Исследование алгоритма оценивания стохастических динамических систем - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника курсовая работа

Главная

Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Исследование алгоритма оценивания стохастических динамических систем

Формальная классификация моделей. Математические модели измерительных приборов. Применение фильтра Калмана в обработке спутниковых сигналов. Ошибки измерений и их порядки. Свойства условных вероятностей. Оценивание по минимуму апостериорной дисперсии.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Целью данной работы является исследование алгоритма оценивания стохастических динамических систем называемого Фильтром Калмана. Задачей работы помимо исследования алгоритма является реализация его на языке с++. Объектом оценивания будет являться спутниковые измерения.
Спутниковая система навигации (GNSS, global navigation satellite system) - комплексная электронно-техническая система, состоящая из совокупности наземного и космического оборудования, предназначенная для определения местоположения (позиционирования), а также параметров движения (скорости, направления движения и др.) для различных целей. Местоположение определяется тремя координатами приёмника спутниковой навигации в некоторой системе координат. Обычно используются системы координат ECEF (Earthcentered & earthfixed, декартова система координат с началом в точке центра масс Земного шара), WGS84 (World Geodetic System 1984, сферическая система координат с началом в точке центра масс Земного шара). Если местоположение считается в сферической системе координат и третья координата (высота) неизвестна, то позиционирование является двумерным. Если в процессе позиционирования координаты приёмника не меняются, то позиционирование называется статическим. В противном случае говорят о кинематическом позиционировании.
Система спутниковой навигации включает в себя орбитальную группировку, состоящую из нескольких (от 2 до 30) спутников, излучающих специальные радиосигналы, наземную систему контроля, приёмное клиентское оборудование ("спутниковые навигаторы"), Возможно также использование системы наземных станций, позволяющих повысить точность определения координат, системы для передачи пользователям уточнённых координат и часов спутников.
Местоположение приемника в системе спутниковой навигации вычисляется пересечением сфер от разных спутников. Радиусы сфер определяются неточно из-за ионосферной и тропосферной задержек, релятивистского эффекта, эффекта приема отраженного сигнала и других факторов. Без каких-либо коррекций точность определения местоположения составляет 30-50 метров.
Важнейшими приложениями спутниковой навигации являются:
· Картография: построение карт при помощи систем спутниковой навигации;
· Геодезия, кадастровые работы: с помощью систем навигации определяются точные координаты границ земельных участков;
· Навигация: с применением систем спутниковой навигации осуществляются морская, дорожная, авиационная и другие виды навигации;
· Спутниковый мониторинг транспорта: с помощью систем навигации ведется мониторинг за положением, скоростью автомобилей, контроль за их движением;
· Сотовая связь: в случае, когда телефон снабжен устройством спутниковой навигации, можно узнать его местоположение;
· Геофизические измерения: с помощью систем навигации ведутся наблюдения движений и колебаний литосферных плит.
В каждой области, где используется та или иная система спутниковой навигации, существуют свои требования к точности нахождения местоположения. Например, при кадастровых работах необходимо, чтобы ошибка была не более 10 сантиметров. Напротив, в дорожной навигации, точности в 5 метров зачастую бывает достаточно. В соответствии с этими требованиями используются разные датчики и разные методы.
Существует несколько классов методов решения задач спутниковой навигации. В прошлом наиболее популярны были разностные методы. Для этих методов необходима как минимум одна наземная станция (т.е. приёмник, координаты которого известны), находящаяся достаточно близко к месту измерений. Эти методы позволяют алгебраическими преобразованиями сократить большинство ошибок, в частности можно сократить ионосферную и тропосферную задержки, ошибки часов спутников и приёмников. Однако, чем дальше от наземной станции производится подсчёт, тем меньше точность позиционирования.
Это главный минус разностных методов, но тем не менее ранее им уделялось большое внимание и практически не рассматривались абсолютные методы, т.е. методы, использующие лишь один приемник. Но ситуация начала меняться, когда стали появляться наземные службы, вычисляющие различные дополнительные данные, такие как точные орбиты спутников, погрешности часов спутников, атмосферные карты и др. На сегодняшний день самая большая такая служба - IGS (International GNSS Service, [13]), В последнее время стали приобретать популярность методы высокой точности (point precise positioning). Этот класс методов подразумевает учёт максимального числа данных для коррекций различных ошибок и задержек.
