Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2 - Математика научная работа

Главная

Математика
Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

Уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю. Теорема Безу как один из методов, которые помогают решать уравнения высоких степеней. Определение и доказательство теоремы и следствия из нее.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Городская открытая научно-практическая конференция
Т ем а : « ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БЕЗУ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ n -Й СТЕПЕНИ, ПРИ n >2 »
По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию a является корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.
Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).
Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 ,… ,a n ,то он делится на произведение (x-a 1 )…(x-a n ) без остатка.
Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на
(x-a 1 )(x-a 2 )…(x-a k ), где a 1 , a 2 ,…, a k - его корни.
Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a 1 , a 2 , a k ,…, (a k +1 ) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a 1 )…(x-a k ), откуда выходит, что
При этом (a k +1 ) - корень многочлена f(x), т.е.
Значит, подставляя вместо x (a k +1 ), получаем верное равенство:
f(a k+1 )=(a k+1 -a 1 )…(a k+1 -a k )q(a k+1 )=0.
Но (a k +1 ) отлично от чисел a 1 ,…, a k , и потому ни одно из чисел (a k +1 -a 1 ),…, (a k +1 -a k ) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a k +1 ), т.е. (a k +1 ) - корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a k + 1 ) без остатка.
f(x)=(x-a 1 )…(x-a k )q(x)=(x-a 1 )…(x-a k )(x-a k+1 )q 1 (x).
Это и означает, что f(x) делится на (x-a 1 )…(x-a k +1 ) без остатка.
Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.
Многочлен степени n имеет не более n различных корней.
Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a 1 )...(x-a n+k ), имеющее степень (n+k), что невозможно.
Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.
Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).
Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.
Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).
а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))
на (x-a), что и требовалось доказать.
Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.
Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.
Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.
Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.
Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),
тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).
Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).
Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.
Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.
Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель
тогда бы он делился на (x-a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.
Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.
Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:
· найти все целые делители свободного члена;
· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);
· левую часть уравнения разделить на (x-a);
· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;
При каком значении a многочлен x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 делится без остатка на двучлен x-2?
По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.
Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.
При каких значениях a и b многочлен ax 3 +bx 2 -73x+102 делится на трёхчлен x 2 -5x+6 без остатка?
Разложим делитель на множители: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).
Поскольку двучлены x-2 и x-3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x-2 и на x-3, а это значит, что по теореме Безу:
R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0
При каких значениях a и b многочлен x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b
делится без остатка на трёхчлен x 2 -2x+1?
Представим делитель так: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2
Данный многочлен делится на x-1 без остатка, если по теореме Безу:
Найдём частное от деления этого многочлена на x-1:
x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)
Частное x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) делится на (x-1) без остатка, откуда
R 2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.
Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +4x 2 -5.
Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x-1) без остатка:
f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, значит f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5).
Среди делителей свободного члена многочлена x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x 3 +x 2 +5x+5 делится на (x+1) без остатка:
_x 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1
x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5
(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, значит x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5).
По следствию 7 (x 2 +5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.
Ответ: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).
Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +324.
f(x) корней не имеет, т.к. x 4 не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.
Ответ: многочлен на множители не раскладывается.
Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.
По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x-4) 2 (x+2), значит:
f(x)=(x 3 -8x 2 +16x+2x 2 -16x+32)q(x),
(x 3 -6x 2 +32) - кубический многочлен, но по условию f(x) - также кубический многочлен, следовательно, Q(x) - некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x 3 -6x 2 +32.
Решить уравнение x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.
Решить уравнение x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0.
Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, что по следствию 4 оно имеет не более 6 корней уравнения.
_x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1
x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12
_-10x 3 +16x 2 _x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12 x+2
-10x 3 -10x 2 x 5 +2x 4 x 4 -5x 2 +6
x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0
x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0
x 4 -5x 2 +6=0 - биквадратное уравнение, x 1,2 =, x 3,4 =.
Ответ: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 =1, x 6 =-2.
Решить уравнение x 3 -5x 2 +8x-6=0.
x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.
Решить уравнение 6x 3 +11x 2 -3x-2=0.
6x 3 +11x 2 -3x-2=(6x 2 -x-1)(x+2)=0
6x 2 -x-1=0 - квадратное уравнение, x 1 =Ѕ, x 2 =-?.
Теорема Безу - одна из основных теорем алгебры, названная именем французского ученого Этьена Безу.
Существует несколько следствий из теоремы, которые помогают при решении практических задач. Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что теорема Безу находит применение при решении задач, связанных с делимостью многочленов, например, нахождение остатка при делении многочленов, определение кратности многочленов и т.д. Также, теорема работает при разложении многочленов на множители, при определении кратности корней и многих других.
Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики - решении уравнений.
Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора. доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009
Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма. статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел. научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах. творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009
Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. статья [20,8 K], добавлен 29.08.2004
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах. научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010
Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел. статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2 научная работа. Математика.
Дипломная работа по теме Расчёт участка механического цеха в условиях серийного производства
Отчет по практике по теме Анализ систем управления ПАО 'Уралкалий'
Контрольная работа по теме Поведение двух конкурентов на рынке. Динамика несвязанных секторов экономики
Реферат: Иранские беженцы в странах СНГ
Дипломная работа по теме Проверочный расчет парогенератора
Реферат По Технологии На Тему Вышивка
Срок Хранения Отчетов По Практике
Реферат по теме Воздействие оружия массового поражения
Сочинение Про Книгу Сын Полка Черно Белое
Лабораторные Работы По Информатике 1 Курс
Эссе На Тему Первобытное Общество
Культура Османської Імперії Реферат
Реферат: Международные отношения и внешняя политика. Место Беларуси на международной арене. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа На Тему Теория Эволюции
Доклад: Мейерхольд Всеволод Эмильевич
Институт Будущего Эссе
Дипломная работа по теме Автоматизация шлифовального процесса путем разработки автоматической системы управления регулируемым натягом
Курсовая работа: Решение практических задач в СУБД Access
Реферат: Серое и белое вещество головного мозга. Скачать бесплатно и без регистрации
Скачать Готовый Реферат На Тему Чувашский Календарь
Права осужденных к исправительным работам - Государство и право контрольная работа
Розрахунок гідроприводу - География и экономическая география курсовая работа
Система учетного процесса сокращенной и полной себестоимости - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа