Исследование математического ожидания состоятельной оценки взаимной спектральной плотности - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Исследование математического ожидания состоятельной оценки взаимной спектральной плотности

Исследование первого момента состоятельной оценки взаимной спектральной плотности. Задачи спектрального анализа временных рядов. Графики оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений температуры воздуха в городе Бресте.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»
1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.
Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем .
Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.
Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.
Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида
Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида
Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида
спектральный плотность временной ряд
Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида
Смешанным моментом го порядка , , случайного процесса , , называется функция вида
Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение
Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера
Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию
которую будем называть характеристической функцией , где - ненулевой действительный вектор, , .
Смешанный момент го порядка , , можно также определить как
Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка , , случайного процесса , , называется функция вида
, , которую также будем обозначать как .
Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид
где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества на подмножества , где , , , , .
Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
Теорема 1 .1 . Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления
Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и
- мерная функция распределения, где
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение
Возьмем произвольное . Пусть , тогда
В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать
Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать
Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать
Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле , если и
Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида
Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка , , стационарного СП , называется функция вида
Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВОГО МОМЕНТА СОСТОЯТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительный стационарный случайный процесс , с , неизвестной ковариационной матрицей , неизвестной взаимной спектральной плотностью
Пусть - последовательных наблюдений, полученных через равные промежутки времени, за составляющей процесса .
Предполагаем, что число наблюдений представимо в виде , где - число пересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений, а принимает целочисленные значения, .
Используя методику Бриллинджера Д. [2], в качестве оценки взаимной спектральной плотности исследована статистика вида
где , - спектральное окно, а , - оценка взаимной спектральной плотности процесса , построенная по методу Уэлча [6]
, , модифицированная периодограмма на -ом интервале разбиения, а задано выражением
, причем наблюдения сглаживаются одним и тем же окном просмотра данных
В работе [6] исследована оценка (2.2) для гауссовских процессов. В данной работе оценки (2.1), (2.2) исследованы для произвольных случайных процессов.
Предположение 1. Пусть окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной вариацию.
Предположение 2. Пусть непрерывная, периодическая функция с периодом , имеет ограниченную вариацию и является ядром.
Теорема 2. 1. Если взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , окна просмотра данных удовлетворяют предположению 1, а спектральные окна предположению 2, то для оценки , заданной выражением (2.1), справедливо соотношение
Доказательство. Используя свойства математического ожидания и функции вида
Откуда, учитывая лемму Д5.1 работы [2], получим
Сделаем замену переменных , получим
Известно, что свертка двух ядер является ядром, следовательно,
Так как взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , а является ядром, получим требуемый результат. Теорема доказана.
Исследуем скорость сходимости первых двух моментов оценки , заданной (4), предполагая, что , удовлетворяет следующему условию:
для любых , С - некоторая положительная постоянная,
Лемма 2. 1 . Для ядра , заданного выражением (2.6), при любом
Так как функция непрерывна на , следовательно, для любого существует что как только то поэтому
можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Значит,
Лемма 2.2. Для функции , заданной выражением (2.6), справедливы соотношения
Доказательство. Подставляя в явном виде, получим
Используя соотношение (1.1) получим (2.9).
Докажем соотношение (2.10). Нетрудно видеть, что
Откуда следует справедливость соотношения (2.10). Докажем (2.11). Используя неравенство Гельдера, получим
получим требуемый результат. Лемма доказана.
Теорема 2. 2. Если взаимная спектральная плотность удовлетворяет соотношению (2.7), то для математического ожидания оценки , , задаваемой (2.1), имеет место равенство
где , задается соотношением (2.6), .
Доказательство. Используя соотношение (2.9) можем записать
Покажем, как строятся весовые функции , которые будем называть спектральными окнами. В общем случае строятся следующим образом:
где четная, не зависящая от T действительная функция, для которой
а Обычно предполагается, что при , , ,
Все указанные функции являются неотрицательными.