Нахождение местоположения в системе спутниковой навигации - это нахождение трёх координат. Наряду с этими величинами, можно замерить ряд относительных параметров при помощи инерциальных датчиков (IMU, inertial measurements unit): акселерометра, гироскопа и магнетометра. При помощи акселерометра можно измерить три координаты ускорения, при помощи гироскопа - три координаты угловых скорости, при помощи магнетометра - три координаты вектора магнитного склонения. Эти данные также могут быть использованы при решении навигационных уравнений.
В этом главе будет представлена в аналитическом виде значительная часть ошибок и задержек, возникающих при измерении расстояния от спутника до приемника.
Под ошибкой будем понимать какой-либо сдвиг координат спутника или часов приёмника и спутников. Задержка -- эта ошибка, по причине которой изменилась скорость прохождения сигнала на каком-либо участке от спутника до приёмника.
Пусть у нас имеется приемник и несколько спутников. Пусть имеется общая временная шкала, т.о. время, но которому выстроены часы спутников и приёмника, В качество общей временной шкалы практически всегда берут среднее время но Гринвичу (время на нулевом меридиане). Будем называть псевдодалъностъю величину
• t(T2) - время получения сигнала приемником по часам приемника
• ti(T1) - время отправления сигнала спутником по часам спутника номер i
Определяя расстояние от i-го спутника до приёмника, псевдодальность содержит также следующие ошибки: ошибку синхронизации часов спутника и приемника, задержку сигнала в атмосфере (тропосфера и ионосфера), релятивистский эффект, инструментальные задержки, помехи тина "повторных изображений" (multipath), интерференции и другое.
Учитывая вышеуказанное, получим следующее выражение для псевдодальности:
где: геометрическое расстояние от спутника под номером i, т.е.
• изменение часов приемника от общей временной шкалы;
• изменение часов i-го спутника от общей временно шкалы;
• характеризует ионосферную задержку, множитель, который выражается через частоту сигнала ;
• инструментальная задержка, вызванная помехами спутника, не зависит от частоты;
• эффект приема отраженного сигнала, зависит от частоты;
Математимческая модемль - это математическое представление реальности.
Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей.
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.
Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.
Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):
1. находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;
2. способная замещать его в определенных отношениях;
3. дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.
По учебнику Советова и Яковлева: «модель (лат. modulus--мера)-- это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» , «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» . «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»
Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий:
§ Сосредоточенные или распределённые системы;
§ Детерминированные или стохастические;
и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом- распределённые модели и т. д.
Классификация по способу представления объекта
Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:
§ Структурные или функциональные модели
Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».
Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования.
Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.
Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы -- совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое.
Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.
В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси.
Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые - его периодическим решениям.
Основное содержание теории динамических систем - это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репелеры) множеств (многообразий).
Важнейшие понятие теории динамических систем -- это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).
1.2 Математические модели измерительных приборов
В комплексной обработке измерительной информации, помимо задач непосредственной преобразования этих измерений, существует задача стохастического вида - задачи стохастической фильтрации погрешностей при обработке показаний приборов. Эти задачи опираются на современную теорию оценивания случайных процессов.
Математической моделью измерительного прибора называют формальные математические соотношения, которые связывают измеряемую величину (входной сигнал прибора) с его выходным сигналом .
Так как в реальных условиях погрешность прибора и тем самым его выходной сигнал являются случайными процессами, то и модели должны носить вероятностный характер.
