Körpe

Körpe
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
→ Hauptartikel : Schiefkörper und Ternärkörper
Wiktionary: Körper – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur , in der die Addition , Subtraktion , Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden können.

Die Bezeichnung „Körper“ wurde im 19. Jahrhundert von Richard Dedekind eingeführt.

Die wichtigsten Körper, die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden, sind der Körper

Q

{\displaystyle \mathbb {Q} }

der rationalen Zahlen , der Körper

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

der reellen Zahlen und der Körper

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

der komplexen Zahlen .

Ein Körper ist eine Menge

K

{\displaystyle K}

, versehen mit zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen „

+

{\displaystyle +}

“ und „

⋅

{\displaystyle \cdot }

“ (die Addition und Multiplikation genannt werden), für die folgende Bedingungen erfüllt sind:

Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:

Aufgrund der multiplikativen Kommutativität in einem Körper würde es ausreichen, nur ein Distributivgesetz anzugeben.

Ein kommutativer unitärer Ring , der nicht der Nullring ist, ist ein Körper, wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt.

Anders formuliert, ist ein Körper ein kommutativer unitärer Ring

K

{\displaystyle K}

, in dem die Einheitengruppe

K

∗

{\displaystyle K^{*}}

gleich

K
∖
{
0
}

{\displaystyle K\setminus \{0\}}

ist.

Die Definition sorgt dafür, dass in einem Körper in der „gewohnten“ Weise Addition, Subtraktion und Multiplikation funktionieren sowie die Division mit Ausnahme der nicht lösbaren Division durch 0 :

Anmerkung: Die Bildung des Negativen eines Elementes hat nichts mit der Frage zu tun, ob das Element selbst negativ ist; beispielsweise ist das Negative der reellen Zahl

−
2

{\displaystyle -2}

die positive Zahl

2

{\displaystyle 2}

. Allgemein gibt es in einem Körper keinen Begriff von negativen oder positiven Elementen. (Siehe auch geordneter Körper .)

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Multiplikation kommutativ ist, so gelangt man zur Struktur des Schiefkörpers. Es gibt jedoch auch Autoren, die bei einem Schiefkörper explizit voraussetzen, dass die Multiplikation nicht kommutativ ist. In diesem Fall sind die Begriffe Körper und Schiefkörper disjunkt – und nicht hierarchisch zueinander, wie sie es bei Bourbaki sind, der Schiefkörper als Körper und die hier besprochenen Körper als kommutative Körper bezeichnen. Ein Beispiel für einen echten Schiefkörper sind die Quaternionen .

In der analytischen Geometrie werden Körper zur Koordinatendarstellung von Punkten in affinen und projektiven Räumen verwendet, siehe Affine Koordinaten , Projektives Koordinatensystem . In der synthetischen Geometrie , in der auch Räume (insbesondere Ebenen ) mit schwächeren Eigenschaften untersucht werden, benutzt man als Koordinatenbereiche („Koordinatenkörper“) auch Verallgemeinerungen der Schiefkörper, nämlich Alternativkörper , Quasikörper und Ternärkörper .

Eine Teilmenge

K

{\displaystyle K}

eines Körpers

L

{\displaystyle L}

, die selbst mit dessen Operationen wieder einen Körper bildet, wird Unter- oder Teilkörper genannt. Das Paar

K

{\displaystyle K}

und

L

{\displaystyle L}

heißt Körpererweiterung

K
⊂
L

{\displaystyle K\subset L}

,

L

/

K

{\displaystyle L/K}

oder

L

|

K

{\displaystyle L|K}

. Beispielsweise ist der Körper der rationalen Zahlen

Q

{\displaystyle \mathbb {Q} }

ein Teilkörper der reellen Zahlen

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

.

Eine Teilmenge

U

{\displaystyle U}

eines Körpers

K

{\displaystyle K}

ist ein Teilkörper, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

Das algebraische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Körpererweiterungen beschäftigt, ist die Galoistheorie .

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge

K

{\displaystyle K}

endlich ist. Die endlichen Körper sind in folgendem Sinne vollständig klassifiziert: Jeder endliche Körper hat genau

q
=

p

n

{\displaystyle q=p^{n}}

Elemente mit einer Primzahl

p

{\displaystyle p}

und einer positiven natürlichen Zahl

n

{\displaystyle n}

. Bis auf Isomorphie gibt es zu jedem solchen

q

{\displaystyle q}

genau einen endlichen Körper, der mit

F

q

{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}

bezeichnet wird. Jeder Körper

F

p

n

{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}

hat die Charakteristik

p

{\displaystyle p}

.
Im Artikel Endlicher Körper werden die Additions- und Multiplikationstafeln des

F

4

{\displaystyle \mathbb {F} _{4}}

gezeigt bei farbiger Hervorhebung von dessen Unterkörper

F

2

{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}

.

