Интегрирование линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Вынужде.... Дипломная (ВКР). Математика.
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Интегрирование линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Вынужде...
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
В математике
дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование
самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению
таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное
явление, записывается в виде дифференциальных уравнений.
Задача
интегрирования дифференциальных уравнений является классической и важнейшей
задачей математического анализа.
Предметом
исследования моей дипломной работы являются вынужденные колебания материальной
точки, которые задаются неоднородным линейным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами. Проинтегрировав это уравнение, получим закон
движения материальной точки. Рассмотрен также частный случай уравнения
вынужденный колебаний, т.е. когда частота возмущающей силы совпадает с частотой
собственных колебаний - явление резонанса. Так же мною было изучено применение
явления резонанса в технике, строительстве, производстве и т.д. Рассмотрены
случаи, когда явление резонанса приводило к разрушениям.
Мы живем в мире
колебаний. Маятник стенных часов, фундамент быстроходной турбины, кузов
железнодорожного вагона, струна гитары и т.д.
По современным
воззрениям, все звуковые, тепловые, световые, электрические и магнитные
явления, т.е. важнейшие физические процессы окружающего нас мира, сводятся к
различным формам колебания материи.
Речь, средство
общения людей, музыка, способная вызвать у людей сложные эмоции, - физически
определяются так же, как и другие звуковые явления, колебаниями струн, воздуха,
пластин и других упругих тел.
Колебания играют
важную роль в таких ведущих областях техники, как электричество и радио.
Выработка, передача и потребление электрической энергии, телефония,
радиовещание, телевидение, радиолокация – все эти важные отрасли основаны на
использовании электрических и электромагнитных колебаний.
С колебаниями мы
встречаемся и в живом организме. Биение сердца, сокращение желудка,
деятельность кишечника имеют колебательный характер.
Строители и
механики имеют дело с колебаниями сооружений и машин. Кораблестроители – с
качкой и вибрацией корабля и т. д.
Резкое
возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении собственной частоты
и частоты вынуждающей силы называется резонансом.
Резонанс
возникает из-за того, что внешняя сила, действуя в такт со свободными
колебаниями тела, все время совершает положительную работу. За счет этой работы
энергия колеблющегося тела увеличивается и амплитуда колебаний возрастает.
Явление резонанса
может играть как полезную, так и вредную роль.
На применении
резонанса основано действие язычкового частотометра. Заметив, какая пластина
вошла в резонанс, мы определим частоту системы. Маленький ребенок может
раскачать язык большого колокола, если будет действовать на веревку в такт со
свободными колебаниями языка.
С резонансом
можно встретиться и тогда, когда это совсем нежелательно. Так, например, в 1750
году близ города Анжера во Франции через цепной мост длиной 102 м шел в ногу
отряд солдат. Частота их шагов совпала с частотой свободных колебаний моста.
Из-за этого размахи колебаний моста резко увеличились, и цепи оборвались. Мост
обрушился в реку. В 1830 году по той же причине обрушился подвесной мост около
Манчестера в Англии, когда по нему маршировал военный отряд. В 1906 году из-за
резонанса разрушился и так называемый Египетский мост в Петербурге, по которому
проходил кавалерийский эскадрон. Теперь для предотвращения подобных случаев
войсковым частям приказывают “сбить ногу” и идти не строевым, а вольным шагом.
Чтобы избежать
резонанса при переезде поезда через мост, он проходит его либо на медленном
ходу, либо на максимальной скорости (чтобы частота ударов колес о стыки рельсов
не оказалась равной собственной частоте моста).
При отборе
материала для дипломной работы я старалась изложить основные идеи и методы,
применяемые для изучения линейных неоднородных дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типа являются
предметом внимательного изучения ученых, так как к ним приводится большое
количество задач механики и других наук. Они особенно просты по своей природе и
вместе с тем важны по своим приложениям. Они имеют значение в важном вопросе о
малых колебаниях, так как было показано выше, что линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
описывают процесс колебаний, так как мы живем в «мире колебаний».
