Изобразить график непрерывной функции

Бесплатная помощь с домашними заданиями

=== Скачать файл ===

Непрерывность

Изобразить график непрерывной функции у=f(x) зная, что:

Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Идет бычок, качается, вздыхает на ходу: На данном уроке мы разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва и распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность. Но именно несложные задачи чаще всего наказывают за пренебрежение и поверхностный подход к их решению. Поэтому рекомендую очень внимательно изучить статью и уловить все тонкости и технические приёмы. Что нужно знать и уметь? Не очень-то и много. Для качественного усвоения урока необходимо понимать, что такое предел функции. Читателям с низким уровнем подготовки достаточно осмыслить статью Пределы функций. Примеры решений и посмотреть геометрический смысл предела в методичке Графики и свойства элементарных функций. Также желательно ознакомиться с геометрическими преобразованиями графиков , поскольку практика в большинстве случаев предполагает построение чертежа. Перспективы оптимистичны для всех, и даже полный чайник сумеет самостоятельно справиться с задачей в ближайший час-другой! Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой: Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. При этом следует чётко отличать два простых понятия: В общем случае это не одно и то же. В частности, если , то. Заметьте, что другая точка выколота, ведь по определению функции, значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Таким образом, область определения нашей функции: Однако эта функция не является непрерывной на! Термин тоже вполне вразумителен и нагляден, действительно, карандаш здесь по любому придётся оторвать от бумаги. Немного позже мы рассмотрим классификацию точек разрыва. В той или иной математической задаче речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. Сначала вспомним односторонние пределы , ворвавшиеся в нашу жизнь на первом уроке о графиках функций. Математически данный факт фиксируется с помощью левостороннего предела: Если односторонние пределы конечны и равны как в нашем случае: Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: Рекомендую законспектировать пункты, поскольку они потребуются для решения практических задач. Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке. Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел. Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. Надеюсь, к данному моменту вы достаточно хорошо представляете, как выглядят графики основных функций. Более подробную информацию об их непрерывности можно почерпнуть у доброго человека по фамилии Фихтенгольц. Увлекательная жизнь функций богата всякими особенными точками, и точки разрыва лишь одна из страничек их биографии. Данные точки в свою очередь подразделяются на две большие группы: У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, которые мы рассмотрим прямо сейчас:. Начнём с самого оптимистичного случая. Уныло, как фото молодожёнов на фоне Вечного огня, но нижеследующий кадр общепринят. Изобразим на чертеже график функции: Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки. И в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю. Разрыв такого вида с существующим общим пределом называют устранимым разрывом. Потому что функцию можно доопределить в точке разрыва: Но такая запись функции ничему не противоречит! Теперь разрыв устранён и все счастливы: Впрочем, ненавистники матана могут доопределить функцию нехорошим способом, например: Любопытно, что здесь выполнены первые два условия непрерывности: Но третий рубеж не пройден: Второй, более грустный случай носит название разрыва первого рода со скачком. А грусть навевают односторонние пределы, которые конечны и различны. Пример изображён на втором чертеже урока. В самом-самом тяжёлом случае следует прибегнуть к поточечному построению каждого куска графика см. Сейчас нас будет интересовать только точка. Исследуем её на непрерывность:. Слева у нас красный отрезок прямой, поэтому левосторонний предел: Справа — синяя прямая, и правосторонний предел: В результате получены конечные числа , причем они не равны. Поскольку односторонние пределы конечны и различны: Обычно к данной категории хитро относят все остальные случаи разрыва. И, конечно же, самая напрашивающаяся картинка — гипербола в точке ноль. Здесь оба односторонних предела бесконечны: Я стараюсь наполнять свои статьи максимально разнообразным содержанием, поэтому давайте посмотрим на график функции , который ещё не встречался: Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке , но хорошо бы классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию. Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика. Не редка ситуация, когда оба односторонних предела существуют, но бесконечен только один из них, например: Исследуем на непрерывность точку:. О методике вычисления таких односторонних пределов поговорим в двух последних примерах лекции, хотя многие читатели всё уже увидели и догадались. Как и для разрыва 1-го рода, в самой точке разрыва функция может быть определена. Справа же — ветка гиперболы, и правосторонний предел бесконечен. Думаю, почти все представили, как выглядит этот график. Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Односторонние пределы конечны и равны. Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка: Вы скажете, пример надуманный? Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков. Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом: Но дроби обоих кусков предстоит сократить на. Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения: Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке. Ещё раз заметьте, что при нахождении пределов не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет. Теперь остаётся перенести чертёж с черновика он сделан как бы с помощью исследования ;- и завершить задание:. Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно — из правого предела нужно вычесть левый предел: Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:. Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: I Исследуем на непрерывность точку. Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов: II Исследуем на непрерывность точку. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график. Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока. Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой — обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами — будет несколько интересных и важных фишек:. Исследовать функцию на непрерывность в точках. Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: Из чертежа всё понятно — функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после подобных примеров:. На всякий пожарный напомню тривиальный факт: В данном случае предел нуля равен самому нулю левосторонний предел. Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить правда, потом преподаватель может заставить это сделать. Классифицировать точки разрыва, если они есть. Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:. Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:. Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела: В знаменателе никакого криминала: А вот в числителе происходит небольшой триллер: Или, если ещё подробнее: В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке. В числителе ничего интересного — получается конечное положительно число. Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число: Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке. Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Заметьте, что по условию допускается построение схематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:. Исследуем функцию на непрерывность. Чертёж можно найти в первой части статьи. Левосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Из чертежа всё понятно — функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после подобных примеров: И здесь — предел единицы равен самой единице. Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик. Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование: I Исследуем на непрерывность точку 1 Функция не определена в данной точке. II Исследуем на непрерывность точку 1 Функция не определена в данной точке. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.

Характеристика ох патрона cacciatore от феттер

Автомобильное зарядное устройство кедр схема

Где продаются спиннеры в ступино

Баба я хорошая стихи

Схема инкубатора своими руками

История болезни пациента с ибс

Лук китайским способом попробуйте не пожалеете

Аэропорт белгород расписание на сегодня

Кузнецов фарфор история

Сколько пропустил акинфеев в лиге чемпионов

Школа принуждение рассказы

Стихи к митингу памяти и скорби