В случаях, когда работа прибора происходит в непрерывном времени, она может быть описана с помощью системы стохастических дифференциальных уравнений с фазовыми координатами (вектор состояния) и системы функциональных преобразований от векторов :
где n-мерный вектор-столбец состояния; m-мерный вектор измеряемых величин; m-мерный вектор выходных сигналов (измеренных величин); n-мерная, m-мерная дифференцируемые функции своих переменных; случайные процессы типа “белый шум”. матрица. Ковариационные матрицы этих процессов будем считать известными и равными
Матрицы называются матрицами интенсивности “белых” шумов. Если модель записать в виде
Имеются измерительные приборы, которые работают дискретно. Кроме того, в некоторых случаях у непрерывных приборов съем показаний осуществляется в дискретные моменты времени. Для таких приборов математические модели тоже должны быть дискретными. Для нелинейных систем дискретная модель имеет вид:
где многомерные дискретные “белые” шумы с ковариационными матрицами , .
Для линейных систем дискретная модель представляется в форме
Определение 1 Фильтр Калмана - эффективный (т.е. имеющий способ гарантированно достигать результат за конечное число действий) рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и зашум ленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана.
Чтобы дать более полное определение фильтра Калмана, необходимо ввести ряд необходимых терминов и обозначений.
Путь имеется некоторый процесс, для которого существует физическая модель. Пусть также существуют некоторые измерения, связанные с этим процессом. Фильтр Калмана подразумевает дискретное время, В ый момент времени вектор состояний выражается через вектор состоянийго момента времени :
где: * матрица физический модели процесса
• - случайный вектор ошибки размерности , характеризующий ошибку физической модели.
• - ковариационная матрица процесса z
• - ковариационная матрица процесса w
Также в каждый момент времени мы можем получать измерения. Вектор измерений связан с вектором состояний следующим уравнением
где: - вектор измерений размерности m
• матрица, характеризующая связь вектора состояний с вектором измерений.
• v - случайный в ектор ошибки размерности m , характеризующий ошибку измерений.
• - ковариационная матрица случайного процесса ошибки измерений.
• - ковариационная матрица зависимости процессов w и v
Уравнения (1) выдают какой-то физический процесс, а вектор есть измерения, которые мы можем сделать какими-либо приборами. Уравнения (2) показывают связь вектора состояний с вектором измерений. Матрица B может быть ненулевой только в случае, когда процессом управляют со стороны. В общем случае уравнения могут быть нелинейными, однако алгоритм Калмана подразумевает, что мы всегда их можем линеаризовать .
Определение 2 Алгоритмом Ка лмана называется следующий двух шаговый алгоритм вычисления состояния динамический системы ( 1), ( 2):
Первый шаг - предска зание(предикция, экстраполяция)
2.2 Свойства условных вероятностей
Пусть имеются две векторные случайные величины порядка n и m соответственно.
Пусть далее у них имеется совместная плотность распределения вероятностей где x и y - аргументы функции плотности, представляющие собой векторы той же размерности, что и .
Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что реализация вектора , будет функция
Условным математическим ожиданием случайного вектора при условии называются первые моменты от условной плотности распределения
г де представляет собой сокращенное обозначение n -кратного интеграла .
Из определенных выше выражений вытекает известная формула для у словных математических ожиданий
Которая получается из следующей цепочки равенств:
Вторые центральные моменты от функции условной плотности распределения образуют ковариационную матрицу условного распределения
Рассмотрим теперь следующую задачу. По реализации случайного вектора нужно построить оценки для элементов неизвестного для наблюдателя случайного вектора . При этом оценки представляющие собой фукции от аргумента , должны удовлетворять условию минимума дисперсии для погрешности оценивания
Минимум в последнем соотношении берется по всем всевозможным видам функции Докажем, что функцией на которой реализуется минимум, будет условное математическое ожидание
Доказательство следует из цепочки равенств
Где , положительная и не зависящая от выбора функции величина.
Выражение достигает своего минимума при .
Итак, оценка , оптимальная в смысле наименьшей дисперсии, совпадает с условным математическим ожиданием.
Далее для краткости записи для обозначения случайных величин , их плотностей, математических ожиданий и ковариационных матриц мы будем применять конкретные реализации
Рассмотрим теперь задачу на определение условной гауссовской плотности вероятности. Пусть задан нормальный случайный вектор , состоящий из двух векторов z и y, размерности которых n и m соответственно. Математические ожидания этих векторов, а также ковариационные матрицы считаются известными. Также считаем, что , т.е. случайный вектор y является невырожденным.
