Использование методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа

Главная

Программирование, компьютеры и кибернетика
Использование методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения

Рассмотрение методов приближенного численного анализа. Формулы интегрирования, прямоугольников, трапеций, формула Симпсона. Оценка погрешностей интегрирования. Вычисление интеграла по формуле трапеций с тремя десятичными знаками и по формуле Симпсона.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Курс численных методов является важной частью математической подготовки студентов педагогических специальностей и направлений. Его значение в настоящее время определяется не только увеличивающимися возможностями применения методов вычислительной математики в вузовском учебном процессе, но и проникновением численных алгоритмов приближенного решения задач в среднее образование, т.е. в сферу деятельности учителя.
Виду того, что разумное применение и квалифицированное преподавание методов приближенного численного анализа затруднительны без основательной подготовки, будущему учителю математики, физики или информатики следует глубоко вникать в суть изучаемых методов приближений и оценок погрешностей, знать их обоснование и соответствующий математический инструментарий.
В курсе математического анализа доказывается, что когда функция f непрерывна на [a,b], для нее существует первообразная F(F'(x)= f(x) для всех x[a,b]), причем .(1) Формула (1), называемая формулой Ньютона - Лейбница, представляет собой точный метод вычисления определенного интеграла. Однако в реальности использовать ее удается не всегда. Таким образом, выбранная тема исследования является актуальной.
Цель курсовой работы: использование на практике методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения.
Изучение теоретического материала по теме «Численное дифференцирование».
Изучение различных методов интегрирования.
Практическое применение приближенного вычисления определенного интеграла с использованием программного обеспечения.
Предметом исследования - дисциплина «Численные методы»
Объект - «Численное интегрирование. Приближенное вычисление определенного интеграла с использованием формул прямоугольников, трапеций, формула Симпсона».
В приложениях математики одной из наиболее часто встречающихся задач является вычисление определенного интеграла. Существуют точные методы вычисления определенного интеграла.
Интегрируемость функции f на отрезке [а; b] означает, что если этот отрезок разбивать точками а = х0 < х1 < ... < хn = b на n частей (п € N), выбирать числа t1 € [хi-1 ; xi] и составлять интегральные суммы
то будет существовать конечный предел этих сумм при h>0 (h= max ?xi -- шаг разбиения), не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек ti, из этих частей. Этот предел и есть определенный интеграл
Поскольку способ разбиения отрезка может быть любым, в дальнейшем будем разбивать [а; b] на равные части. В этом случае
а условие h>0 равносильно условию п > ?. Следовательно, при достаточно больших п можно положить:
Конкретизируем правило выбора ti. Если взять их равными левыми концам отрезков [xi-1; ix], yi-1 = f(xi-1)то получим
Приняв t1 =xi - правые концы отрезков [xi-1; xi], yi-1 = f(xi), будем иметь
Квадратурная формула (2) называется формулой прямоугольников c левыми ординатами, а формула (3) -- формулой прямоугольников с правыми ординатами. Взяв в качестве ti середины частичных отрезков, получим формулу прямоугольников с центральными ординатами.
Эти названия объясняются геометрическим смыслом формул. Как известно, определенный интеграл от неотрицательной интегрируемой функции на f отрезке [а; b] равен площади соответствующей криволинейной трапеции. Если криволинейную трапецию заменить ступенчатой фигурой D, составленной из прямоугольников с основаниями [xi-1; xi] и с высотами, равными ординатам точек (xi-1; yi-1 ) графика у = f(x) (i= 1, 2,..., п), то формула (2) выражает замену площади криволинейной трапеции на площадь фигуры D. На рисунке 1 взято п = 2, фигура D с «левыми» ординатами заштрихована.
Аналогичный смысл имеет и формула (3).
Разобьем отрезок [а; b] точками а = х0 < х1 < ... < хn = b на n равных частей одинаковой длины и найдем yi = f(xi)(i= 0,1, …, n). На каждом из отрезков [xi-1; xi] функцию f заменим по формуле линейного интерполирования
Найдем правый интеграл переходом к переменной t:
На остальных отрезках аналогичные выкладки дают
Складываем почленно приближенные равенства (4), (5) и в силу аддитивности интеграла получим формулу трапеций:
На рисунке 2 показан геометрический смысл этой формулы при п = 2. Линейная интерполяция приводит к замене графика функции f ломаной, соединяющей точки (х0, у0), (х1, y1),..., (хn, уn) этого графика. Затем вместо криволинейной трапеции рассматривают фигуру D, составленную из прямолинейных трапеций с основаниями y1 и yi+1 и высотой h. Правые части соотношений (4) и (5) равны площадям этих прямолинейных трапеций, а (6) означает замену площади криволинейной трапеции площадью фигуры D.
