Как сохранить видео?

Зажмите на 2 секунды видеофайл или нажмите на стрелочку справа от него.
В результате: вы увидете меню, где есть пункт скачать.

Если такого нет: скорее всего, видео в формате HLS(m3u8), поэтому возможности скачать нет.
Формат, в котором доступно видео, зависит от источника. Попробуйте видео с другого источника - возможно, там видео в формате, который можно скачать(mp4, mkv, avi, ts, flv и т.д.).

Видео в формате HLS, можно попробовать сконвертировать. Например, с помощью M3U8 Converter или M3U8 Loader.
Для этого скопируйте ссылку на видео в меню файла и вставьте его в одно из приложений, описанных выше.

В настройках приложения можно выбрать каким приложением качать файлы. Рекомендую установить менеджер закачек. например: Loader Droid или Advanced Download Manager.

Запись на внешнюю карту ограничена системой, начиная с Android 4.4
Для сохранения на внешнюю карту рекомендуется пользоваться следующим подходом: в настройках приложения выбрать менеджер закачек (LoaderDroid, DVGet, Advanced Download Manager), а в настройках выбранного менеджера закачек задать папку куда хотите сохранять (возможно, будет доступна только папка самого менеджера закачек).