Оказывается, скорость сходимости моментов рассматриваемых оценок важно существенно улучшить, если использовать знакопеременные спектральные окна, т.е. такие четные функции , которые наряду с тем, что удовлетворяют условиям
Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».
Функция называется окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
называют частотным окном. Из соотношения (4.1) вытекает, что
Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .
В данной работе исследовано математическое ожидание оценки взаимной спектральной плотности вида
Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 755 с.
2. Бриллинджер, Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.
3. Журбенко, И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.
4. Труш, Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. - Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.
5. Труш, Н.Н., Мирская, Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. - Мн.: БГУ, 2000.
6. Welch, P.D. The use of FFT for the estimation of power spectra / P.D. Welch // IEEE Trans. Electroacoust. - 1967. - Vol. 15, №2. - P.70-73.
Первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследование асимптотического поведения математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных. курсовая работа [558,0 K], добавлен 12.04.2012
Главная задача спектрального анализа временных рядов. Параметрические и непараметрические методы спектрального анализа. Сущность понятия "временный ряд". График оценки спектральной плотности для окна Дирихле, при центрированном случайном процессе. курсовая работа [332,8 K], добавлен 17.09.2009
Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Спектральная плотность случайного процесса. Сглаживание значений на концах случайного временного ряда. График оценки спектральной плотности для окна Рисса, при центрированном случайном процессе. курсовая работа [382,3 K], добавлен 17.09.2009
Среднее арифметическое наблюдаемых значений, служащее оценкой для математического ожидания. Состоятельность оценки, следующая из теоремы Чебышева. Условия возникновения систематической ошибки, ликвидация смещения. Точечные параметры оценки величин. презентация [62,3 K], добавлен 01.11.2013
Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью. контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010
Оценивание параметров закона распределения случайной величины. Точечная и интервальная оценки параметров распределения. Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения, нахождение параметров системы. График оценки плотности вероятности. курсовая работа [570,4 K], добавлен 28.09.2014
Графическое изображение теоретической и эмпирической функций плотности распределения; критерии их согласования. Определение доверительных интервалов для математического ожидания. Расчет диапазона рассеивания значений при заданной вероятности риска. контрольная работа [519,8 K], добавлен 11.06.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Исследование математического ожидания состоятельной оценки взаимной спектральной плотности курсовая работа. Математика.
Доклад по теме Цилиндр и конус
Автореферат На Тему Моделі Мультиграничної Сегментації Зображень
Контрольная работа по теме Современная этика деловых отношений
Аристотель Энциклопедия Античного Мира Реферат
Сочинение Егэ Литра
Профессия Бухгалтер Настоящее И Будущее Реферат
Доклад: Лоу, Хиок Чан
Ответ на вопрос по теме Административная юстиция (шпаргалка)
Реферат: Кримінологічне прогнозування злочинності
Курсовая работа по теме Закат естественнонаучного материализма и христианское мировоззрение
Жемқорлық Туралы Эссе
Курсовая работа по теме Разработка программы расчета определенного интеграла по формуле Буля по схеме двойного пересчета с з...
Дипломная работа по теме Методология расчета и статистический исследование показателей работы и использования подвижного состава на железнодорожном транспорте
Контрольная Работа На Тему Проблемы Молодежного Суицида В Современных Условиях
Официальный Сайт Егэ Итоговое Сочинение
Промышленный Образец Реферат
Дипломная работа: Исследование апоптотической активности лимфоцитов периферической крови in vitro при инфекционном мононуклеозе и мононуклеозоподобном синдроме. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Відкриття меблевого магазину в Польщі
Реферат по теме Нейрокомпьютеры
Реферат: Расходы бюджета РФ
Оценка действий советских войск в локальных конфликтах в отечественной публицистике - Журналистика, издательское дело и СМИ дипломная работа
Правовідносини батьків та дітей - Государство и право курсовая работа
Дискретные устройства - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника курсовая работа