От квадратурной формулы следует ожидать большей точности, если для приближения подынтегральной функции / на частичных отрезках использовать квадратичное интерполирование.
Снова разобьем отрезок [а; b] на п равных частей точками a = x0 < x1 < … < xn = b с общей длиной и обозначим yi = f(xi ) (I = 0, …, n), но теперь возьмем четное число п. Тогда можно рассматривать «сдвоенные» отрезки [х0 ; х2 ], [х2 ; х4 ], … , [хn-2 ; хn ] с тремя известными узлами и на них функцию f заменять интерполяционными многочленами Ньютона второй степени (на каждом отрезке свой многочлен).
f(x) y0 + ty0 + 2 y0, где t=. [3,c.225](7)
Вычислим интеграл от правой части на отрезке [х0 ; х2 ] с заменой переменной
Результатом суммирования всех полученных приближенных равенств и будет формула Симпсона:
правую часть, которой обозначим Jn(C)
Формула Симпсона выглядит более громоздкой по сравнению с формулами прямоугольников и трапеций, но она значительно точнее их и может привести к требуемому результату при меньших п.
Теорема 1. Если производная четвертого порядка f(4) подынтегральной функции непрерывна на [а; b], то
Rn(C)= (d[а; b]), [3,c.228](11)
Как видно по оценке Vn M4 , точность формулы Симпсона на два порядка выше точности формулы трапеций и формулы прямоугольников с центральными ординатами. Она является одной из самых употребительных в практике вычисления определенных интегралов.
2. Оценка погрешностей интегрирования
2.2.1 Оценка погрешностей по формулам треугольников
Здесь и далее нам понадобятся следующие теоремы.
Теорема 2. (вторая теорема Больцано- Коши). Пусть функция f непрерывна на отрезке [а; b], а числа m и М -- ее наименьшее и наибольшее значения на [а; b]. Тогда для любого числа С, заключенного между т и М, найдется точка с [a; b] такая, что f(с) = С.
Теорема 3. (аддитивность интеграла) Если a = x0 ? x1 ? x2 ? … ? xn = b, то
Теорема 4. (обобщенная теорема о среднем значении интеграла). Пусть:
1) функция f непрерывна на отрезке [а; b], а функция g интегрируема на этом отрезке;
2) функция g не меняет знак на всем отрезке [а; b]. Тогда существует точка с [а; b] такая, что
Погрешности формул (2) и (3) оцениваются одинаково, поэтому далее правые части этих формул Jn (i) и их остаточные члены Rn (i) (i = 1, 2) для простоты будем записывать без верхних индексов.
Теорема 5. Если подынтегральная функция f имеет на [а; b] непрерывную производную f ' то оценка погрешностей формул (2) и (3) дается неравенством
На практике за М1 обычно принимают число, удовлетворяющее неравенству f'(x)? М1 для всех x [a; b].
О Доказательство проведем для формулы (2). Пусть отрезок [а; b] разбит на п равных частей [х0 ; х1 ], … , [хn-1 ; хn ] одинаковой длины
Возьмем любой отрезок [хi-1 ; хi ](I = 1,2, … , n). Для всякого х из него найдется зависящее от x число сi*[хi-1 ; х]такое, что f(x)= f(хi-1 )+ f '(сi*)(x- хi-1 ) (теорема Лагранжа). Тогда
Функция f ' непрерывна, а функция g: g(x) =x -xi-1 интегрируема и неотрицательна на [хi-1 ; хi ]. Следовательно, к интегралу в правой части полученного соотношения можно применить теорему 4 с некоторым числом сi [хi-1 ; хi]:
Сложив левые и правые части при i = 1,2, ..., п и воспользовавшись теоремой 3, получим
Первое слагаемое справа есть Jn , тогда второе - Rn. Число
представляет собой среднее арифметическое значений функции f ' находящееся между ее наименьшим и наибольшим значениями на [а; b], и потому равно f'(с) для некоторого с [a; b] (теорема 2). Следовательно,
Для получения оценки (13) осталось учесть определение Мi *
Таким образом, погрешность первого из приближенных равенств J Jn, порождаемая формулами (2) и (3), оценивается числом . Общее правило (где Vn vn - являются абсолютными погрешностями) вычисления абсолютной 2п погрешности приближенных интегралов примет вид
Где vn - оценка точности вычисления значения Jn.