Основные понятия
и определения
В настоящей
дипломной работе применены
следующие термины с соответствующими определениями.
Дифференциальные
уравнения – это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком
производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений – изучение
функций, являющихся решением таких уравнений. Решением дифференциального
уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его
в тождество.
Дифференциальные
уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых
неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные
уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются
функциями двух и большего числа переменных.
Наивысший порядок
производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого
уравнения.
Процесс отыскания
решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график
решения дифференциального уравнения – интегральной кривой.
Дифференциальные уравнения первого
порядка
Дифференциальное
уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде
. (1)
Уравнение связывает независимую
переменную x , искомую функцию y и ее производную . Если уравнение (1) можно разрешить
относительно , то
его записываю в виде
(2)
и называют дифференциальным уравнение
первого порядка, разрешенным относительно производной.
Уравнение (2)
устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой,
проходящей через эту точку. Следовательно, дифференциальное уравнение дает совокупность
направлений (поле направлений) на плоскости Oxy . Таково геометрическое истолкование дифференциального
уравнения первого порядка.
Дифференциальное
уравнение первого порядка, разрешимое относительно производной, можно записать
в дифференциальной форме :
(3)
где и - известные функции. Уравнение (3) удобно
тем, что переменные x и y в нем равноправны, т.е. любую из них
можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи
дифференциального уравнения можно перейти к другому.
Чтобы решение
дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить
некоторым дополнительным условиям.
Условие, что при функция y должна
быть равна заданному числу , т.е. называется начальным условием .
Начальное условие записывается в виде
или
(4)
Общим решением
дифференциального
уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и
удовлетворяющая условиям:
1. Функция является решением дифференциального
уравнения при каждом фиксированном значении c .
2. Каково бы ни было начальное
условие (4), можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному
условию.
Частным
решением
дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего
решения при
конкретном значении постоянной .
Задача отыскания
решения дифференциального уравнения первого порядка (3), удовлетворяющего
заданному начальному условию (4), называется задачей Коши .
Теорема (существования и
единственности задачи Коши). Если в уравнении (2) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой
области D , содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения,
удовлетворяющее начальному условию (4).
Дифференциальные уравнения высших
порядков
Дифференциальные
уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших
порядков. Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае запишется в
виде
(5)
или, если это возможно, в виде,
разрешенном относительно старшей производной:
.
(6)
Решением
дифференциального уравнения (6) называется всякая функция вида , которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения
называется функция вида ,
где и - не зависящее от x
произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
1. является решением
дифференциального уравнения для каждого фиксированного значения и .
2. Каковы бы ни
были начальные условия
, ,
(7)
существуют единственные значения
постоянных и такие, что функция является решением
уравнения (6) и удовлетворяет начальным условиям (7).
Всякое решение уравнения (6),
получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных и , называются частным решением .
Как и в случае
уравнения первого порядка, задача нахождения решения дифференциального
уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (7), называется задачей
Коши .
Теорема (существования и
единственности задачи Коши). Если в уравнении (6) функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области D
изменения переменных x , y и , то для
всякой точки существует
единственное решение уравнения
(6), удовлетворяющее начальным условиям (7).
Аналогичные
понятия и определения имеют место и для дифференциального уравнения порядка, которое в общем
виде записывается как
Нам часто будут
встречаться функции вещественного переменного t, называемого временем. Производная по t называется скоростью и обозначается
чаще всего точкой наверху: . Вторая производная по t называется ускорением и
обозначается: .
Линейное уравнение порядка имеет следующий
общий вид:
. (1.1.1)
Если в
рассматриваемом интервале изменения x функция тождественно
равна нулю, то уравнение (1.1.1) принимает вид
(1.1.2)
и называется однородным . Если , уравнение (1.1.1)
называется неоднородным .
