История математики. Александрийская школа . Реферат. Математика.
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - История математики. Александрийская школа
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
2.7.1.1.
Развитие геометрии
до Евклида.
2.9.3.
Система философии
математики Аристотеля.
4.
Александрийская
школа. Великие задачи.
В истории математики рассмотренный нами
период существования Александрийской школы носит название «Первой
Александрийской школы». С начала нашей эры на основе работ александрийских
математиков начинается бурное развитие идеалистической философии: снова
возрождаются идеи Платона и Пифагора, и эта философия неоплатоников и
неопифагорейцев быстро снижает научное значение работ новых представителей
математической мысли. Но вес же математическая мысль не замирает, а время от
времени проявляется в работах отдельных математиков. Второй период, в который
протекала работа Александрийской школы, носит название «Второй Александрийской
школы».
Афинская школа числила в своих рядах таких
великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной
мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был
основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров
античного мира.
К числу представителей Александрийской школы
в начале второго периода ее существования надо отнести Герона
Александрийского, жившего, вероятно, в I в. до н. э. Герон был выдающимся
греческим инженером и ученым. Он известен многими своими изобретениями,
работами геодезического характера, а также математическими работами,
относящимися главным образом к вопросам геометрической метрики. Из его работ,
имеющих значение для математики, можно отметить «Метрику» и «О диоптре». В
«Метрике» приводятся правила и указания для точного и приближенного вычисления
площадей и объемов различных фигур и тел; среди них имеется и формула для
определения площади треугольника по трем его сторонам, вошедшая в математику
под именем формулы Герона. Кроме того, в этой работе указываются примеры
решения квадратных уравнений и приближенного вычисления квадратных и кубических
корней. Характерной особенностью «Метрики», выделяющей ее из ряда работ других
греческих геометров, предшествовавших Герону, служит то обстоятельство, что в
ней обычно правила даются без доказательств, а лишь выясняются на отдельных
примерах. Это значительно снижает достоинства работы и, несомненно, является
признаком недостаточной научной подготовки её автора. Но в области
практических, приложений математики Герон превосходит многих своих
предшественников. Лучшей иллюстрацией этого является его работа «О диоптре». В
этом труде излагаются методы различных работ геодезического характера, причем
землемерная съемка производится с помощью изобретенного Героном прибора
диоптры. Этот прибор является прообразом современного теодолита. Главной его
частью служила линейка с укрепленными на концах ёе визирами. Эта линейка
вращалась по кругу, который мог занимать и горизонтальное, и вертикальное
положение, что давало возможность намечать направления как в горизонтальной,
так и в вертикальной плоскости. Для правильности установки прибора к нему
присоединялись отвес и уровень. Пользуясь этим прибором и вводя фактически в
употребление прямоугольные координаты, Герон мог решать на местности различные
задачи: измерить расстояние между двумя точками, когда одна из них или обе
недоступны наблюдателю; провести прямую, перпендикулярную к недоступной прямой
линии; найти разность уровней между двумя пунктами; измерить площадь простейшей
фигуры, не вступая на измеряемую площадку.
Сочинения Герона давали его современникам
богатый материал, практическое использование которого вполне удовлетворяло
вопросам строительства и земледелия, а потому эти сочинения пользовались
большим успехом в продолжение многих столетий.
В конце I в. н. э . надо отметить
появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в
арифметику» является первым трудом по арифметике, изложенным независимо от
геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изучение арифметики не менее
тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно
оригинального. Основной ее идеей является классификация чисел, причем она
проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мистику. В числовую
классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу
пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха является раздел
суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, указание на то, что
кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так,
1 3 = 1; 2 3 = 3 + 5; 3 3 = 7 + 9 + 11; 4 3 =
13 + 15 + 17 + 19 и т. д.
Современником Никомаха надо считать астронома
и геометра Менелая Александрийского, который написал трактат о
сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом
сферической геометрии. В этом же труде Менелая находится его знаменитая
теорема, согласно которой «если какая-нибудь прямая линия пересекает три
стороны треугольника или их продолжения, то произведение трех отрезков, не
имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».
Ко II в. относится деятельность Клавдия
Птолемея. Оп работал главным образом в области астрономии, причем его
астрономические наблюдения относятся ко времени между 125 и 151 г. (Как астроном Птолемей разработал геоцентрическую систему мира, согласно которой Земля
неподвижно покоится в центре мира, а все небесные светила движутся вокруг нее.
Эта система была опровергнута Н. Коперником в его гелиоцентрической системе
мира, полагающей, что центром Вселенной является Солнце, вокруг которого
обращаются Земля и другие планеты, причем все планеты вращаются вокруг своих
осей.) В своих работах он невольно сталкивался с понятиями тригонометрического
характера, а потому ему удалось внести значительный вклад и в развитие
тригонометрии. В своих астрономических работах Птолемей уже не разделял часы на
дневные и ночные, как это делали египтяне, а считал их равными по своей
продолжительности. Окружность он разделял на 360 градусов и каждый градус делил
еще пополам. Диаметр же окружности он делил на 120 градусов, полагая, таким
образом, что длина окружности в 3 раза больше ее диаметра; при этом каждый
градус диаметра подразделял на 60 равных частей, а каждую из этих частей вновь
разделял на 60 частей. В более позднее время эти подразделения градуса получили
у римлян наименования partes minutae primae и partes minutae sekundae, что в
переводе означает «части меньшие первые» и «части меньшие вторые». От этих
латинских слов нами и заимствованы названия для единиц измерения углов и
времени — минута и секунда.
Главная работа Птолемея называлась «Великое
математическое построение астрономии в XIII книгах» или сокращенно «Мэгистэ» (в
пер. с греч. «величайшая»). В историю она вошла под названием «Альмагест»,
которое дали ей впоследствии арабы.
В «Альмагесте» Птолемей вычисляет величины
хорд всех дуг от 0° до 180 о , причем значения хорд даны для дуг через
каждую 1/2°. Для выполнения этой работы Птолемей вводит свою теорему, которая в
истории математики носит название теоремы Птолемея и формулируется так:
произведение длин диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме
произведений длин его противоположных сторон. Из этой теоремы Птолемей подучил
следствия, позволяющие по данному диаметру окружности и по двум хордам,
стягивающим дуги a и b, вычислить хорды, стягивающие дуги a + b и a - b.
Пользуясь полученными соотношениями, а также используя уменье вычислять стороны
вписанных в круг правильных фигур (треугольника, квадрата, пятиугольника,
шестиугольника и десятиугольника), Птолемей и составил свою таблицу хорд,
предшественницу современных таблиц синусов.
В истории математики Птолемей известен также
тем, что он первый усомнился в очевидности постулата Евклида о параллельных
прямых и делал попытки доказать его справедливость, тем самым положив начало
длинному ряду подобных же попыток позднейших геометров, пока Лобачевский не
показал безуспешность таких доказательств, разъяснив их невозможность.
Последним крупным геометром Александрийских
школ следует признать геометра III в. Паппа. Ему принадлежало, как
полагают значительное число сочинении, из которых сохранилось лишь
«Математическое собрание», да и то не в полном виде (из восьми книг этого
сборника полностью утрачена первая и не хватает части второй).
«Математическое собрание» Паппа имеет для
истории математики большое значение: оно содержит обзор трудов предшественников
Паппа, развивает некоторые их идеи, комментирует эти труды. Благодаря этому для
нас сохранились сведения о многих математических работах древних, которые не
дошли в подлинниках до нашего времени. Кроме того, в работе Паппа имеются и
некоторые новые и оригинальные открытия. Так как Папп не всегда называет
авторов приводимых им теорем, то нам трудно судить, какие теоремы принадлежат
ему самому и какие - другим авторам. Но по отношению к некоторым из них считают
несомненным, что они принадлежат Паппу. Многие из этих теорем имеют
значительный теоретический и практический интерес. Теорема Паппа об инволюции
точек читается так: «Если на двух прямых, лежащих в одной плоскости, взять по
три точки: на первой прямой точки 1, 5 и 3, а на второй—2, 4 и 6, то точки
пересечения пар прямых 1—2 и 4—5, 2—3 и 5—6, 3—4 и 6— 1 лежат на одной прямой.