Как видно из выражения для Vn, оценка погрешностей формул (2) и (3) зависит от подынтегральной функции, от величины отрезка интегрирования и количества п частей его разбиения. Поскольку для каждого конкретного интеграла числа М1 и (b - а)2 постоянны, можно сказать, что погрешность обратно пропорциональна п.
2.2.2 Оценка погрешностей по формуле трапеции
Теорема 6. Если вторая производная функции f непрерывна на [а; b], для квадратурной формулы (6) имеет место неравенство
Пусть [xi-1 ; xi ] - произвольный отрезок из разбиения [а; b] на п равных частей с шагом Пользуясь формулой остаточного члена для интерполяционного многочлена первой степени, построенного на узлах xi-1 ; xi получим
Где -- зависящее от x число между xi-1 ; xi . Проинтегрируем левую и правую части (8) на отрезке [xi-1 ; xi ]. При этом учтем следующее: во-первых, интеграл от P1 (x) равен (соотношения (4) и (5)); во-вторых, к интегралу от второго слагаемого правой части можно применить обобщенную теорему о среднем ( f " непрерывна, а выражение не меняет знак); в-третьих,
Просуммировав, левые и правые части полученных равенств при i=1,2, …, n, по аналогии с окончанием доказательства теоремы 5 сначала получим
а затем, с учетом определения М2, и требуемую оценку (15). *
Итак, формула трапеций порождает погрешности, оцениваемые числом . Ее точность практически такая же, как и у формулы прямоугольников с центральными ординатами.
Вычислив значение выражения с точностью до vn, находим оценку его полной погрешности относительно J:
2.2 Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного
Выше были получены формулы строгой оценки погрешностей квадратурных формул. Все они пригодны лишь в случае аналитически заданной подынтегральной функции и требуют нахождения максимума модуля производных, что подчас представляет собой далеко не простую задачу.
Существует не связанный с вычислением производных способ ориентировочной оценки погрешностей, применимый и для интегралов от табличных функций. Это так называемый метод двойного пересчета или метод Руте.
Рассмотрим его сначала для формул прямоугольников (2) и (3).
Выбираем некоторое натуральное число п и проводим вычисления по одной из этих формул дважды: при разбиениях отрезка на n и на 2п частей (с шагом соответственно). Обозначим полученные результаты через . Ясно, что лучшим приближением будет , которое и считаем в дальнейшем приближенным значением интеграла.
Для остаточного члена , равного погрешности числа , справедливо равенство (14) с некоторым числом Пусть значения производной f 'мало изменяются на отрезке [а; b]. Тогда
Таким образом, соотношение (19) дает приблизительную оценку погрешности числа , полученного по формуле прямоугольников с левыми (или правыми) ординатами.
Аналогичные оценки имеют место в случае других квадратурных формул. Для формулы трапеций и формулы прямоугольников с центральными ординатами
Они тем точнее, чем менее значительно изменяются на [а; b] вторая и соответственно четвертая производные подынтегральной функции.
Хотя соотношения (19) - (21) требуют двойного счета по квадратурным формулам, они практически удобны, особенно при компьютерных вычислениях.
3. Практическое решение приближенного вычисления определенного
1) Вычислить интеграл но формуле трапеций с тремя десятичными
2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.
1) Для достижения заданной степени точности необходим определить значение п так, чтобы
Положим M2 = 7, тогда неравенство примет вид <0.0005, откуда n2 >252, т.е. n >16; возьмем п = 20. Вычисление интеграла производим по формуле;
Таблица 1. Параметры для вычисления интеграла по формуле трапеций
Формулы для вычисления параметров смотри приложение 1
2) Согласно условию n=8, поэтому h=(b-a)/n=(1.6 - 1.2)/8=0.05 Вычислительная формула имеет вид
Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в таблице 2
Таблица 2. Параметры для вычисления интеграла по формуле Симпсона
Формулы для вычисления параметров смотри приложение 2
Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (таблица 3)
Таблица 3. Параметры для вычисления таблицы конечных разностей
Формулы для вычисления параметров смотри приложение 3
Так как mах | ?4 yi | = 0,0001, то остаточный член формулы
Вычисления проводились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.