Перейдем к поиску условного математического ожидания и условную ковариационную матрицу , которые задают условную плотность вероятности как плотность гауссовского типа.
Для решения поставленной задачи введем вектор , а матрицу подберем так, чтобы векторы и были некоррелированными
В силу независимости случайных величин и получаем равенство условного и априорного ожиданий
Окончательно получаем выражение для условного математического ожидания
Вычислим теперь ковариационную матрицу условного нормального распредения. Рассмотрим случайный вектор
В этом случае ковариационная матрица может быть представлена в виде
В силу независимости случайных векторов и в последнем выражении от условных математических ожиданий можно перейти к априорным.
Итак, определены формулы для нахождения условного математического ожидания и ковариационной матрицы. Эти формулы будут необходимы для вывода фильтра Калмана.
В этой части будет рассмотрен непосредственный вывод формул (3)-(7). По результатам измерений, проводимых в дискретные моменты времени , необходимо определить оценки вектора состояний наименьшей дисперсии процесса (1). Для этого по известным уже измерениям необходимо определить условное математическое ожидание , которое и принимается за оптимальную оценку вектора . Оптимальность её следует из предыдущей главы. Предполагается, что матрицы в соотношениях (1) и (2) и ковариационные матрицы известны.
Кроме условного математического ожидания требуется определить ковариационную матрицу условного нормального распределения .
При решении поставленной задачи предположим, что к моменту времени оценка , и ковариационная матрица уже вычислены на предыдущем шаге и нам известны. Из этого предположения с учетом (1) и (2) следует, что априорные для момента (т.е. не учитывающие результат последних измерений) значения математических ожиданий и ковариационных матриц для случайных векторов будут равны:
Из вышеизложенных формул для условных математических ожиданий и ковариационных матриц на основании выражения (8) получаем формулу для оценки :
Формулу для вычисления матрицы получим использую выражение
В дальнейшее будем использовать свойство ковариационных матриц . + =+ .
2.4 Нелинейный фильтр (дискретный случай)
Рекуррентный оптимальный алгоритм (3)-(7) является оптимальным для линейных систем (1)-(2).
Однако в случае малого отклонения вектора от его оценки он может быть применен и для нелинейных систем вида
где n-мерная нелинейная функция от n аргументов, являющихся элементами вектора ; m-мерная нелинейная функция от n аргументов, являющихся элементами вектора ; «белые» шумы.
Линеаризуем функции и около точки , а функцию около точки . В таком случае получим с точностью до малых второго порядка
где матрицы частных производных (матрицы Якоби), вычисленные в точках соотвественно.
Вышеуказанные уравнения являются линейными. Они могут рассматриваться как уравнения вида (1)-(2), если установить соответствие
Пользуясь этими отношениями соответствия, из алгоритма Калмана (3)-(7) получаем алгоритм для оценивания
В последнем выражении линейные члены, включающие в себя матрицы , взаимно сокращаются.
Остальные формулы идентичны формулам (3)-(7), подставляя в качестве матриц соотношения (9). Алгоритм (10) представляет собой рекуррентный алгоритм оценивания по Калману для нелинейных дискретных систем. Такой алгоритм уже не будет строго оптимальным, однако во многих случаях это алгоритм дает высокую точность оценивания.
2.5 Оценивание по максимуму апостериорной вероятности (дискретный случай)
Рассмотрим нелинейную дискретную модель вида:
конечный момент времени в проведении измерений.
По результатам измерений для множества значений фазовых координат требуется определить оценки , доставляющие максимум для апостериорной плотности распределения вероятностей . При этом получение значений будет представлять собой процесс сглаживания, а получение оценки процесс фильтрации.
Из (11, б) следует, что при известном функция представляет собой нормальную плотность, так как случайный нормальный процесс. В таком случае
По правилу умножения вероятностей получим, что
Так как последовательность независимых нормальных случайных векторов, то марковский процесс, и предыдущее соотношение преобразуется к виду:
где нормальная условная плотность вероятностей с параметрами: средним и ковариационной матрицей .
Поскольку явно от не зависит, то при максимизации условной плотности (12) ее можно рассматривать как нормированный множитель.
