Интересное задание на ДВИ – 2023
Рассмотрим разные способы решения одного красивого номера, предложенного на ДВИ в этом году.
Задание:
Положительные числа a, b, c удовлетворяют условию a² + b² + c² = 1.
Нужно найти наибольшее значение величины S = ab +√3 bc.
Решение.
Способ 1.
Данное в условии уравнение приглашает нас к использованию геометрической интерпретации: числа a, b и c могут служить координатами точки, лежащей на сфере единичного радиуса с центром в начале координат.
Удобно перейти от трёх переменных к двум углам — α и β:
В этих переменных величина S примет вид:
Способ 2.
Способ 3.
Домножим данное равенство на 4 и представим слагаемое, содержащее b², в виде суммы — 4b² = b² + 3b²:
4 = (4a² + b²) + (3b² + 4c²).
Теперь применим к каждой сумме в скобках неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим:
Для подбора подходящей тройки чисел
нужно вспомнить, что знак равенства в неравенстве Коши достигается, когда числа равны между собой, что приведёт нас к необходимости решить систему уравнений:
Более деликатный вопрос, как догадаться, на какие части нужно разбить слагаемое, содержащее b², в данном равенстве:
1 = a² + λ ∙ b² + (1 – λ ) ∙ b² + c².
Это становится понятным, если иметь в виду цель, для которой мы это делаем: нам нужно чтобы после применения неравенства Коши отношение этих частей под корнем равнялось бы
Способ 4.
Используем неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
Введём двумерные векторы
Величина S равна скалярному произведению этих векторов. В силу неравенства КБШ модуль скалярного произведения не превосходит произведения модулей векторов. Получаем:
Осталось найти наибольшее значение квадратичной относительно b² функции:
Какой способ решения вам понравился больше всего?