Погрешность вычислений можно оценить из соотношения
Значит, полученные четыре десятичных знака верны.
Вычисление определенного интеграла приближенными методами сводится к вычислениям их аналитическими методами и численными методами
Численные методы позволяют обходиться без аналитических построений. Приближение к интегралу отыскивается по числовому выражению на основе значений подынтегральной функции в конечном множестве точек из отрезка интегрирования. Такой способ вычислений часто называется механической квадратурой, соответствующие приближенные формулы называют формулами численного интегрирования или квадратурными формулами, а используемые при этом аргументы функции - узлами квадратуры.
В работе были рассмотрены приближенные методы вычисления определенных интегралов с помощью формул треугольников, трапеции и формулы Симпсона.
На основании исследования можно сделать следующий вывод: когда вся информация о функции f сосредоточена в таблице, сама постановка задачи интегрирования предполагает использование приближенных методов. Действительно, тогда точный интеграл от f заведомо не может быть найден, а понятие определенного интеграла от таблицы лишено смысла. В то же время на основе таблицы методами, описанными выше, можно отыскать простое аналитическое приближение к функции и вычислить приближенное значение интеграла по одной из рассмотренных нами формул.
численный анализ интегрирование погрешность
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы : учеб. для вузов / Н.С. Бахвалов. - М.: Наука, 2002. - 621с.
2. Березин, И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков, - М.: Наука, 2001.- 325с.
3. Бохан, К.А. Курс математического анализa / К.А. Бохан, И.А.Егорова, К.В. Лащенов. Т.1.- М. : Просвещение, 2001. - 315с.
4. Бохан, К.А. Курс математического анализa / К.А. Бохан, И.А.Егорова, К.В. Лащенов. Т.2.- М. : Просвещение, 2002. - 305
5. Вычислительная математика : учеб. пособие / Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская, О.П. Кваша, Г.Л. Смирнов. - М. : Высшая школа, 2002. - 727с.
6. Демидович, Б.Л. Основы вычислительной математики / Б.Л. Демидович, И.А. Марон,- М. : Наука, 2002. - 412с.
7. Демидович, Б.Л. Численные методы анализа / Б.Л. Демидович, И.А. Марон, З.З. Шувалова . - М. : Наука, 2002. - 424с.
8. 3аварыкин, В.М. Численные методы / В.М. 3аварыкин, В.Г.Житомирский, М.Л. Лапчик . - М. : Просвещение, 2005. - 558с.
9. Ильин, В.А. Математический анализ / В.А. Ильин, Е.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. - М. : Изд-во МГУ, 2002.- 217с.
10. Калиткин, Н.Н. Численные методы: учеб. для вузов / Н.Н. Калиткин. - М. : Наука, 2004.- 405с.
11. Коллатц, Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений: учеб. для вузов / Л. Коллатц. - М. : Иностранная литература, 2002. -185с.
12. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М. : Наука, 2001. - 420с.
13. Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В. Копченова, И.А. Марон. - М. : Наука, 2001.- 210с.
14. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры: учеб. для вузов / А.Г. Курош. - М. : Наука, 2002. - 325с.
15. Пулькин, С.П. Вычислительная математика / С.П. Пулькин, Л.Н. Никольская, А.С. Дьячков. - М. : Просвещение, 2004. - 292с.
16. Матвеев, Н.М. Дифференциальные уравнения : учеб. для вузов / Н.М. Матвеев. - М.: Просвещение,2004.- 445с.
17. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : учеб. для вузов / Н.М. Матвеев.- М.: Высшая школа, 2002. - 365с.
18. Мысовскux, И.П. Лекции по методам вычислений : учеб. для вузов / И.П. Мысовских.- М. : Физматгиз,2001. - 235с.
19. Самарский, А.А. Численные методы / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М. : Наука, 2003.- 235с.