Большое применение имеет теорема, которая
впоследствии была переоткрыта Паулем Гюльденом (1577—1643), а потому и
носит имя последнего: объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг
какой-нибудь лежащей в ее плоскости прямой, равен произведению площади фигуры
на длину окружности, описанной при вращении ее центром тяжести. Интересна
предложенная и изученная Паппом спираль, которая описывается точкой, движущейся
вдоль дуги четверти окружности, когда эта дуга вращается около диаметра. Из
других теорем, доказанных Паппом, приведем ещё такие: «Центр тяжести
треугольника принадлежит также другому треугольнику, вершины которого лежат на
сторонах данного и разделяют эти стороны в одном и том же отношении»; «Прямая,
соединяющая противоположные концы параллельных диаметров двух кругов, имеющих
внешнее касание, проходит через точку касания». Паппу приписывается также
решение задачи о проведении через той точки, лежащие на одной прямой, трех
прямых, образующих треугольник, вписанный в данный круг.
К числу александрийских ученых относятся
алгебраист Диофант, живший, вероятно, в III в. Жил он 84 года. Последнее
сведение почерпнуто из эпиграммы некоего Метродора, помещенной в так
называемой «Греческой антологии». Содержание эпиграммы таково:
Прах Диофанта гробница покоит дивись ей - и камень.
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, подружкою он обручился.
С ней пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Диофант написал сочинение, названное им
«Арифметика». Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных
нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается в
том, что изложение его идет чисто аналитическим путем, хотя и вводится иногда
геометрическая терминология. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным
образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает
обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого
отдельного вопроса подходит с особым методом. Это выявляет огромные
математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его
труда- Из 13 книг «Арифметики» до нашего времени сохранилось только 6. В них
Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем основное
внимание обращает на неопределенные уравнения.
Алгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «синкопированной
алгебры», то есть к тому времени, когда в алгебр переходили от чисто
риторического изложения (то есть словесного) к использованию более кратких
записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изображения
неизвестного числа Диофант вводит обозначение S', а когда это неизвестное
употребляется во множественном числе, то упомянутое обозначение удваивается.
Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синкопированные
обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак , а для равенства —
буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а числовые коэффициенты —
после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало
действие сложения.
Отрицательные числа Диофанту известны не
были, но когда приходилось умножать разность двух чисел на разность двух других
чисел, то Диофант пользовался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на
отнимаемое, дает прибавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает
отнимаемое».
При решении уравнений Диофант признавал
только положительные рациональные ответы, и притом для квадратного уравнения он
всегда вычислял только один ответ, если уравнение имело два рациональных и
положительных корня. Каким методом он решал квадратные уравнения, неизвестно,
так как в сохранившихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для
решения уравнения 1-й степени Диофант прибегал к приемам, описанным им
следующим образом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени
неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами,
то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного
одному числу. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти
члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были
только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не
останется только по одному члену с каждой стороны». Таким путем Диофант
достигал того, чего мы добиваемся перенесением известных членов в одну сторону
равенства, а неизвестных — в другую, приведением подобных членов и делением на
коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все
древние математики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.
Сочинения Диофанта были отправной точкой для
теоретико-числовых исследований Пьера Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других
математиков. Именем Диофанта названы три больших раздела :теория диофантовых
уравнений (алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с
рациональными коэффициентами, решение которых отыскивается в целых и
рациональных числах), дифантовый анализ (или диофантова геометрия; область
математики, посвященная изучению диофантовых уравнений методами алгебраической
геометрии) и теория диофантового приближения (раздел теории чисел, в котором
изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных
аргументов).
Учеными, завершившими цикл математиков
Александрийской школы, были Теон (IV в.) и его дочь Гипатия
(370—415).
Теон проделал большую работу, комментируя
труды Евклида и Птолемея. Что же касается Гипатии, то, по отзывам историков,
она обладала большими знаниями в области математики и философии и
комментировала труды Архимеда. Диофанта и Аполлония. Она является первой
известной в истории математики женщиной-математиком. Ей принадлежат также
философские труды по толкованию Платона, Аристотеля я других греческих
философов. До нашего времени не сохранилось ни одного из трудов Гипатии.
Высокая ученость и красноречие, которыми обладала Гипатия, ее деятельное
участие в общественных делах города создали ей популярность в Александрии, но
вместе с тем вызвали ненависть со стороны христианских религиозных фанатиков к
ученой «язычнице». В 415 г. она по подстрекательству епископа Кирилла была растерзана
толпой христианских изуверов. Последователи и ученики Гипатии, которым удалось
спастись от преследования, бежали в Афины.
