Инвариант Дена
В прошлой публикации было показано, что равновеликость многоугольников означает их равносоставленность (теорема Бойяи-Гервина). И было сделано утверждение, что для многогранников аналогичное утверждение в общем случае неверно. В настоящей заметке попытаемся разобраться, почему это так.
Язык для объяснения этой темы довольно сложный; имеются несколько различных способов описания. Мы будем опираться в основном на подход, изложенный в лекции А.А. Гайфуллина "Равносоставленность многогранников и гомологии групп".
Задача эта известна как третья проблема Гильберта. Она была решена учеником Д.Гильберта М.Деном ещё до того, как Гильберт успел внести её в свой знаменитый список математических проблем (просто он об этом тогда не знал).
Дену удалось показать, что не всегда равновеликие многогранники равносоставлены; в частности, не являются равносоставленными куб и правильный тетраэдр. Для этого Ден построил специального вида функции от длин рёбер и величин двугранных углов многогранника, которые не меняются при замене многогранника на любой другой, равносоставленный с ним. Такие функции называют теперь инвариантами Дена.
Для определения инварианта Дена рассмотрим аддитивную функцию φ(x), т.е. функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению (его обычно называют уравнением Коши):
φ(x+y) = φ(x) + φ(y).
Мы хотим найти все функции, удовлетворяющие этому уравнению. Несложно показать, что если функция φ(x) непрерывна, то она обязательно линейна:
φ(x) = cx.
Однако, существуют и нелинейные аддитивные функции.
Для понимания того, как устроены такие функции, нам потребуется понятие базиса Гамеля вещественного числа. Вообще базисом Гамеля (или просто базисом) называют множество векторов в линейном пространстве, таких что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой конечной их линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление единственно.
Существование базиса Гамеля вещественных чисел было доказано Э.Цермело (1904 г.) на основе введённой им же аксиомы выбора. Конструктивным образом предъявить такой базис невозможно, но для дальнейших рассуждений это и не потребуется.
Какое отношение имеет базис Гамеля к аддитивным функциям? Если у нас есть базис Гамеля, то мы можем построить много разных аддитивных функций φ. Для этого нужно просто для каждого базисного значения выбрать произвольное значение функции:
Из свойства аддитивности функции φ легко получить, что
φ(nx) = n φ(x) для любого натурального n, а отсюда видно, что и
φ(qx) = q φ(x) для любого рационального q, т.е. рациональный множитель можно выносить за знак функции. Важно подчеркнуть, что вещественный множитель выносить за знак функции φ нельзя! Если бы это было можно, то мы имели бы дело с линейной функцией; мы же задаём нашу функцию на элементах базиса Гамеля произвольным образом, а на другие числа продолжаем её как
Очевидно, что построенная таким образом функция φ удовлетворяет уравнению Коши.
Теперь мы можем построить инвариант Дена. Возьмём произвольную аддитивную функцию φ и наделим её дополнительным свойством: φ(π)=0 (ясно, что одно это условие на несчётном множестве условий всегда выполнимо, например, можно включить число π в базис Гамеля).
Для такой функции φ определим величину псевдообъёма (это и будет искомый нами инвариант!):
где сумма берётся по всем рёбрам многогранника, lᵢ — длина i-го ребра, αᵢ — двугранный угол при этом ребре.
Почему эта величина будет сохраняться при любом разрезании многогранника плоскостью на две части? Возможны три случая прохождения секущей плоскости:
1) Плоскость пересекает ребро длины l и разрезает его на две части с длинами l' и l", дающие в сумме ребро l: l' + l" = l. В этом случае в выражении для псевдообъёма появляются слагаемые l'φ(α) и l"φ(α), дающие в сумме lφ(α); его величина при этом не меняется.
2) Плоскость проходит через ребро l. Тогда двугранный угол α при этом ребре разбивается на две части β и γ. Поэтому в выражении для псевдообъёма вместо слагаемого lφ(α) появляются слагаемые lφ(β)+lφ(γ), что вновь не меняет его значения в силу аддитивности функции φ.
3) Рассекающая плоскость образует новое ребро l, пересекшись с какой-нибудь гранью. Тогда у нас появятся новые слагаемые lφ(α) и lφ(π–α) (два образовавшихся двугранных угла дополнительны), которые в сумме равны нулю, поскольку мы положили, что φ(π)=0 и потому lφ(π–α) = – lφ(α).
Отсюда уже вытекает теорема Дена: если два многогранника равносоставлены, то они имеют равные псевдообъёмы. Иными словами, если они имеют разные псевдообъёмы, то они не равносоставлены.
В реальности для доказательства неравносоставленности двух равновеликих многогранников нам не приходится иметь дело с бесконечномерными базисами. Если у одного многогранника двугранные углы α1, α₂, ..., αm, а у другого, равновеликого ему многогранника, двугранные углы β1, β₂, ..., βk, то для построения аддитивной функции φ вполне достаточно набора всех перечисленных углов α1, α₂, ..., αm, β1 β₂, ..., βk и числа π, из которого вычеркнуты все линейно зависимые числа (т.е. числа, выражаемые через сумму других чисел с рациональными коэффициентами). Этот конечный набор углов может быть достроен до базиса Гамеля, но для вычисления интересующей нас характеристики псевдообъёма это не имеет значения.
В заключение покажем, что равновеликие куб и правильный тетраэдр не являются равносоставленными.
Рассмотрим куб C с ребром b и равновеликий ему тетраэдр T с ребром c. У куба 12 рёбер, все двугранные углы равны π/2, а φ(π/2) = φ(π) = 0. Поэтому
У правильного тетраэдра 6 рёбер, все двугранные углы равны arccos (1/3). Поскольку (это несложно показать) числа arccos (1/3) и π несоизмеримы (их отношение не является рациональным числом), то
Утверждение доказано.