Как определить область определения функции по графику
Как определить область определения функции по графикуСкачать файл - Как определить область определения функции по графику
Прежде чем перейти к решению распространённой задачи элементарной и высшей математики - нахождению области определения функции - краткий экскурс в теорию функций. Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира. Пусть X и Y - какие-то множества. Поэтому функцию называют также отображением. Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского самолёта. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает соответствие f: Наблюдается, таким образом, простой пример функции , областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f X занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y , то множество значений функции будет подмножеством Y , не совпадающим со всем множеством Y. Если в кресле находятся два пассажира и например, мать и ребёнок , то это никак не противоречит определению функции f , которая и , и однозначно ставит в соответствие кресло. В математическом анализе часто X обозначают как D область определения функции , а Y как E область значений функции и при этом D и E называют подмножествами R множества действительных чисел. Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от икса или f x. Функции составляют бОльшую часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления в функции. Можно ли между элементами этих множеств установить такое соответствие, чтобы оно было функцией? Если да, то записать это соответствие, указав стрелками, какой элемент какому соответствует. Итак, множество A содержит 5 элементов, а множество L - 3 элемента. Если мы поставим стрелки, ведущие от каждого элемента множества L к элементам множества A , то некоторым элементам L будут соответствовать более одного элемента A. Такое соответствие не является функцией по определению. Но если мы проведём стрелки от элементов A к элементам L , то некоторым элементам A будут соответствовать одни и те же элементы L , но при этом каждому элементу A будет соответствовать не более одного элемента L. Такое соответствие не противоречит определение функции, следовательно, ответ на вопрос задания - положительный. Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных множеств, которое будет функцией:. Установить между элементами множеств соответствие, заданное правилом 'элемент A можно нацело поделить на элемент В '. Будет ли такое соответствие функцией? Между элементами множеств A и В устанавливается следующее соответствие:. Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества A соответствует не более одного элемента из множества В. Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен. Такое сообщение предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается какой-то узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль. Но и в том и в другом случае ответ значение некоторого выражения не может быть вычислен по той причине, что выражение при некоторых значениях данных не имеет смысла. Пример пока не совсем математический: Чаще всего вычисляемое выражение как раз и представляет собой функцию. Поэтому такие недопустимые значения данных не входят в область определения функции. И в вычислениях от руки так же важно представлять область определения функции. Например, вы вычисляете некоторый параметр некоторого изделия по формуле, представляющей собой функцию. При некоторых значениях аргумента на входе вы на выходе не получите ничего. Итак, если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью её определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл , то есть наибольшее множество значений аргумента, которое приводит к действительным значениям функции. Постоянная константа определена при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число:. Найти область определения функции. Область определения степенной функции с целым показателем степени. В случае, когда функция задана формулой:. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Область определения степенной функции с дробным показателем степени. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Дробный показатель степени данной степенной функции - отрицательный. Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях 'икса' не равен нулю. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус 'икса'. Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Область определения первого слагаемого - данной функции - множество R действительных чисел, второго слагаемого - все действительные числа, кроме -2 и 2 получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере. В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции - все x , кроме -2 и 2. Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. То есть, какое бы число мы не подставляли вместо 'икса', знаменатель никогда не будет равен нулю. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox , следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. При аналитическом задании функции указывают область определения, либо не указывают. Во втором случае областью определения функции считается наибольшее множество, на котором имеет смысл формула, которой задана функция, то есть наибольшее множество аргумента, которое приводит к действительным значениям функции. Важно, что функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Наоборот, одна и та же функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения. Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой прямой. Площадь круга вычисляется как функция радиуса. Каковы должны быть требования к аналитическому заданию этой функции, то есть, можно ли записывать без указания области определения функции или же нужно указывать область определения и записывать? Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых значениях аргумента. Недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность. График функции даёт наглядное представление о её свойствах. При этом строятся графики функций, заданных геометрически, т. Таким образом, под графиком функции понимается множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Графический способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически - это значит построить её график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине электрокардиограф строит электрокардиограмму - кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задаёт функцию, если любая прямая, параллельная оси 0y , пересекает её не более чем в одной точке. Является ли этот график графиком функции? Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям , каждое из которых определяет функцию. Графиком функции служит верхняя половина параболы, а графиком функции - её нижняя половина. При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента записывается соответствующее значение функции. Широко известных таблицы квадратов и кубов чисел, квадратных корней, то есть таблицы функций , ,. Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены. Таким образом, сложной называется функция, аргументом которой является не независимая переменная, а некоторая функция от неё. Ни для каких других значений x сложная функция не имеет смысла. Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной x. Цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев. Например, функция состоит из трёх звеньев: Представить сложную функцию в виде звеньев - простых функций. Если обратное соответствие есть функция, т. Если это уравнение разрешимо относительно x , то получим явное выражение обратной функции: Будет ли функцией соответствие, обратное функции? А соответствие, обратное функции? Соответствие, обратное функции, заданной в первом условии, также является функцией:. Соответствие, обратное функции, заданной во втором условии, не является функцией, так как , то есть значениям икса, кроме нуля, соответствуют два значения игрека. Найти функцию, обратную функции. Множество значений данной функции. Разрешив уравнение, которым задана функция, относительно x , получаем. Заменив в этом уравнении x на y , получим функцию, обратную данной:. Непрерывность функции Точки разрыва функции и их виды Экстремумы функции Наименьшее и наибольшее значения функции Асимптоты Возрастание, убывание и монотонность функции Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба Полное исследование функций и построение графиков Функции двух и трёх переменных Экстремумы функции двух переменных Условные экстремумы и функция Лагранжа. Как найти область определения функции. О функциях вообще Каждому элементу - один и только один элемент Область определения функции Способы задания функций Сложная функция Обратная функция. Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных множеств, которое будет функцией: Между элементами множеств A и В устанавливается следующее соответствие: В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число: В случае, когда функция задана формулой: Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля:: Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением , где k - целое число. Нет времени вникать в решение? Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих звеньев: Соответствие, обратное функции, заданной в первом условии, также является функцией: Заменив в этом уравнении x на y , получим функцию, обратную данной: О функциях вообще Каждому элементу - один и только один элемент Область определения функции Способы задания функций Сложная функция Обратная функция Каждому элементу - один и только один элемент Прежде чем перейти к решению распространённой задачи элементарной и высшей математики - нахождению области определения функции - краткий экскурс в теорию функций. Область определения функции Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен. Область определения постоянной Постоянная константа определена при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Область определения корня n -й степени В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число: Область определения степенной функции с целым показателем степени В случае, когда функция задана формулой: Область определения степенной функции с дробным показателем степени В случае, когда функция задана формулой: Область определения дроби Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Способы задания функций Аналитическое задание функции. Пусть, например, Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой прямой. Графический способ задания функции. Табличный способ задания функции.
Функция. Область определения и область значений функции. Графики функции
Киска толстушки крупным планом
Рецепты печеньев в домашних условиях с фото
Область определения функции. Примеры.
Жена хочет стать шлюхой фото видео
Махорт н проблема мотивации в трудовой деятельности
Как найти область определения функции. О функциях вообще
Телефон отдела прав потребителя
Кино на реальных событиях триллеры