В таком виде условная плотность (12) может быть записана в виде
где представление квадратичной формы.
Нахождение величин , обеспечивающих максимум плотности вероятности (13) и представляет процесс нелинейного сглаживания и фильтрации по критерию максимума апостериорной плотности вероятности. Плотность (13) с точностью до постоянного множителя A можно трактовать как плотность распределения вероятностей для всего выборочного пространства, которое задается совокупной плотностью распределения случайных величин ,…,. В статистике такую плотность принято называть функцией правдоподобия. В таком случае оценки , полученные по критерию МАВ, можно также трактовать, как оценки максимального правдоподобия.
Вычисление максимума функции (13) по переменным эквивалентно вычислению минимума функции
По переменным при наложении на указанные переменные уравнений связей
Задача условной минимизации (14)-(15) может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа.
При этом методе минимизируемая функция записывается в виде
Если от функции J вычислить частные производные по и приравнять их нулю, то получим следующую систему (16) для оценок и множителей Лагранжа:
нулю, введен формально это позволяет соотношения (16, d и e) переписать в едином виде
В интересах дальнейшего изложения удобно сделать следующую замену переменных
В этом случае уравнения (16, a,d и e)
Решая тем или иным способ систему нелинейных алгебраических и уравнений (17), мы получим искомые оценки , и вместе с ними множители Лагранжа Данная система имеет порядок представляет собой в практическом случае сложную вычислительную задачу. Заметим, что проведение следующего измерения, когда увеличивается на 1, заставляет заново решать систему уравнений (17), увеличившуюся на 2n.
Во многих случаях интерес представляет только задача фильтрации, когда оцениваются величины По этой причине возникает задача рекуррентного перехода от оценки на предыдущем шаге к оценке в текущий момент времени.
Указанная задача может быть решена методом инвариантного погружения. Сущность метода инвариантного погружения здесь состоит в следующем. Пусть задача (17) для шага , и мы получили решения и . Одновременно мы получили и решения и . Предположим, что мы решили бы задачу, считая шаг последним, но величину взяли равной не нулю, а величине с. Тогда для моментов времени мы получили бы оценки, совпадающими с оценками .
Дадим определение расширенное решение для системы (17). Так мы будем называть решение при условии, что принята равной , причем с здесь и далее рассматривается уже как произвольная величина. В обозначении зависимость решения от величины c и номера шага . Естественно, что .
Из уравнения (17, а) следует, что расширенное решение от шага к шагу удовлетворяет соотношению:
Из уравнения (17,б) вытекает, что величины и удовлетворяет соотношению
В дальнейших выкладках мы заменим на , считая его последним шагом.
Предыдущие соотношения можно записать в обобщенном виде
В таком случае из (18)-(19) вытекает уравнение дискретного инвариантного погружения
Решение этого уравнения будем искать в следующем приближении:
где , а неизвестная пока симметричная матрица размером n*n.
Соотношение (23) верно при любых достаточно малых c. Будем считать, что его левую и правую часть можно разложить в степенные ряды по переменной c. Если приравнять друг к другу свободные члены, а также коэффициенты при первых степенях c, то получим
Если в (18) принять с=0, то с учетом (22) получим
В таком случае уравнение (24) примет вид
Можно заметить уравнение для оценок (26) по форме совпало с уравнением (10), полученным ранее из условия минимума для дисперсии оценивания.
