Как определить область значения функциипо графику
Как определить область значения функциипо графикуОбласть значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения.
=== Скачать файл ===
В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер. Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?! И такой подход есть! При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т. Что такое область определения функции? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. В элементарном понятии функции фигурируют две величины. Независимая переменная аргумент x и зависимая переменная функция y. Все допустимые разрешённые значения аргумента x и есть область определения функции. Что такое 'допустимые значения'? Говоря по-простому, это те значения икса, для которых можно посчитать игрек. Можно брать любое значение икса, целое, дробное, отрицательное, иррациональное - игрек всё равно посчитать можно. Точно, или приближённо, не суть важно. Нет никаких принципиальных запретов. Значит, для этой функции, все значения икса будут допустимыми. Значит, областью определения этой функции будут все действительные числа. Разумеется, функция может быть такой замороченной, что и не посчитаешь ничего, да Нам ведь не считать надо, а область определения найти. Чуть ниже мы научимся легко и элегантно расправляться с любыми функциями. Слова 'можно посчитать в принципе ', ' принципиальные запреты' я не зря употребил. Вот вам другой простенький пример. Идём по проторенной дорожке. Нельзя на ноль делить. Нет такой операции в математике! На любые числа делить можно, а на ноль - нельзя. Стало быть, областью определения этой конкретной функции будут все числа, кроме нуля. Этот пример приведён чисто для понимания. Разумеется, перебирать числа, задумчиво глядя на функцию, как-то глупо, да В математике так не делают. Правильный подход к области определения функции описан далее. Но сначала - одно важное замечание, чтобы потом не путаться. Это законы и правила, которые всегда должны выполняться. Эти правила не зависят от нашего желания и вида задания. Область определения по этим правилам иногда называют 'естественной'. Это дополнительные ограничения на область определения функции, которые могут быть а могут и не быть в любом конкретном задании и зависят исключительно от составителя задания. Итак, нам надо найти все допустимые значения икса для какой-то конкретной функции. Самый широкий набор значений, как правило - это все действительные числа. Перебирать все возможные числа мы не будем, да В математике поступают по-другому. Работаем в два этапа. На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции. Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете. Теперь самое время применить эти знания в деле. Найдём область определения самой первой функции. Не перебором, а вполне научно:. Ищем в этой функции потенциально опасные операции. И тригонометрии тоже нет. В этой функции не может получиться никаких запретных действий. Какой бы икс мы не взяли. Этих действий в функции просто не содержится. Опять ищем потенциально опасные операции. Не забыли, что дробь - это деление? Переходим ко второму этапу. Определяем иксы, которые не приводят к запретному действию, то есть делению на ноль. Собственно, к делению на ноль приводит лишь одно значение икса: Следовательно, все остальные значения безопасны. Областью определения функции будут все действительные числа, кроме нуля. Запись очень похожа на запись ответа для неравенств, правда? И там и здесь - запись промежутков числовой оси. Мы ничего не решаем! Не упрощаем, не складываем дроби, не раскладываем на множители, не извлекаем корни, ни-че-го! Мы именно осматриваем функцию. Любые преобразования могут изменить область определения функции и мы получим неверный ответ. Сразу же выполняем и второй этап: Итак, в первом слагаемом видим квадратный корень из выражения с иксом. Это потенциально опасная операция. Под корнем, при каких-то иксах, может оказаться отрицательное число. Обезопасим себя вот такой записью второй этап:. Квадратный корень извлекается только из положительных чисел и нуля. Всё подкоренное выражение должно быть больше, либо равно нулю. Не икс, а всё подкоренное выражение, целиком. А то так и норовят его написать Корень нам не нужен, нас интересует только подкоренное выражение. Так, с корнем разобрались, идём дальше. В нём есть деление на выражение с иксом. Знаменатель весь знаменатель, целиком! Осталось решить эту систему. В ответе получится как раз область определения этой функции. Как видим, функция может быть каким угодно монстром. Но в процессе осмотра и соответствующих записей мы получаем системку неравенств, которая вполне решаема. Не знаете, как решать системы!? Ну, это вопрос не к функциям Как решать квадратные неравенства можно посмотреть по ссылке. Там, кстати, решено с пояснениями именно наше квадратное неравенство. Последовательный осмотр и запись системы неравенств обычно особого труда не составляют. Хуже, когда потенциально опасные операции ещё и наслаиваются друг на друга. Здесь требуется пристальное внимание, чтобы чего не упустить. На первом этапе замечаем квадратный корень. Сразу пишем условие для всего подкоренного выражения: Так, квадратный корень обезопасили. Но