Какой граф обладает эйлеровым циклом. Эйлеровы графы: определение, свойства и методы проверки
📧Раскрыть📦Эйлеровы графы — это важное понятие в теории графов, которое связано с существованием эйлеровых циклов и путей. В этой статье мы рассмотрим определение эйлеровых графов, их свойства, а также методы проверки наличия эйлеровых циклов и путей в графе.
Изучите нужный раздел, кликнув по ссылке:
♦️ Определение эйлеровых графов
♦️ Как определить, есть ли в графе эйлеров цикл
♦️ Эйлеровы и полуэйлеровы графы: свойства и доказательства
♦️ Полезные советы и выводы
♦️ FAQ
🤒 Полная версия
Эйлеров граф - это граф, который содержит эйлеров цикл, то есть цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз и возвращающийся в исходную вершину. Для того чтобы граф был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы все его вершины имели четную степень (количество ребер, инцидентных данной вершине).
Полуэйлеров граф - это граф, содержащий эйлеров путь, то есть путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз, но не обязательно возвращающийся в исходную вершину. Для того чтобы граф был полуэйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы ровно две его вершины имели нечетную степень, а остальные вершины - четную степень. Эти две вершины будут концами эйлерова пути.
Определение эйлеровых графов
Граф называется эйлеровым (англ. Eulerian graph), если он содержит эйлеров цикл. Эйлеров цикл — это цикл, проходящий по всем ребрам графа ровно один раз. Граф называется полуэйлеровым, если он содержит эйлеров путь, но не содержит эйлеров цикл. Эйлеров путь — это путь, проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, но не обязательно возвращающийся в исходную вершину.
Теорема о существовании эйлерова цикла
Теорема. Эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и степени всех вершин чётны.
Доказательство. Необходимость показывается так: можно просто взять эйлеров цикл и ориентировать все его ребра в порядке обхода.
Доказательство эйлеровости графа
Эйлеровым графом называется граф, в котором есть эйлеров цикл. Граф без изолированных вершин является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен и степени всех его вершин четны.
Методы проверки эйлеровости графа
Для определения степени вершин в графе можно использовать таблицу смежности или матрицу смежности. В таблице смежности для каждой вершины подсчитывается количество связанных с ней ребер. Если все степени вершин четные, то граф является эйлеровым. В противном случае, граф не является эйлеровым.
Отсутствие эйлерова пути в графе
Сначала программа проверяет степени вершин: если вершин с нечётной степенью нет, то в графе есть эйлеров цикл, если есть 2 вершины с нечётной степенью, то в графе есть только эйлеров путь (эйлерова цикла нет), если же таких вершин больше 2, то в графе нет ни эйлерова цикла, ни эйлерова пути.
Заключение
Эйлеровы графы — это важное понятие в теории графов, связанное с существованием эйлеровых циклов и путей. Для определения эйлеровости графа необходимо проверить связность графа и четность степеней всех его вершин. Используя таблицу смежности или матрицу смежности, можно легко определить, является ли граф эйлеровым или нет.
FAQ
- Что такое эйлеров граф?
Эйлеров граф — это граф, содержащий эйлеров цикл, то есть цикл, проходящий по всем ребрам графа ровно один раз.
- Как определить, является ли граф эйлеровым?
Для определения эйлеровости графа необходимо проверить связность графа и четность степеней всех его вершин. Если оба условия выполнены, то граф является эйлеровым.
- Что такое эйлеров путь?
Эйлеров путь — это путь, проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, но не обязательно возвращающийся в исходную вершину.
- В каком случае граф не содержит ни эйлерова цикла, ни эйлерова пути?
Если в графе больше двух вершин с нечётной степенью, то в нём нет ни эйлерова цикла, ни эйлерова пути.
🔥 Как понять есть ли в графе эйлеров цикл