К решению теоремы Ферма - Математика статья

Главная

Математика
К решению теоремы Ферма

Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
http://monax.ru/order/ - рефераты на заказ (более 2300 авторов в 450 городах СНГ).
Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества y n + x n = z n (1)
на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n , которые могут содержать решения уравнения (1) в целых числах x , y , z , а второе подмножество содержит только нецелые решения.
Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
(x - a) n + x n - (x+b) n = 0 (2)
Здесь: x - переменное число, а < x - целое число; n - целое число, показатель степени; b - целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x , a , и n .
Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 45 0 сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости (x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x-a) n + x n = 2x n - nx n-1 a + c n 2 x n-2 a 2 - c n 3 x n-3 a 3 ...... + a n
(x+b) n = x n +nx n-1 b + c n 2 x n-2 b 2 + c n 3 x n-3 b 3 .......+b n
= x n - nx n-1 (a+b) + c n 2 x n-2 (a 2 -b 2 ) - c n 3 x n-3 (a 3 +b 3 )..+(a n + b n ) =0
Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x , y =( x - a ), z =( x + b ), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a = b =1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:
x n - 2nx n-1 a - 2c n 3 x n-3 a 3 - 2c n 5 x n-5 a 5 - ... (a n + a n )=0 (4)
Обозначим через P(a,n) = 2c n 3 x n-3 a 3 + 2c n 5 x n-5 a 5 +... ( a n + a n ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:
Разделив все члены уравнения на x n -1 , получим выражение для искомого x
x =2 na + P ( a,n )/ x n -1 , где P(a,n)/x n-1 0 (5)
При a = b = 1 выражение (5) примет вид:
x=2n+P( 1 ,n)/x n-1 (6)
Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P ( 1 , n )/ x n -1 .
Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножеству y n + x n = z n
Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.
На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P ( a , n )/ x n -1 .
Если уравнение y n + x n = z n с учетом добавки P ( a , n ) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1 , n )/х n -1 ; у=2n-1+ P(1 , n )/х n -1 ; z=2n+1+ P(1 , n )/х n -1 , что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1 , n )/х n -1 .
Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
P(1 , n)/ х n-1 = 2c n 3 / x 2 + 2c n 5 / x 4 +2c n 7 / x 6 ... ( 1 + 1 ) / x n -1
Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.
Известно, что уравнение второй степени y 2 + x 2 = z 2 решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x , y , z . Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x , y , z , в которых для уравнения ( x -2 a ) 3 +( x - a ) 3 + x 3 =( x + b ) 3 , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 .
Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.
Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.
Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C -угол между сторонами а и b
сosC= (a 2 + b 2 -c 2 )/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:
а ? x ; b ? y=x-1 ; c ? z=x+1 , где x=2n+P(1 ,n )/x n-1
После выполнения операций преобразования получим:
cosC n = 0,5-1,5/ x n -1 (7)
искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90 о при n=2 до 60 о при n ? ? при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе - в равносторонние.
В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.
Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y 2 + x 2 = z 2
Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.
В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.
Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z 0 2 = x 2 + y 2 - 2 xycosc . Требуется доказать, что Z 0 является нецелым числом. В нем известны x и y - целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2 xycosc , что в свою очередь делает нецелым Z 0 2 и извлеченный из него квадратный корень Z 0.
В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z 0 2 = x 2 + y 2 - 2 xycosc всегда меньше соответствующего Z п 2 = x 2 + y 2 прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z 0 2 находится внутри числового отрезка Z п 2 = x 2 + y 2 .
Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z 0 2 будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.
Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.
Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:
4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 и т.д.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.
Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z 1 не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+, где =z 1 /x 2
Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z 0 2 всегда меньше z п 2 или соответствующего x 2 в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z 0 2 в числовой отрезок x 2 и убедиться, что извлеченный корень из числа z 0 2 является нецелым числом.
Рассмотрим доказательство на примере для n=5.
Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cos C=0,337 (см. Формулы 6 и 7).
z 0 2 =10 2 +9 2 -2*10*9*0,337=120,34.
В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.
Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 - нецелое число.
Проверка: 10 5 +9 5 =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z 0 2 может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cos C по трем известным сторонам треугольника.
Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).
Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том , что извлеченный корень степени k из числа z k =x k +y k является нецелым числом.
P . S . Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97... , возведенное в степень n=5 , превратится в целое число 159049 ? Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.
Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).
Принятие a =1 обусловлено получением максимальных , (*) при которых для всех a <1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а z n наиболее близок к 2 x n .
Принятие b =1 обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем: , откуда b x ( n 2-1) . Подставляя вместо х его близкое целое значение 2 n , получим формулу b 2 n ( n 2-1) для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до . Отсюда вывод: в растворе 45 0 сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.
Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….
Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо ( x * a ) n +( y * a ) n =( z * a ) n .
В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P ( a , n )/ x n -1 является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a .
В иррациональности добавки P (1, n )/ x n -1 можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.
Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции x n и y n могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:
вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n
квадрант I - для положительных x и y
квадрант III- для отрицательных x и y
в квадрантах II и IV для нечетных n будут иметь место разности типа x n - y n или y n - x n , рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.
Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.
Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции y n + x n = z n . При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.
Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.
Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС,
Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма. статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений. статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009
Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора. доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах. научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010
Попытка доказательства частного случая великой теоремы Ферма. Преобразования уравнения xn+yn=zn, позволяющие получить квадратное уравнение. Показано, что вышеназванное равенство для трех действительных разных целых положительных чисел не выполняется. монография [59,3 K], добавлен 27.12.2012
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах. творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3. творческая работа [23,8 K], добавлен 17.10.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



К решению теоремы Ферма статья. Математика.
Сочинение Про Добрые Дела
Реферат На Тему Венская Классическая Школа
Качество Письменной Речи Итоговое Сочинение
Курсовая работа по теме Управление жизненным циклом товара (на примере ООО 'Спортмастер')
Курсовая работа по теме Страхование банковских рисков коммерческих банков в Республике Беларусь
Реферат: Исследование динамики финансовых рынков нейросетевыми методами
Контрольная Работа На Тему Види Пенсій. Допомога По Безробіттю
Дневники Практики Воспитателя Доу
Военная Реформа Александра 2 Реферат
Контрольная работа: Строительные конструкции
Сочинение Про Евгению Медведеву На Английском
Контрольная работа по теме Западная Беларусь в составе Польского государства в 1920-1930-е гг. и ее воссоединение с БССР и СССР
Контрольная работа по теме Финансовая устойчивость страховой компании. Формы страхования
Сочинение На Тему Николай 2
Реферат Культура России 18 Века
Дипломная работа по теме Актуальные проблемы современного старообрядчества (на примере Красногорского района УР)
Преддипломная Практика Отчет Бухгалтерский Учет
Реферат: Cheap Labour Canada Essay Research Paper Cheap
Эссе По Социологии
Судебная Система Сша Курсовая Работа
Право собственности - Государство и право курсовая работа
Education, its role in increase of economic potential - Иностранные языки и языкознание реферат
Творческая индивидуальность Н.В. Гоголя: современный контекст изучения - Литература дипломная работа