ЕВКЛИД Александрийский (предположительно 330—277
до н.э.) — математик Александрийской школы Древней Греции, автор первого
дошедшего до нас трактата по математике. Е. (возможно) получил образование
в Академии Платона (Афины). Свои труды Е. писал по единой схеме в форме
дедуктивно систематизированных обозрений открытий древнегреческих
математиков классического периода. Известны такие работы Е. по математике,
как трактаты "О делении фигур", "Конические сечения" (в
четырех книгах), "Феномены" (посвященные
сферической геометрии), "Поризмы", а также
работы по астрономии, музыке и оптике, в которых ведущая роль отводилась
математике. В сочинениях Е. "Оптика" и "Катоптрика" —
хронологически первых систематических исследованиях свойств лучей света —
рассматривались проблемы зрения и его применения для определения размеров
различных предметов, построена теория зеркал. Эти сочинения были
математическими и по содержанию, и по структуре: основное место в них, как и в
"Началах", отводилось теоремам, аксиомам и определениям. В своем
главном труде "Начала" (латинизированное — "Элементы") Е. в
15 книгах изложил основные свойства пространства и пространственных фигур, т.е.
планиметрию, стереометрию и элементы теории чисел как подведение итогов
предыдущего развития математики в Древней Греции и закладку оснований для
дальнейшего развития математики. В книге Е. "Начала" математика выступала,
пишет М.Клайн, "...как идеальная версия того, что составляло содержание
известного нам реального мира...". Каждая книга "Начал"
начинается с определений. В первой книге "Начал" приведены постулаты
и аксиомы, за ними расположены в строгом порядке теоремы и задачи на построение
(так, что доказательство или решение чего-либо последующего опирается на
предыдущие). Там же введены 23 предварительных определения объектов геометрии.
Были введены определения угла, плоскости, квадрата, круга, сферы, призмы,
пирамиды, пяти правильных многогранников и др.
2.7.1 . «Начала» Евклида.
2.7.1.1 Развитие геометрии до Евклида.
Геометрия – один из древнейших разделов математики.
Наибольшего развития
геометрических знаний достигли древневосточные цивилизации – Египет, Вавилон,
Индия, Китай. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя – это
была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.
В VII в. до н.э. благодаря
торговле геометрические знания достигли Греции. Здесь геометрия получила широкое
развитие, которое можно разделить на три периода:
1. (VII –
VI в. до н. э.) Период является поворотным в развитии геометрии, основателем и
представителем этого периода является Фалес Милетский. Греки впервые стали
логически доказывать предложения геометрии в общем виде. Фалесу приписывают
доказательство следующих теорем:
— угол, вписанный в
полуокружность, прямой.
— углы при основании
равнобедренного треугольника равны между собой.
Это достижение греческих
математиков имело важнейшее значение в развитии геометрии, т. к. общее
доказательство охватывало все возможные частные случаи. Постепенно
выделялись немногие первоначальные предложения, которые получены из опыта и
должны быть положены в основу геометрии без логического доказательства. Было
заложено начало созданию дедуктивного, или аксиоматического метода изложения
геометрии.
2. (VI – V
в. до н. э.) – олицетворяется Пифагором и его школой. Пифагору предписывают
доказательство следующих предложений:
— сумма внутренних
углов треугольника равна двум прямым углам;
— плоскость можно
покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками
и
шестиугольниками;
— открытие
геометрического способа решения квадратных уравнений;
— открытие пяти
правильных многогранников;
Но самым важным открытием школы
Пифагора явилось открытие несоизмеримых отрезков. До этого открытия греки
считали, что отношение двух любых отрезков может быть выражено рациональным
числом.
Это явилось кризисом в развитии
греческой математики, основное положение философии школы Пифагора, что «число
есть мера вещей» потерпело поражение, а подняться до понятия иррационального
числа они не сумели. Также разработка многих вопросов геометрии неизбежно
приводила греческих математиков и философов к понятиям бесконечности и
движения, к учению о бесконечно малых. К таким вопросам относились приближенные
вычисления несоизмеримых величин, рассмотрение вопросов связанных со
спрямлением окружности и квадратурой круга; вычисление объема поверхностей
круглых тел и т. д. При этом греческие математики натолкнулись на глубокие
противоречия и парадоксы, все это вызвало критику и споры среди философов.
Нужно было сделать геометрию неуязвимой и при этом считалось, что это возможно
лишь без привлечения понятий иррационального числа, бесконечности,
движения.
