Исследование методов решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа

Главная

Программирование, компьютеры и кибернетика
Исследование методов решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Нахождение собственных чисел и разработка фундаментальной системы решений. Построение фундаментальной матрицы методом Эйлера. Зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел. Решение задачи Коши. Построение фазового портрета в MATLAB.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
по дисциплине «Дифференциальные уравнения»
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянной матрицей, записанной в виде:
где коэффициенты ai,j - постоянные вещественные величины (i, j = 1, 2, …n), а функции yi(t) - неизвестные функции переменной t.
Если все функции bi(t)?0, где (i = 1, 2, …n), то система (1) является однородной системой линейных дифференциальных уравнений.
Запишем систему (1) в матричной форме, обозначая матрицу системы за A, а вектор свободных функций B = , тогда система (1) примет вид:
Если B=0, то запишем соответствующую систему однородных уравнений
определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:
справедливые при всех значениях x из интервала (a,b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.
Цель работы: Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:
Дана матрица А системы (1) и вектор начальных условий В
1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР)
2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера
3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда
4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел
6. Найти координаты особых точек и определить их тип
7. Проинтегрировав численно не линейную систему в MATLAB, построить фазовый портрет
Запишем однородную систему линейных дифференциальных уравнений:
Если в матрице системы все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.
Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется n линейно независимых решений этой системы.
Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.
Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
Из этого уравнения степени n определяется значение л, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (5) называется характеристическим.
Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся формулой для его вычисления DET(A-лE)=0, где А - исходная матрица, Е - еденичная матрица:
Получили полином четвертого порядка, следовательно, корней характеристчисекого полинома должно быть 4.
Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE, которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор . Получим:
Получили два действительных корня, что не соответствует порядку полинома, значит, среди них есть кратные. Разложим многочлен на простые множители с помощью функции FACTOR:
Теперь видим, что имеем действительные разные корни кратности 2.
Тогда функции, образующие ФСР примут вид:
Матрицу yx, столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.
И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:
Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.
Решение системы (1) находится в виде:
Функция (6) является решением системы (1), если - собственное значение матрицы А, а а- собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу .
где c1, c2, …, cn - произвольные константы.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:
Теперь выразим 6 коэффициентов через два свободных, то есть разрешим полученную систему относительно коэффициентов С1 и С2. Далее запишем вектор у с найденными коэффициентами:
Это будет являться решением для первого корня кратности 2 и проделаем тоже для второго корня кратности 2. Получим:
Теперь построим фундаментальную матрицу:
Доопределяя коэффициенты С1, С2, С3 и С4 равными 1, получим фундаментальную матрицу решений:
Таким образом, домножая транспонированную фундаментальную матрицу на столбец свободных коэффициентов, получаем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений:
Сделаем проверку найденного решения с помощью формулы:
Получили нулевой вектор, значит, фундаментальная матрица найдена правильно.
Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.
Рассмотрим ряд, называемый степенным:
Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда
Приближенно вектор решений можно найти как произведение матричного ряда:
и вектора начальных условий y0=[y1,y2, …..yk].Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.
Экспонентой матрицыА называется сумма ряда
Матрица является решением матричной задачи Коши:
т.е. является фундаментальной матрицей системы.
Найдем разложение матричного ряда по семи первым членам:
Вектор приближенных решений для семи членов ряда:
Результатом будет являться матрица 4*4:
Для проверки правильности разложения подставим нулевые условия. В результате получим единичную матрицу:
Матричный метод решения системы уравнений (1) основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.
Экспонентой eA матрицы А называется сумма ряда
а) если АВ=ВА, то еА+В=еА*еВ= еВ *еА;
б) если SB=AS, то естьА=S-1*B*S, то еА=S-1*eB*S, где матрица S - это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных.
Пусть среди действительных собственных чисел матрицы А есть кратные. Жорданова клетка будет находиться по следующей формуле:
Например, если кратность k=2, то жорданову клетку матрицы мы можем записать:
Если кратность k=3, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:
Если же среди трех собственных чисел являются корнями кратности 2, то жорданова форма будет выглядеть следующим образом:
Если два собственных числа матрицы А являются комплексными сопряженными, то запись жордановой клетки будет выглядеть, где - действительная, - мнимая часть собственного числа, так:
В нашем случае, мы получили 2 корня кратности 2, значит матрица В примет вид:
А матрицу Sв общем виде представим как:
Для того, чтобы полученная матрица была равна 0, приравняли все коэффициенты к 0. Затем доопределили некоторые из них , ,,. Получили матрицу Sв следующем виде:
Получили нулевую матрицу, значит, матрица S преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных, найдена верно.