20. Турчак, Л.И. Основы численных методов: учеб. для вузов / Л.И. Турчак. - М. : Наука, 2005.- 356с.
Решим задачу с помощью электронной таблицы EXCEL.
В диапазон А1:В20 введем исходные данные: в ячейки В1: В20 значения Хi
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек С2:С20;
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек D2:D20;
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек E2:E20;
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек F20;
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек G3:G19;
Таблица 1. Параметры для вычисления интеграла по формуле трапеций
В диапазон A1:B9 введем исходные данные: в ячейки B1:B9 значения Хi
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек С2:С9;
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек D2:D9;
Cкопируем полученную формулу в буфер;
Аналогично введем формулы в диапазон ячеек E2:E9;
Таблица 2. Параметры для вычисления интеграла по формуле Симпсона
В диапазон А1:В9 введем исходные данные.
Таблица 3. Параметры для вычисления таблицы конечных разностей
Формулирование и создание программы по вычислению определенного интеграла по формуле трапеций с тремя десятичными знаками и по формуле Симпсона. Выбор Delphi как программного средства разработки программы. Создание алгоритма и листинг программы. курсовая работа [990,9 K], добавлен 15.06.2009
Постановка задачи численного интегрирования. Классификация методов интегрирования: методы Ньютона-Котеса; методы статистических испытаний; сплайновые методы; методы наивысшей алгебраической точности. Метод Симпсона: суть; преимущества и недостатки. реферат [165,3 K], добавлен 01.03.2011
Исследование внутренней сходимости численного интегрирования методами Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка C. Результаты исследования, их анализ, описание применения. Условия и характеристики выполнения программы. курсовая работа [385,2 K], добавлен 14.03.2011
Формула Симпсона как интеграл от интерполяционного многочлена второй степени, рассмотрение сфер использования. Знакомство с основными особенностями и этапами написания программы для численного интегрирования с помощью формулы Симпсона, анализ примеров. практическая работа [153,8 K], добавлен 16.03.2015
Метод численного интегрирования. Использование метода половинного деления для решения нелинейного уравнения. Определение отрезка неопределенности для метода половинного деления. Получение формулы Симпсона. Уменьшение шага интегрирования и погрешности. курсовая работа [3,0 M], добавлен 21.05.2013
Реализация интегрирования функции методами прямоугольников, трапеций, Симпсона. Построение графика сравнения точности решения методов интегрирования в зависимости от количества разбиений. Алгоритм расчета энтропии файлов с заданным расширением. контрольная работа [1011,0 K], добавлен 04.05.2015
Методы левых и правых прямоугольников численного интегрирования для вычисления интегралов. Геометрический смысл определённого интеграла. Программная реализация, блок-схемы алгоритмов. Результат работы тестовой программы. Решение задачи с помощью ЭВМ. курсовая работа [180,4 K], добавлен 15.06.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Использование методов численного интегрирования с использованием программного обеспечения курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Цыбулько 36 Вариант Сочинение
Курсовая работа по теме Приготовление киселей и пудингов
Дипломная работа по теме Ремонт агрегатов и систем транспортных средств фирмами-изготовителями
Реферат: на тему «Бизнес -план, его суть и назначение»
Мини Сочинение На Тему Забытые Игрушки
Как Правильно Читать Художественную Литературу Сочинение
Реферат На Тему Парезы Мышц Лица И Конечностей
Контрольная Работа По Английскому 11 Класс Форвард
Курсовая Работа По Педагогике Младших Школьников
Дипломная работа по теме Ремонт асинхронного электродвигателя АЭ92-402
Реферат: Советский Союз в годы "развитого социализма"
Курсовая Работа По Педагогике
Контрольная работа по теме Особливості венчурного фінансування промислових підприємств України
Курсовая работа: Бухгалтерський та фінансовий облік непрямих податків
Реферат по теме Исследование тепловизионного канала
Умные Слова Для Сочинения
Реферат: Философия истории Аврелия Августина. Скачать бесплатно и без регистрации
Тетрадь Для Лабораторных Работ
Реферат: Холодная война понятие, этапы
Реферат По Геометрии 9 Класс
Модель сестринского дела Н. Роупер - Медицина курсовая работа
Договор страхования - Государство и право дипломная работа
Логический и циклический характер инновационного процесса - Менеджмент и трудовые отношения реферат