - максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что . Следовательно, , и - циклическая примарная группа. Пусть . Покажем, что . Допустим, что . Пусть - силовская -подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы и, следовательно, по условию - подгруппа группы , что противоречит максимальности подгруппы . Отсюда следует, что .
Достаточность очевидна. Следствие доказано.
[2.2]. Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.
В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.
[2.2]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .
Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
Действительно, если , то каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Тогда по следствию , каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, - разрешимая группа.
Пусть теперь . Так как условие теоремы справедливо для группы , то группа разрешима и поэтому - разрешимая группа.
(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
где - такая максимальная в подгруппа, что , и .
Так как класс всех разрешимых групп с образует насыщенную формацию , то ввиду (1), и поэтому в группе существует единственная минимальная нормальная подгруппа . Из леммы вытекает, что , где - такая максимальная в подгруппа, что и . Покажем, что делит . Если не делит , то - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит . Допустим, что . Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов . Так как группа абелева, то - сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .
Пусть - -максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда и . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что является максимальной подгруппой группы . Покажем, что - максимальная подгруппы группы и - максимальная подгруппа группы . Так как , то - собственная подгруппа группы . Предположим, что в существует подгруппа такая, что . Тогда из того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что либо , либо . Если , то , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Следовательно, - максимальная подгруппа в . Рассуждая как выше, мы видим, что и - максимальные подгруппы группы . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . По условию существует элемент такой, что . Следовательно,
и поэтому . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду (2) и следствия , получаем, что , где силовская -подгруппа нормальна в группе . Значит, , где и . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа группы . Пусть - -максимальная подгруппа группы такая, что . Так как , то - неединичная подгруппа. Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, по условию подгруппа -перестановочна с , и поэтому для некоторого мы имеем - подгруппа группы . Поскольку , то - нормальная подгруппа в группе . Так как , то - нормальная подгруппа в группе . Получили противоречие с тем, что - минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.
Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.
Если все максимальные подгруппы группы имеют простые порядки, то сверхразрешима.
Доказательство. Так как в группе все -максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа либо нильпотентна, либо , где - подгруппа простого порядка и - циклическая -подгруппа, которая не является нормальной в подгруппой ( - различные простые числа). Предположим, что не является нильпотентной группой. Тогда . Поскольку , то - максимальная подгруппа группы и поэтому . Так как группа порядка разрешима, то группа разрешима. Значит, - нормальная в подгруппа и поэтому главные факторы группы имеют простые порядки. Следовательно, - сверхразрешимая группа. Лемма доказана.
Если в группе каждая максимальная подгруппа , индекс которой является степенью числа , нормальна в , то - -нильпотентная группа.
Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы группы факторгруппа -нильпотентна.
Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что явяется степенью числа . Тогда - максимальная в подгруппа и является степенью числа . По условию, нормальна в , и поэтому нормальна в . Так как , то - -нильпотентная группа.
(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и - -подгруппа.
Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех -нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Предположим, что - -подгруппа. Тогда для некоторой -холловой подруппы группы . Поскольку ввиду (1), нормальна в , то - нормальная подгруппа в группе , противоречие. Следовательно, - элементарная абелева -подгруппа.
Пусть - максимальная подгруппа группы , не содержащая . Поскольку абелева, то и поэтому . Это влечет . Следовательно, для некоторого . Значит, - нормальная в подгруппа и поэтому , противоречие. Лемма доказана.
Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.
[2.3]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка.
(1) - непростая группа. Допустим, что . Поскольку ввиду леммы (3), условие теоремы выполняется для факторгруппы , то по выбору группы , разрешима и поэтому - разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами в .
Предположим, что все -максимальные подгруппы группы единичны. Тогда порядок каждой -максимальной подгруппа группы является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы либо нильпотентна (порядка или ), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок . Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы , мы получаем, что разрешима. Это противоречие показывает, что в группе существует неединичная -максимальная подгруппа . Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая . Тогда для любого , . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда , что влечет . Следовательно, - неединичная нормальная подгруппа в и поэтому группа непроста.
(2) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа разрешима (это прямо вытекает из леммы (3)).
(3) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где - такая максимальная в подгруппа, что .
Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как ввиду леммы , класс всех разрешимых групп c -длиной образует насыщенную формацию, то - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что . Ясно, что . Поскольку - единственная минимальная нормальная подгруппа в , то .
Допустим, что - неразрешимая группа. Тогда и по выбору группы мы заключаем, что - прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа не содержится среди -максимальных подгрупп группы .