Для нахождения вектора решений y необходимо умножить матрицу S на , где - это вектор, элементы которого зависят от корней характеристического многочлена. . Представим B как , тогда получим:
, где ? - матрица без диагональных элементов, которая для нашего случая запишется как:
Как и в поиске приближенного решения в виде матричного ряда найдем и как сумму матричного ряда с числом членов ряда, равным четырем. Для запишем:
Формулировка задачи Коши: из всех решений системы уравнения найти такое решение , в котором принимает заданное числовое значение при заданном числовом значении . Для решения задачи Коши подставляем вектор начальных условий в вектор решений системы дифференциальных уравнений, приравниваем независимую переменную t к нулю.
Приравниваем к вектору начальных условий [1, 1, 2, 2]:
С помощью функции SOLVE получим коэффициенты:
Подставим полученные коэффициенты в общее решение и получим частное решение однородной системе в точке х=0
Теперь выполним проверку по формуле (*), подставив в исходное:
Получили нулевой вектор, значит, задача Коши решена правильно.
8. Нахождение координат особых точек и определение их типов
Нелинейная система -- динамическая система, в которой протекают процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Метод качественной теории дифференциальных уравнений заключается в осуществлении оценки поведения системы, которую мы можем провести только вблизи некоторых точек, которые являются особыми, то есть являются положением равновесия или точкой покоя динамической системы. Исследуем нелинейную систему, найдем особые точки и построим фазовый портрет.
Запишем нелинейную систему в общем виде:
При этом и таковы, что в точке обращаются в нуль. Введем следующие обозначения:
является характеристическим полиномом, при подстановке в который особых точек можно определить их тип по виду характеристических чисел, а именно:
Комплексные с отрицательной действительной частью
Комплексные с положительной действительной частью
Получили 3 особых точки с координатами x и y. Построим определитель для данной системы вида:
Приравняв его к нулю, поочередно подставляя найденные ранее точки, разрешим относительно собственных значений л.
Анализируя найденные значения л, определим типы особых точек и типы фазовых траекторий.
В результате вышеизложенных действий получили следующие типы особых точек: первый тип особой точки - седло (тип фазовой траектории - гиперболы); второй тип особой точки - устойчивый узел (тип фазовой траектории - параболы); третий - неустойчивый узел (тип фазовой траектории - параболы).
Построение фазового портрета необходимо для того, чтобы мы могли наглядно проследить за поведением системы в окрестности особой точки и в удалении от нее.
Для нелинейных систем дифференциальных уравнений не существует общих аналитических методов решения. Поэтому для нахождения решений и оценки их поведения используются разнообразные численные методы. Численные методы позволяют найти решение задачи Коши для данных начальных условий.
· odefun - имя функции, вычисляющей правую часть дифференциального уравнения.
· tspan - вектор, задающий интервал интегрирования .
· T - вектор-столбец моментов времени.
· Y - вектор-столбец решений. Каждый ряд в Y соответствует решению, полученному в момент времени в соответствующем ряду T.
Предварительный анализ системы показал, что чтобы получить достаточно полное представление об общем решении данной системы необходимо рассмотреть начальные условия из ограниченной области, содержащей все особые точки.
Правая часть нелинейной системы представлена следующей функцией:
dy = zeros(2,1); % вектор-столбец нулевых элементов
Необходимо написать файл-функцию для обработки значения, вычисленного на текущем шаге интегрирования. Солвер (ode113) будет вызывать эту функцию после каждого шага и осуществлять дальнейшие действия в зависимости от возвращаемого ей значения. Назовем эту функцию solproc. Входной аргумент flag является строковой переменной. В результате работы функции solproc формируется выходной аргумент status, который может быть 1 либо 0. Если солвер обнаруживает, что функция solproc вернула 1, то процесс интегрирования прекращается, а если 0 продолжается. Таким образом, функция solproc, которая проверяет критерий останова солвера выглядит следующим образом:
function status = solproc(t,y, flag )
%UNTITLED Summary of this function goes here
status = (length(flag)==0)&&((abs(y(1))>3)|(abs(y(2))>4))
Теперь можем говорить о построении фазового портрета - сочетании особых точек и наборе фазовых траекторий. Фазовые траектории, в свою очередь, это траектория точки в фазовом пространстве, изображающая как изменяется со временем t состояние динамической системы. Тогда построение фазового портрета определяется как:
for(i=-3:9/19:6) %общий фазовый портрет
options=odeset('OutputFcn',@solproc);
[t,y]= ode113(@Shpak18,[tn, tf],[i j],options);
В результате получим фазовый портрет:
Данный фазовый портрет, содержащий все особые точки, не ясно отображает все фазовые траектории. Поэтому, построим фазовый портрет для каждой особой точки отдельно.
Рассмотрим первую особую точку [р/2; р^2/4], тип которой является седло.
Для второй особой точки [-р/2; р^2/4] с типом - устойчивый узел, фазовый портрет будет выглядеть так:
Неустойчивый узел просматривается на портрете с точкой [3р/2; 9р^2/4]
Таким образом, мы построили фазовый портрет и убедились в том, что правильно определили характер особых точек.