3. (IV в.
до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С этими школами
связывают два основных достижения:
— выработку принципов
научного построения геометрической системы, расчленение ее предложений на
аксиомы, теоремы и определения;
— разработку
определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез, доказательство от
противного.
Таким образом, до III в. до н. э.
геометрия в Греции накопила обильный фактический материал, назрела
необходимость в его систематизации. Эта задача наиболее полное и совершенное
разрешение получила в созданных Евклидом «Началах». Начался новый период развития
геометрии.
Эта книга намного превосходила более поздние труды
математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно
сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500
изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида.
«Начала» Евклида
состоят из 13 книг:
XI–XIII –
стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).
Каждой из 13 книг «Начал»
предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений
рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения,
аксиомы и постулаты.
Первая книга «Начал» начинается с
23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:
1. Точка
есть то, что не имеет частей.
23. Параллельные
суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе
стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.
За определениями следуют постулаты
и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список
аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10
аксиом.
1. Чтобы
из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2. И чтобы
каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.
3. И чтобы
из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать
окружность.
4. И чтобы
все прямые углы были равны друг другу.
5. И чтобы
всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с
ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые
пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.
1. Равные
порознь третьему равны между собой.
2. И если
к равным прибавим равные, то получим равные.
6. И
половины равных равны между собой.
9. И две прямые не могут
заключить пространства.
С современной точки зрения, одно
из слабых мест «Начал» Евклида – это определения. Он дает определения таких
понятий как точка, плоскость, прямая, т. е. стремится дать определение всем
геометрическим понятиям, а это невозможно. Многие его определения крайне
туманны, например:
1. «Прямая
есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек».
2.
«Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем
прямым, на ней лежащим».
Евклид в «Началах» разделил
постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной
точки зрения все они могут называться аксиомами. Другой важный недостаток
«Начал» – неполнота системы аксиом: нет аксиомы непрерывности, аксиом
движения и порядка, связанных с терминами «между» и «вне».
Огромное историческое значение
«Начал» Евклида в том, что они являются первым крупным научным документом по
геометрии, в котором сделана попытка логического построения геометрии на основе
аксиом. Чтобы закончить характеристику «Начал» Евклида необходимо остановиться
на особо важном вопросе – о V постулате Евклида и попытках его доказательства.
«Начала» Евклида на протяжении более двух тысяч лет
подвергались тщательному изучению. Имеется огромная литература, содержащая
комментарии к «Началам». Уже древние комментаторы заметили, что «Начала»
содержат существенные недостатки, в связи с этим предпринимались попытки их
устранения. Особое внимание критиковавших «Начала» Евклида привлекал к себе V постулат .
V постулат занимает в системе
постулатов «Начал» особое положение в силу ряда глубоких соображений. Прежде
всего, обращает на себя внимание то обстоятельство, что утверждение,
содержащееся в V постулате, не имеет столь простого и очевидного характера,
какой имеют прочие постулаты. Во-вторых, формулировка V постулата носит
довольно сложный и громоздкий характер. И наконец, третья особенность
заключается в весьма своеобразном использовании Евклидом этого постулата. В то
время, как все остальные постулаты используются им с самого начала, при
изложении первых теорем, V постулат применяется впервые лишь в доказательстве
29-го предложения.
Таким образом, применение V
постулата в «Началах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения
на две категории: на предложения, доказываемые без помощи V постулата; и на
предложения, которые не могут быть доказаны без его использования. Предложения
первой категории называются абсолютной геометрией, а второй – образует так
называемую собственную евклидову геометрию.
Изложенные особенности V постулата
имели большое значение для последующего развития геометрии. Исследователи,
жившие после Евклида, и комментаторы «Начал», рассматривали V постулат, как
предложение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо
доказать как теорему. Они были убеждены в его доказуемости. Поэтому усилия
многих поколений математиков были направлены на то, чтобы доказать V постулат
при помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд теорем. В этом
и заключалась проблема V постулата Евклида.
