Измеримые функции - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Измеримые функции

Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Имея дело с функцией f (x), заданной на множестве E, мы будем символом
обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а.
Аналогичным образом вводятся символы
Е(fіа), Е(f=а), Е(fЈа), Е(аа) измеримы (В), то и f(x) называется измеримой (В) функцией.
Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.
Теорема 2. Пусть f ( x ) есть измеримая функция, заданная на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то f ( x ), рассматриваемая только для x ОА, измерима .
Теорема 3. Пусть f ( x ) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Е k -- :
Если f ( x ) измерима на каждом из множеств E R . , то она измерима и на Е.
Определение 2. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же множестве Е, называются эквивалентными , если
Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так:
Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих в подмножество Е 0 множества Е. Если mЕ 0 = 0, то говорят, что S имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех точек Е.
В частности, множество исключительных точек Е 0 может быть и пустым.
Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множестве Е, эквиваленты, если они ровны почти везде на Е.
Теорема 4. Если f (х) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, а g ( x ) ~ f ( x ), то g ( x ) также измерима.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А = Е (f №--g), B = E - A. Тогда mA = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотличимы, так что g(x) измерима на В. Поскольку g(x) измерима и на А (ибо mA = 0), она измерима на Е = А + В.
Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е будет f ( x ) = c , то функция f ( x ) измерима.
Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.
Функция f(x), заданная на сегменте [а, b], называется ступенчатой, если [а,b]--разложить точками.
на конечное число частей, в н у т р и которых (т.е. в интервалах (с k , c k + 1 ) при k = 0, 1, …., n -1) функция f(x) постоянна . Легко понять, что из теоремы 5 вытекает
Следствие . Ступенчатая функция измерима.
Теорема 6. Если f ( x ) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, то при любом а измеримы множества
E (f і a), E (f = a), E (f Ј a), E (f < a),
Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.
Теорема 1. Пусть f (х) и g (х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f (х) - g (х), 2) f (х) + g (х), 3) f (х) . g (х), и если g (х) №--_,-- то измерима также функция 4) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g(х) измерима при любом а . Значит (на основании леммы), множество Е (f > а+g ), а так как E(f-g>a)=E(f>a+g), то измерима функция f (х) - g(х).
2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что
3) Измеримость произведения f(x) . g(x) вытекает из тождества
f(x) . g(x)={[f(x)+g(x)]-[f(x)-g(x)]}
4) Наконец, измеримость частного есть следствие тождества
Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции - предельного перехода.
Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f 1 ( x ), f 2 ( x ), … Если в каждой точке х Е существует (конечный или бесконечный) предел
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества
Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что
Займемся же проверкой этого тождества.
Пусть хЕ (F>a), тогда F (x 0 ) > a, и найдется такое натуральное m , что F(x 0 ) > a + 1/m. Поскольку же f k (x) F (x 0 ), то найдется такое n, что при kn будет
Иначе говоря, х 0 А при всех kn, а тогда х 0 В и тем более х 0 . Отсюда следует, что Е (F > a) .
Теперь остается установить обратное включение
Пусть х 0 . Тогда х 0 Впри некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х 0 А для kn. Иначе говоря для kn будет f k (x 0 ) > a+1/m.
Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x 0 )>a, т.е. x 0 --ОE (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.
Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f 1 ( x ), f 2 ( x ), … и некоторая функция F ( x ). Если соотношение
выполняется почти везде на Е, то F ( x ) измерима.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек X--О--Е, в которых соотношение (a)--не имеет места (в этих точках предела может вовсе не существовать). По условию, mA=0 и F(x) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е - А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.
Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.
В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (|f - g| і s), Е (|f - g| < s), где f(x) и g(x) суть функции заданные не множестве Е, а s--некоторое положительное число. При этом точки, в которых обе функции f(x) и g(x) принимают бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность f(x) - g(x) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся эти точки относить к множеству Е (|f - g| і s). При таком соглашении очевидно
Е = Е (|f - g| і s) + Е (|f - g| < s)
и слагаемые правой части не пересекаются.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), …, которая почти во всех точках Е сходится к почти везде конечной функции f ( x ). Тогда, каково бы ни было s>_,-- будет
Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f(x) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.