В ходе проделанной работы было изучен метод решения нелинейной системы и 3 метода нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, решение в виде матричного ряда и матричный метод. В ходе нахождения решения в виде матричного ряда мы убедились, что при увеличении числа членов ряда решение приближается к решению Коши. По сравнению с методом Эйлера и матричным методом, метод разложения в матричный ряд прост в реализации, но дает приближенное решение. Также была изучена задача Коши, которая была использована для нахождения частного решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений для данного вида начальных условий. Для установления правильности проведенных вычислений была проведена проверка с помощью подстановки полученных решений в исходную систему уравнений.
Была исследована нелинейная система: численно проинтегрирована в MATLAB, определены характеры особых точек и построен фазовый портрет.
Для реализации этой работы в DERIVE были использованы следующие функции пакета:
1. SOLVE (Pm=0, ) - решение уравнения Pm=0, где Pm - полином степени m: Pm=p0*mp1*m-1+…+pm-1*+pm, а - переменная, относительно которой решается данное уравнение.
2. DIF(A,x,n) - дифференцирование A по xn раз.
3. VECTOR(u,k,n)- задание (вычисление) вектора значений при k изменяющемся от 1 до n.
1. SOLVE/SYSTEM -решение системы с последующим заданием в диалоговом окне количества уравнений, самих уравнений и переменных, относительно которых решается данное уравнение.
2. Simplify > Expand- раскрытие выражений.
Команда Expand используется для раскрытия математических выражений.
Expandexpression: #n: где n - номер строки выражения (операнда).
В этом варианте команды необходимо указать имя переменной, по которой будет проведено преобразование. Если по всем -.
3. Для построения графиков использовали функцию 2D-plot.
1. Матвеев Н.М. - Дифференциальные уравнения / Просвещение -- 1999 г,
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.-М.:Наука,1969.
3. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешникова - Дифференциальные уравнения -М.:Наука, 1989.
4. Поршнев, Сергей Владимирович. MATLAB 7: основы работы и программирования : учебное пособие для вузов / С. В. Поршнев. -- М. : Бином, 2006.
5. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7.-СПб.: БХВ, 2005
Построив графики решений задачи Коши и решения в виде матричного ряда для 7, 10 и 5 членов, мы видим, что при увеличении n членов матричного ряда, график приближается к графику решения задачи Коши. На рисунке изображены графики этих решений для четвертой функции в решении.
Принцип и значение метода Эйлера для расчета дифференциальных уравнений. Анализ его геометрического смысла. Улучшение метода за счет аппроксимации производной. Разработка блок-схем и программы на языке Turbo Pascal для проверки методов интегрирования. курсовая работа [385,7 K], добавлен 15.06.2013
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы. курсовая работа [226,6 K], добавлен 05.04.2013
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов. курсовая работа [532,9 K], добавлен 14.01.2014
Ручной расчет поставленной задачи методов Эйлера и Эйлера-Коши. Алгоритмы решения обоих методов, их программная реализация, решение тестовых примеров на заданную задачу. Расчеты заданного интеграла на языке программирования Turbo Pascal, их результаты. курсовая работа [404,7 K], добавлен 15.06.2013
Программа вычисления интеграла методом прямоугольников. Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений. Модифицированный метод Эйлера. Методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Задачи линейного программирования. методичка [85,2 K], добавлен 18.12.2014
Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в программе Matlab. Применение метода Рунге–Кутты. Априорный выбор шага интегрирования. Построение трехмерного графика движения точки в декартовой системе координат и создание видеофайла формата AVI. контрольная работа [602,8 K], добавлен 04.05.2015
Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона. курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Исследование методов решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
33 Кара Соз Абай Эссе
Курсовая работа: Стратегические основы развития внешнеторговых связей Украины со странами СНГ. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат На Тему Социально-Биологические Аспекты Физической Культуры
Реферат: Социально-экономическое развитие России
Листопад В Парке Сочинение 4 Класс
Курсовая работа: Учёт расчётов с персоналом по оплате труда на примере предприятия ООО "Строитель"
Реферат На Тему Развитие Физкультуры России
Дипломная работа по теме Философско-правовые идеи просветителей XVIII века в странах Западной Европы
Реферат: Египетско-ливийская война 1977
Реферат Щастя
Курсовая Работа На Тему Зож
Сочинение На Тему Раскаяние 70 Слов
Инфляция Примеры Для Эссе
Реферат по теме Восстановительное правосудие и проблемы его реализации
Диссертация Жанры
Корпоративная Культура В Кремниевой Долине Реферат
Контрольная работа по теме Формы кредита и их характеристика
Куприн Полное Собрание Сочинений
Отчет По Практике В Организации Экономиста
Реферат На Тему Креативность
Глобализация и этносоциальная эволюция - Политология реферат
Разработка концепции розничного торгового предприятия на примере детского магазина - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Кон’юнктурне дослідження світового ринку великої побутової техніки - Маркетинг, реклама и торговля контрольная работа