Пусть - произвольная -максимальная подгруппа, содержащаяся в . Используя приведенные выше рассуждения, видим, что . Следовательно, порядок любой -максимальной подгруппы группы , содержащейся в , равен простому числу. Ввиду леммы , - разрешимая группа. Пусть - максимальная подгруппа группы , содержащая . Так - простое число, то либо , либо . Пусть имеет место первый случай. Тогда , и поскольку - простое число, то - максимальная подгруппа группы . Из того, что индекс равен простому числу, следует, что - максимальная подгруппа группы и поэтому - -максимальная подгруппа в . Так как - неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа . Понятно, что - -максимальная подгруппа в и поэтому по условию перестановочна с . В таком случае, . Но - собственная подгруппа в и поэтому . Это противоречие показывает, что . Следовательно, . Поскольку - простое число, то - максимальная подгруппа в . Из того, что группа есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, следует, что в имеется неединичная -максимальная подгруппа . Тогда -максимальна в и следовательно, . Таким образом . Это влечет . Полученное противоречие показывает, что - разрешимая группа.
Из (3) и (4) следует, что - элементарная абелева -группа для некоторого простого числа и поэтому . Покажем, что делит . Если не делит , то - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит . Ввиду леммы , .
Пусть - произвольная максимальная в подгруппа с индексом , где и . Тогда , где - силовская -подгруппа группы .
Предположим, что не является нормальной в подгруппой. Ясно, что - максимальная в подгруппа. Если - нормальная подгруппа в , то . Значит, не является нормальной подгруппой в . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная в подгруппа и поэтому - -максимальная в подгруппа для любого . Поскольку по условию -перестановочна с подгруппой и , то перестановочна с подгруппой и поэтому . Ясно, что - -максимальная в подгруппа. Так как и не является нормальной подгруппой в , то и поэтому - нормальная погруппа в . Следовательно, - нормальная в подгруппа. Это влечет, что . Ввиду произвольного выбора , получаем, что каждая максимальная подгруппа группы нормальна в . Значит, - нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в нормальна в . Предположим, что . Поскольку и разрешима, то в группе существует минимальная нормальная -подгруппа , где . Так как - максимальная в подгруппа, то . Это влечет, что . Следовательно, группа обладает главным рядом
и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Это влечет , что противоречие тому, что .
Следовательно, - нормальная подгруппа в . Согласно лемме , - -нильпотентная группа и поэтому . Ввиду произвольного выбора , получаем, что для любого и . Ясно, что , что противоречит . Теорема доказана.
Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами.
Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.
[3.1]. Пусть - группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы , когда группа имеет вид:
(2) , где - группа кватернионов порядка , - группа порядка .
Доказательство. Необходимость. Предположим, что - группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Докажем, что в этом случае, либо - группа Миллера-Морено, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Предположим, что это не так и пусть - контрпример минимального порядка.
Так как - группа Шмидта, то ввиду леммы (I), , где - силовская -подгруппа в , - циклическая -подгруппа.
Покажем, что - группа простого порядка. Пр
Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами курсовая работа. Математика.
Дипломная работа: Экстрадиция в уголовном праве
Пальчиковая Гимнастика Реферат
Реферат: Традиционные установки русской культуры, истоки и особенности формирования, факторы формирования русского культурного архетипа
Реферат: Характеристика кредитной системы РФ
Образец Президентского Сочинения
Реферат: Как Андрей Иванович Куринков, ювелир, получил 15 суток
Законодательство Должно Быть Голосом Разума Эссе
Реферат На Тему Выплаты Гражданам В Натуральной Форме
Сочинение На Тему Человек На Часах
Строение Атмосферы Реферат
Курсовая Работа На Тему Вымогательство
Курсовая работа по теме Каузативні дієслова та конструкції з ними
Новокрестьянский Поэт С А Есенин Сочинение
Курсовая По Лингвистике Пример
Курсовая работа по теме Особенности управления прибыльностью и рентабельностью предприятия
Гдз По Алгебре Контрольные Работы Звавич
Дипломная работа: Дидактическая игра на уроках математики как средство активизации учебной деятельности при изучении темы « Сложение и вычитание». Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Осложнение турецко-американских международных отношений в начале ХХI века
Война И Мир Краткое Содержание Для Сочинения
Реферат На Тему Антигельминтные Препараты
Разработка программы и методики аудиторской проверки кассовых операций (на примере ООО "Юником"). Выявление типичных ошибок и способы их исправления - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа
Символіка роману Цао Сюециня "Сон у червоному теремі" - Литература курсовая работа
Проблемы взаимодействия турфирмы с потребителем в условиях современной законодательной базы - Государство и право дипломная работа