Решением этой проблемы занимались
многие математики, в том числе: Посидоний (I в. до н. э.), Птолемей (III в. до
н. э.), Прокл (410 – 475 гг), Насир-Эддин (1201 – 1274 гг.), Д. Валлис (1616 –
1703 гг.), Ламберт (1728 – 1777 гг.), Лежандр (1752 – 1833 гг.), Гаусс (1777 –
1855 гг.), И. Больяи (1802 – 1860 гг.). Все они неизменно оканчивались
неудачей. Авторы доказательств в своих рассуждениях использовали явным или
скрытым образом наглядно очевидные предложения, которые при тщательном анализе
оказывались предложениями эквивалентными самому постулату.
Например, наиболее интересная
попытка доказательства была предпринята итальянским математиком Джироламо
Саккери (1667 – 1733 гг.) – священник, профессор университета. Он пытался
заменить V постулат Евклида его отрицанием и попытался вывести теорему, которая
противоречила бы одной из доказанных Евклидом теорем. Полученное противоречие
показало бы, что его предположение ложно и V постулат можно вывести из
остальных. В процессе поиска он получил теорему, которая противоречила ранее
полученным результатом, и написал книгу «Евклид, избавленный от всех пятен».
Однако впоследствии математики выяснили, что Саккери в действительности не
пришел к противоречию, и вопрос по-прежнему остается открытым.
В середине XVIII в. над этой
проблемой размышлял немецкий математик Ламберт. В отличие от Саккери, он понял,
что любой набор гипотез, который не приводит к противоречию, порождает новую
геометрию, и убедился, что V постулат Евклида невозможно вывести из остальных
аксиом, т. е. аксиома о параллельных независима от остальных.
Одно из доказательств V постулата,
приведённое Проклом, можно посмотреть Здесь .
Насколько велик труд, затраченный
на исследования, связанные с проблемой доказательства V постулата, можно судить
по тому, что известно около 250 серьёзных сочинений, посвящённых теории
параллельности и не достигших поставленной цели. Однако, несмотря на
безрезультатность и тщетность всех попыток доказательства V постулата, они всё
же не были бесполезны. В результате этих многовековых поисков были выявлены
логические зависимости между некоторыми важными геометрическими предложениями
и, в частности, были открыты предложения, эквивалентные V постулату. Например,
в современной школьной практике V постулат известен, как аксиома параллельных
Плейфера: «Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну
прямую, параллельную данной».
Уроженец
греческого города Сиракузы на острове Сицилия, Архимед был приближенным
управлявшего городом царя Гиерона (и, вероятно, его родственником).
Возможно, какое-то время Архимед жил в Александрии – знаменитом научном
центре того времени. То, что сообщения о своих открытиях он адресовал
математикам, связанным с Александрией, например
Эратосфену, подтверждает мнение о том, что Архимед
являлся одним из деятельных преемников Эвклида, развивавших математические
традиции александрийской школы. Вернувшись в Сиракузы, Архимед нахо
Похожие работы на - История математики. Александрийская школа Реферат. Математика.
Лекарства Бедняков Древнего Рима Реферат
Реферат Система Охлаждения Двигателя Автомобиля
Учебное пособие: Урок литературы "Война - жесточе нету слова" по произведениям писателей-фронтовиков о Великой Отечественной войне
Дипломная работа по теме Интернациональная лексика в английском и русском языках
Албест Курсовые Работы Скачать Бесплатно
Реферат: Управление портфелем ценных бумаг
Контрольная Работа На Тему Строение И Применение Древесины
Курсовая работа: План проведения маркетингового исследования рынка недвижимости. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Особенности потребительского поведения на примере рынка мебели города Тюмени
Дипломная работа по теме Совершенствование системы контроля качества в технологическом процессе гуммирования
Доброта Сочинение 15.3 Аргументы
Реферат: Математическое моделирование электропривода
Курсовая Работа На Тему Проблемы Религиозного Освоения Мира. Формирование Религиозных Представлений
Учебное пособие: Разнообразие декоративных растений
Дипломная работа по теме Оценка рыночной стоимости нематериальных активов (оценка стоимости товарного знака, принадлежащего ЗАО 'Мирра')
Доклад по теме Критические схолии к "мирной теореме"
Итоговое Сочинение 2022 2022 Рекомендации
Реферат: Товароведеная экспертиза колбасных изделий
Дипломная Работа На Тему Преступления Против Интересов Службы
Реферат по теме Защита местного самоуправления
Реферат: Исследование половых различий при работе с Интернетом на примере российских пользователей
Реферат: Диалектика как метод философии
Реферат: Попит на гроші