“Kabutar ini” prinsipi
Tasavvur qiling 10 ta kabutar 9 dona kabutar iniga qo’nmoqchi. Kabutarlar soni 10 ta va inlar soni atigi 9 ta bo’lganligi sababli, kamida bitta inga kamida 2 ta kabutar qo’nishiga to’g’ri keladi. Ushbu xulosaning o’rinli ekanini tushunish uchun har bir inga ko’pi bilan bitta kabutarni joylashtirmoqchi bo’lsak, kabutarlarning atigi 9 tasini joylashtira olamiz.
Teorema.
Agar butun bo’lmagan ‘A’ soni — har bir inga to’g’ri keladigan o’rtacha kabutarlar soni bo’lsa, u holda
- Kamida bitta inda [A]+1 ta kabutar joylashadi.
[A]+1 = A dan katta bo’lgan eng kichik butun son
- Qolgan barcha inlarda ko’pi bilan [A] ta kabutar joylashadi.
[A] = A sonining butun qismi
Qisqa qilib aytganda, kn+1 ta buyumni n ta qutiga joylamoqchi bo’lsak, kamida bitta qutiga kamida k+1 ta buyum joylashadi.
Yoki, kamida bitta quti o’z ichida k+1 ta buyumni saqlashi uchun kamida kn+1 ta buyum kerak.
Misollar
1-misol. Paypoq solingan idishda ko’k va qora paypoqlar jufti bor. Idishdan qaramasdan, tavakkal paypoq olayotgan odam ranglari bir xil bo’lgan bir juft paypoq olishi uchun necha dona paypoq olishi kerak?
Yechim. “Kabutar ini” prinsipida inlar soni n=2 (ushbu misolda ranglar soni) bo’lgan holda, k+1=2 ta buyumni olish uchun, kn+1=1*2+1=3 dona paypoq olish lozim. Bu holda yoki uchta bir xil rangli, yoki ikkita bir xil va bitta boshqa rangli paypoq olgan bo’lasiz
2-misol. Qutida 10 ta qizil, 10 ta oq va 10 ta ko’k shar bor. Tavakkaliga tanlab olinganida bir xil rangli to’rtta shar olganimizga ishonch hosil qilishimiz uchun qutidan kamida nechta shar olishimiz kerak?
Yechim. “Kabutar ini” prinsipida inlar soni n=3 (ushbu misolda ranglar soni) bo’lgan holda, k+1=4 ta bir xil rangli sharni olish uchun, kn+1=3*3+1=10 dona sharni tavakkal tanlab olish lozim. Eng yomon holatda (10 ta shar olingan holat) dastlabki 9 tasida 3 ta qizil, 3 ta oq va 3 ta ko’k shar olingan bo’lib, 10-olingan shar ushbu ranglardan bittasi 4 bo’lishini ta’minlaydi.
3-misol. Londonda soch tolalari soni bir xil bo’lgan kamida ikkita odam mavjud.
Isbot. O’rtacha hisobda inson boshida 150'000 dona soch tolasi bor va bitta insonning soch tolalari soni ko’pi bilan 1'000'000 dona bo’ladi deb hisoblash o’rinli. Londonda 9.002 million odam yashaydi. Shu sababli “Kabutar ini” prinsipiga ko’ra nafaqat kamida ikkita, balki kamida [9.002/1]+1=10 kishining soch tolalari soni o’zaro teng deb ayta olamiz.
4-misol. Tug’ilgan kun masalasi. Ehtimollar nazariyasida o’rganiladigan ushbu savol tavakkal tanlab olingan N ta odamdan kamida bitta juftligi bir kunda tug’ilgan bo’lish ehtimolini hisoblash haqida. Unda og’zaki bo’lmagan hisob-kitoblar qilinishi kerak. Bizga esa “kabutar ini” prinsipi qiziqroq, shu sababli savolni o’zgartiraylik: kamida bir juft, bir kunda tug’ilganlar bor bo’lishi uchun kamida nechta odamni tanlab olishimiz mumkin?
Yechim. Kabisa yilida 366 kun borligini e’tiborga olgan holda, aytish mumkin-ki, 367-kishi “yangi” sanada tug’ila olmaydi, shu sababli, odamlar soni kamida 367 ta bo’lishi shart. Darhaqiqat, [367/366]+1=2.
Mustaqil yechish uchun misollar:
M: Kamida bitta juftlikning tug’ilgan kuni haftaning bir kuniga to’g’ri kelishi muqarrar bo’lishi uchun nechta odamni tanlab olish kerak?
M: Kamida bitta juftlikning tug’ilgan kuni oyning bir sanasiga to’g’ri kelishi muqarrar bo’lishi uchun nechta odamni tanlab olish kerak?
M: Ism-shariflari bir xil harflar bilan boshlanishi muqarrar bo’lishi uchun nechta odamni tanlab olish kerak?
M: 2-misolda kamida 5 ta qizil shar olganimizga ishonch hosil qilish uchun kamida nechta sharni tavakkaliga tanlab olishimiz kerak?
Javoblar: @mathematics_center telegram kanalida :)