двигаться дальше ещё рано. Внутри корня есть ещё две потенциально опасные операции! Вот теперь первое слагаемое разобрано по косточкам. Для тангенса нужно записать:. Система получилась не самая простая. Так и функция - приличного уровня. Предполагается, что студенты, которые сталкиваются с подобными функциями, решать системы неравенств умеют. В этом уроке главное - освоить, как задачу 'найти область определения функции' свести к задаче 'решить систему неравенств'. Работаем с исходной функцией! Ничего не упрощаем и не преобразовываем! Это всё делаем если надо будет после нахождения области определения. В процессе осмотра записываем в систему неравенства, которые обеспечивают допустимость опасных операций. Самые внимательные, наверняка, почувствовали схожесть этого процесса с нахождением области допустимых значений ОДЗ. Ну, что тут сказать Естественная область определения функции о которой здесь идёт речь совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам. Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции. Что касается ограничений в задании - тут всё просто. Обычно, и искать-то ничего не надо, всё в задании уже сказано. Напомню, что ограничения, написанные автором задания, никак не отменяют принципиальные ограничения математики. Нужно просто не забыть учесть условия задания. А теперь учитываем дополнительные ограничения. Слова ' на множестве положительных чисел' означают, что иксы могут быть только положительные. Если наложить это ограничение на ответ, получим новую область определения:. Всё предыдущее относилось к области определения аналитически заданных функций. Это самые популярные функции. Но существуют и другие способы задания функции. Они менее привычны и могут поставить в тупик. Во избежание таких фокусов, кратенько пробежимся по D f для функций, заданных НЕ аналитически. В табличном способе областью определения функций будут только те значения икса, которые даны в таблице. Других иксов для такой функции просто не существует. Разумеется, если в задании будут дополнительные ограничения на D f , их надо будет учесть. Но основным источником информации будет таблица. В графическом способе основной источник информации - график. Его нужно уметь читать и знать, что означают всякие точки и кружочки на рисунке. Ни одной формулы нет, да Вспоминаем, что область определения функции - это допустимые значения иксов. Вот и смотрим, для каких иксов существует нарисованная на графике функция? Наводим мышку на рисунок или касаемся картинки на планшете и видим, что вся кривулина укладывается между значениями -6 и 6. Не существует там функция. Эта информация тоже имеется на графике. Такие точки называют выколотыми. Это означает, что в этой точке функция не существует. Этот икс необходимо включить в D f. В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да Пример из предыдущего урока: Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D f мгновенно записывается:. Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать. Но стоит записать систему неравенств И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система Достаточно разобраться в этой нехитрой фразе, как всё сразу становится на свои места. Область определения любой функции устанавливают: Самым важным является первый пункт. С него и начнём. Как найти область определения функции? Если эти этапы не очень понятны, читаем дальше, на примерах всё куда яснее будет. До 9-го класса включительно: Нельзя делить на ноль. Нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел. В выпускных классах и ВУЗах: Это, практически, весь набор потенциально опасных операций. Вот и всё, что надо знать, чтобы найти область определения любой функции. Не перебором, а вполне научно: Как видите, в этом примере второй этап вовсе не понадобился. Это были совсем простые примеры. Переходим к более солидным заданиям. Найти область определения функции: Ничего не боимся и работаем по схеме. Обезопасим себя вот такой записью второй этап: В этом же слагаемом есть деление на 3. Тройка - не икс, нулём стать не может. В третьем слагаемом опять есть деление. Теперь сводим все наши записи в систему неравенств: Система необходима, так как все наши условия должны выполняться одновременно. Так поступаем при нахождении области определения любой функции. Для тангенса нужно записать: Сводим все наши записи в систему: Повторю алгоритм ещё раз: Внимательно осматриваем функцию на предмет потенциально опасных операций. Решаем систему неравенств и записываем ответ. А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения. Дополнительные ограничения на область определения функции. Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Если наложить это ограничение на ответ, получим новую область определения: Тогда и D f мгновенно записывается: Частичное копирование материалов разрешается только при указании работающей ссылки на этот сайт. Иное использование материалов допускается с разрешения автора. Нарушение авторских прав влечёт за собой административную и уголовную ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.
Quantum break error 4 что делать
220703 автоматизация технологических процессов и производств
Как найти высоту правильной пирамиды
Акт передачи в аренду нежилого помещения образец