Im Spezialfall

n
=
1

{\displaystyle n=1}

erhalten wir zu jeder Primzahl

p

{\displaystyle p}

den Körper

F

p

{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}

, der isomorph ist zum Restklassenkörper

Z

/

p

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }

und Primkörper der (Primzahl)charakteristik

p

{\displaystyle p}

genannt wird. Für

n
≥
2

{\displaystyle n\geq 2}

ist

F

p

n

{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}

niemals isomorph zu

Z

/

p

n

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }

; stattdessen ist

F

p

n

{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}

isomorph zu

wobei

K
[
X
]

{\displaystyle K[X]}

den Ring der Polynome mit Koeffizienten in

K

{\displaystyle K}

darstellt (hier ist

K
=

Z

/

p

Z

{\displaystyle K=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }

) und

P
∈
(

Z

/

p

Z

)
[
X
]

{\displaystyle P\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[X]}

ein irreduzibles Polynom vom Grad

n

{\displaystyle n}

ist. In

(

Z

/

p

Z

)
[
X
]

{\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[X]}

ist ein Polynom irreduzibel, wenn aus

P
=

P

1

⋅

P

2

{\displaystyle P=P_{1}\cdot P_{2}}

folgt, dass

P

1

{\displaystyle P_{1}}

oder

P

2

{\displaystyle P_{2}}

ein Element von

Z

/

p

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }

ist, also ein konstantes Polynom. Hier bedeutet

(
P
)

{\displaystyle (P)}

das von

P

{\displaystyle P}

erzeugte Ideal .

Wesentliche Ergebnisse der Körpertheorie sind Évariste Galois und Ernst Steinitz zu verdanken.

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Unsere Körbe sind aus nachhaltigen Materialien gemacht und müssen sich nicht verstecken. Schöne Designs kannst du direkt in IKEA Möbeln platzieren – oder offen im Raum aufstellen. So ein geflochtener Korb mit Deckel passt zum Beispiel wunderbar als Aufbewahrungskorb für Zeitschriften, Zeitungen oder Kuschelkissen und -decken ins Wohnzimmer. Oder ins IKEA Regal, wo du im Korb mit alles verstauen kannst, was offen präsentiert zu unruhig wirken würde. Ob Rattankorb, Weidenkorb oder Seegraskorb, ob schlicht und zeitlos oder im Retro-Stil: Freu dich auf natürliche Optik und bei vielen Körben auf lauter Unikate. Von Kunsthandwerkerinnen und -handwerkern mit viel Liebe geflochten, gleicht dann kein Korb dem anderen.
Ob im Bad, Wohnzimmer, Schlafzimmer, Kinderzimmer oder dem Flur: Unsere Körbe schaffen überall dort Ordnung, wo du auf Naturmaterialien setzen und mehr Gemütlichkeit schaffen willst. So mancher Aufbewahrungskorb in unserem Sortiment ist für unsere Regale gemacht und passt wie angegossen – dies sorgt für ruhige, natürlich wirkende Regalfronten. Andere Körbe kannst du offen in den Räumen einsetzen. Vom kleinen Korb aus Bananenstaudenfasern für Badutensilien bis zum grossen Weidenkorb für Decken, Extrakissen und mehr im Wohn- oder Schlafzimmer: Ein von Hand geflochtener Korb von IKEA wurde von talentierten Kunsthandwerkerinnen und -handwerkern im Rahmen von wichtigen Sozialprojekten aus nachwachsenden Rohstoffen gefertigt. Unsere Körbe sind also nicht nur gut für die Umwelt, sondern auch gut für die Menschen, die sie herstellen.
Ob als edler Rattankorb oder robuster Seegraskorb, ob modern und schlicht oder ganz verspielt: Unsere Körbe kannst du einsetzen, um schön Platz zu schaffen. Nicht nur kannst du in einem Aufbewahrungskorb alles sammeln, was ansonsten auf dem Wohnzimmertisch, unter dem Bett oder im Kinderzimmer herumliegen würde. Du kannst unsere Körbe auch in unseren Möbeln einsetzen. So sind viele Aufbewahrungskörbe exakt an die Masse unserer beliebtesten Regale angepasst. Vor allem, wenn du viel Kleinkram oder reines Chaos nicht offen im regal präsentieren willst, bieten sich diese Lösungen zur Kleinaufbewahrung also an. Auch, weil sie Platz sparen, beim Organisieren helfen und auch richtig gut aussehen. Körbe mit Griffen kannst du problemlos als flexible Stauraumlösungen genau dort einsetzen, wo du sie brauchst. Ein Korb mit Deckel eignet sich zum Beispiel hervorragend für die Wäscheaufbewahrung als Alternative zum Wäschekorb . Und mit verschieden grossen Körben aus demselben Set kannst du dir nicht nur Aufbewahrungsmöglichkeiten nach Hause holen, du kannst sie auch gleich als stilvolle Deko einsetzen – auch unbefüllt.
Natürliche Rohstoffe sind kostbar. Umso besser, wenn sie nachwachsen. Deshalb setzen wir (nicht nur) bei unseren Körben auf Naturmaterialien, die sogar schnell nachwachsen. Ob Rattankorb, Seegraskorb oder Weidenkorb: Jeder geflochtene Korb steht für mehr Nachhaltigkeit. Und mehr soziales Engagement, denn: Viele unserer Körbe werden von talentierten Kunsthandwerkerinnen und -handwerkern im Rahmen von wichtigen Sozialprojekten geflochten. Sie sind dadurch beeindruckende Unikate, mit Liebe hergestellt und vor allem so robust. Bei federleichten Körben in Zen-Optik oder feinen Flechtwerken im Retro-Stil kann schonmal der Eindruck entstehen, dass sie nichts aushalten würden. Das Gegenteil ist der Fall. Ob aus Bananenstaudenfasern, Seegras oder Bambus: Unsere Körbe sind robust und halten eine Menge aus. Deshalb sind sie auch für den Einsatz im Hobbykeller oder dem Vorratsraum bestens geeignet.
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