Рассмотрим теперь уравнения (25) для матрицы Для этого нужно вычислить входящие в него производные. На основании (25) ,(18) и (22)
Перейдем к вычислению , входящей в (25) . На основании (18) и (22) получаем
Вычисление по формуле (27) требует обращения трех матриц, вычислительные трудности могут бытьрешены при помощи следующего приема
Определим матрицу с помощью соотношения
Тогда, опираясь на лемму об обращении (приложение 1)
Отсюда и (27) получаем формулу для рекуррентного вычисления матрицы
Для нелинейной стохастической дискретной системы вида (11) получаем окончательно следующую сводку формул для алгоритма нелинейного фильтрации, оптимального по критерию максимума апостериорной плотности вероятности
3.1 Пример фильтра, оценивающего погрешность расстояния
Задача: Пусть из точки О излучается радиосигнал с длиной волны и начальной фазой . Напомним, что уравнение синусоиды «бегущей» вдоль оси со скоростью имеет вид . Тогда в подвижной точке М, удаленной от точки О на расстояние этот сигнал будет иметь вид
Предположим, что на точке М имеются точные часы, радиоприемник, воспринимающий сигнал . А также навигационное устройство (типа счисления пути), с помощью которого можно определять расстояние . Предположим, что указанное расстояние определяется (в течении времени наблюдений) с постоянной погрешностью так что
По дискретным наблюдениям требуется оптимальным образом оценить расстояние .
Поставленная задача может быть сформулирована на языке нелинейной фильтрации, если ввести обозначение . В таком случае уравнение состояния и уравнение наблюдения приобретают вид
Решим задачу оценивания двумя методами: с помощью алгоритма (10) по критерию минимума апостериорной дисперсии (МАД) и с помощью алгоритма (30) по критерию максимума апостериорной вероятности (МАВ).
Для первого алгоритма имеем соотношения, вытекающие из (10) и (31):
Для второго алгоритма (оптимального по критерию МАВ) имеем соотношения
На рисунке 1 сплошными линиями приведены две симметричные кривые для величин и кривая для погрешности вычисленных по методу МАД. Пунктирными линиями проведены те же кривые только для метода МАВ.
Далее приведены графики (рис. 2-4), полученные пакетом matlab, данных, найденных собственной программой. На них приведена только , причем не постоянна, она принимает случайное значение от -10 до +10. Остальные параметры (длина волны, интенсивность шума и т.д.) остались такими же, как и в примере. Красные кривые - для оценок, полученных по методу МАД, зеленые - по методу МАВ. На втором графике имитирован отказ системы на шагах 250-300 ( увеличили на 70 м).
На последнем графике показаны значения дисперсии также для обоих методов (красный - МАД, зеленый - МАВ).
На Рис. 5. показаны оценки для обоих методов при и отказе системы при k=3000-6000. Заметно, что при k<3000, оценка стремилась к 20, при k>6000 оценки стали убывать и стремится к 20.
По результатам опытов стоит отметить, что дисперс
Исследование алгоритма оценивания стохастических динамических систем курсовая работа. Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника.
Беспроводные Средства Связи Реферат
Дипломная Работа На Тему Восьмиэлементные Ассоциативные Кольца
Доклад по теме Реформа Людвига Эрхарда
Дипломная работа по теме Особливості дитячої творчості на уроках трудового навчання в початкових класах
Контрольная работа по теме Особенности природно-ресурсного потенциала России
Курсовая Работа На Тему Психологічні Вимоги До Особистості Майбутнього Вчителя Трудового Навчання
Реферат: Беседы по искусству в начальной школе / И.И.Левитан «Весна. Большая вода» (1896 г.)
Санкции За Незаконные Виды Деятельности Реферат
Практическая Работа По Химии 11 Класса
Курсовая работа по теме Лептоспироз у собак
Контрольная работа по теме Ковариация и корреляция
Лабораторная Работа По Физике Изучение
Курсовая работа по теме Транспортная инфраструктура Московской Области
Контрольная Работа На Тему Микроклимат Производственных Помещений
Реферат по теме Постсоветская ментальность в зеркале публицистического дискурса
Курсовая работа: Функции исполнительной власти
Реферат: Euthanasia Essay Research Paper Euthanasiasubmitted by
Отчет по практике по теме Характеристика информационной, рекламной и PR деятельности предприятия ЗАО 'МеталлСервис'
Эссе Рыночная Экономика
Сочинение На Тему Образ Базарова 100 Слов
Решение задач по молекулярной биологии - Биология и естествознание презентация
Право собственности. Дисциплинарное взыскание. Трудовой договор и его форма. Понятие, стороны и содержание обязательств. Полная материальная ответственность - Государство и право контрольная работа
Субъекты и объекты гражданских правоотношений - Государство и право курсовая работа