А = Е(|f| = + Ґ), A n = E(|f n | = + Ґ),------------B--=--E--(f n не ® f)
Мы будем, следуя Г.М.Фихтенгольцу, обозначать сходимость по мере символом
С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать теорему Леберга так.
Теорема 1*. Если последовательность функций сходится почти везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.
Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.
П р и м е р . Определим на полусегменте [0, 1) для каждого натурального k группу из k функций: f 1 ( k ) (x), f 2 ( k ) (x), …, f k ( k ) (x), полагая
В частности, f 1 (1) (x) є 1 на [0, 1). Нумеруя все построенные функции подряд одним значком, мы получим последовательность
j 1 (x) = f 1 (1) (x), j 2 (x) = f 1 (2) (x), j 3 (x) = f 2 (2) (x), j 4 (x) = f 1 (3) (x), …
Легко видеть, что последовательность функций j n (x) сходится по мере к нулю. В самом деле, если j n (x) = f i ( k ) (x), то при любом s>0 будет
и мера этого множества, равная 1/k, стремится к нулю с возрастанием n.
Вместе с тем, соотношение j n (x)®0 не выполняется ни в одной точке промежутка [0, 1). Действительно, если так что f i ( k ) (x 0 ) = 1. Иначе говоря, как далеко мы не продвинемся вдоль ряда чисел j 1 (x 0 ), j 2 (x 0 ), j 3 (x 0 ), …, мы всегда будем встречать в этом ряду числа, равные 1, что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, понятие сходимости по мере есть понятие, существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и тем более, чем понятие сходимости везде.
Естественно спросить, в какой степени соотношение
определяет функцию f(x), т.е. единственна ли предельная функция при сходимости по мере.
Теоремы 2 и 3 позволяют ответь на этот вопрос.
Теорема 2. Если последовательность функций f n ( x ) сходится по мере к функции f ( x ), то эта же последовательность сходится по мере ко всякой функции g ( x ), эквивалентной функции f ( x ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом s-->--_--будет
E( кf n - g к і s ) М E( f--№ g) + E( зf n - f з і s),
mE (кf n - g кі s) Ј mE(зf n - f зі s),
Теорема 3 . Если последовательность функций f n ( x ) сходится по мере к двум функциям f ( x ) и g ( x ), то эти предельные функции эквивалентны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что при s-->--_--будет
ибо точка, не входящая в правую часть этого соотношения, и подавно не может входить и в левую часть. Но соотношения
показывают, что мера правой части (*) стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что mE (кf n - g кі s) = 0.
Теперь мы можем построить требуемую последовательность индексов
n 1 < n 2 < n 3 < ... (*)
следующим образом: обозначим через n 1 натуральное число, для которого
Такое число обязательно существует, ибо
Затем через n 2 обозначим то натуральное число, для которого
mE(Ѕf n 2 -fЅіs 2 )h 2 , n 2 >n 1 .
Вообще через n k мы обозначаем такое число, что
mE(Ѕf nk -fЅіs k )<--h k , n k >n k-1 .
Последовательность (*), таким образом, построена.
Теперь установим, что почти везде на множестве E будет
Так как R 1 ЙR 2 ЙR 3 Й..., то (теорема 12)
C другой стороны, очевидно, что так что mR i ®0 и, стало быть, mQ=0.
Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E - Q.
Пусть x 0 О E - Q. Тогда x 0 R io . Иначе говоря, при k і i 0
|f nk (x 0 ) - f(x 0) |0 существует такое измеримое множество Е d Е, что:
2) на множестве E d стремление(*) происходит равномерно. --
Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом s-->_--будет
Если x О Е d --, то хe. Значит в частности, xR ni (s i ).
|f k (x) - f(x)| 0, существует измеримая ограниченная функция g ( x ), такая, что mE ( f № g )< --e .
Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала, ясно, что и limy(x n )=y(x 0 ).
Итак, непрерывность функции y(x) доказана.
Из самого ее построения видно, что она совпадает с j(x) на множестве F.
Наконец по известной теореме Вейерштрасса, среди значений непрерывной на сегменте функции |y(x)| есть наибольшее - max |y(x)|. Легко видеть, что этот максимум достигается именно в точке, принадлежащей множеству F, ибо на дополнительных интервалах функция y(x) линейна. Поэтому max |y(x)| = max |j(x)|.
Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [ a , b ] задана измеримая и почти везде конечная функция f ( x ). Каковы бы ни были числа s >0 и e >0 существует непрерывная на [ a , b ] функция y ( x ), для которой
Если при этом | f ( x )| --Ј K , то можно и y ( x ) выбрать так, что | y ( x ) | --Ј K .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что |f(x)|--Ј K, т.е. что функция f(x) ограничена.
Фиксируя произвольные s >0 и e >0, найдем столь большое натуральное m, что K/m 0, существует такая непрерывна функция j( x ), что
Если, в частности, | f ( x )| --Ј K , то и | j( x )| --Ј K .
Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного. дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011
Понятие числовых функций с областью определения, аргумент и области их значений, свойства и графическое выражение. Определение четных и нечетных функций, периодичность тригонометрических функций. Свойства, используемые при построении их графиков. презентация [22,9 K], добавлен 13.12.2011
Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств. курсовая работа [122,6 K], добавлен 28.05.2007
Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание "Выпуклость функции". Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7). презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015
Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х. презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015
Общие свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. Параллелограммы периодов, основные теоремы. Эллиптические функции второго порядка. Вычисление длины дуги эллипса, эллиптические координаты, сумма вычетов эллиптической функции. курсовая работа [289,0 K], добавлен 26.04.2011
Полнота и замкнутость системы булевых функций. Алгоритм построения таблицы истинности двойственной функции. Класс L линейных функций, сущность полинома Жегалкина. Распознавание монотонной функции по вектору ее значений. Доказательство теоремы Поста. учебное пособие [1,3 M], добавлен 20.08.2014
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Измеримые функции курсовая работа. Математика.
Курсовая Работа База Данных Ювелирная Мастерская
Курсовая работа: Реклама, маркетинг и информация на российском фармацевтическом рынке
Реферат На Тему Святой Дух Как Третье Лицо Святой Троицы
Контрольная Работа На Тему Социальное Прогнозирование
Почему Важно Помнить Прошлое Итоговое Сочинение Сотников
Музыка 8 Класс Контрольная Работа
Контрольная Работа На Тему Стратегии Выживания Фирмы В Кризисной Ситуации
Виды Связей Реферат
Методы Оценки Функциональной Эффективности Зубных Протезов Реферат
Диссертации Расследование
Дипломная работа: Сравнение налоговой системы Беларуси и России
Тит Лист Реферата
Мини Сочинение Гранатовый Браслет Тема Любви
Школьная Документация Реферат
Дипломная работа по теме Туристский потенциал Крыма
Сочинение По Картине Грабаря Зимнее Утро
Курсовая работа: Оценка и анализ эффективности управления финансовыми результатами
Социология свободного времени
Контрольная работа по теме Приемы актуализации субъектного опыта учащихся на уроках обществоведения
Оформление Практической Работы Оператор Азс
Оценка личности преступника в оперативно-розыскной деятельности - Государство и право дипломная работа
Разработка технологического процесса сборки и монтажа таймера для повторно-кратковременного режима - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника курсовая работа
Сущность, необходимость и структура бизнес-плана - Маркетинг, реклама и торговля реферат