Будем
предполагать, что функции , - непрерывны на интервале . Это предположение обеспечит
существование и единственность решения задачи Коши с любыми при любом . В частности, единственным решением
однородного уравнения (1.1.2) с нулевыми начальными условиями будет только очевидное
нулевое решение y = 0 .
Для упрощения
дальнейшего изложения обозначим левую часть линейного уравнения (1.1.1) через :
(1.1.3)
Таким образом есть
результат выполнения над функцией y операций,
указанных в правой части формулы (1.1.3), а именно: вычисление производных от
функции y вплоть до порядка n включительно,
умножение на
заданные функции ,
1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим
символом L :
и будем называть его линейным
дифференциальным оператором порядка . В частности, линейный
дифференциальный оператор второго порядка имеет вид
Линейный
дифференциальный оператор L
обладает следующими основными свойствами ( линейность оператора L ):
1) постоянный множитель можно
выносить знак оператора
2) оператор от суммы двух
функций равен сумме операторов от этих функций
В справедливости
этих свойств легко убедиться непосредственной проверкой. В самом деле, имеем
Из этих основных
свойств оператора L следует, что
т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации
операторов от этих функций.
Используя
оператор L , можно записать неоднородное
и однородное линейные уравнения (1.1.1) и (1.1.2) соответственно в виде
(1.1.4)
. (1.1.5)
Если функция является решением
уравнения (1.1.4) или (1.1.5) в некотором интервале , то значение оператора L от этой функции равно или нулю при всех x из :
Рассмотрим
линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
(1.2.1)
и установим некоторые свойства его
решений.
Теорема 1. Если функции и являются частными решениями
уравнения (1.2.1), то решением этого уравнения является также функция
,
(1.2.2)
Подставим функцию
и ее
производные в левую часть линейного однородного уравнения (1.2.1). Получаем:
так как функции и - решения уравнения (1.2.1) и, значит,
выражения в скобках тождественно равны нулю.
Таким образом, функция (1.2.2) также является решением уравнения
(1.2.1).
Из теоремы 1, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения (1.2.1), то решениями его
будут также функции и
.
Функция (1.2.2)
содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения (1.2.1).
Может ли она являться общим решением уравнения (1.2.1)? Для ответа на вопрос
введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции и называются линейно
независимыми на интервале , если равенство
, (1.2.3)
где , выполняется тогда и только тогда, когда .
Если хотя бы одно
из чисел или отлично от нуля и
выполняется равенство (1.2.3), то функции и называются линейно зависимыми
на .
Очевидно, что
функции и линейно зависимы тогда и
только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех выполняется равенство , или .
Например, функции
и линейно зависимы: ; функции и - линейно независимы: ; функции и являются линейно независимыми:
равенство выполняется
для всех лишь
при (или ).
Средством
изучения линейной зависимости системы функций является определитель Вронского
или вронскиан.
Для двух
дифференцируемых функций и
вронскиан имеет
вид
Теорема 2. Если дифференцируемые
функции и линейно зависимы на , то определитель Вронского
на этом интервале равен нулю.
Так как функции и линейно зависимы, то в равенстве
(1.2.3) значение и
отлично от нуля.
Пусть , тогда ; поэтому для любого
Теорема 3. Если функции и - линейно независимые решения
уравнения (1.2.1) на ,
то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Из теорем 2 и 3
следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала тогда и только тогда,
когда частные решения линейно независимы .
Совокупность
любых двух линейно независимых на интервале частных решений и линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого
уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация .
Теперь можно
сказать, при каких условиях функция (1.2.2) будет общим решением уравнения
(1.2.1).
Теорема 4 . (структура общего
решения). Если два частных решения и линейного однородного дифференциального
уравнения (1.2.1) образуют на интервале фундаментальную систему, то общим
решением этого уравнения является функция
, (1.2.4)
Согласно теореме
1, функция (1.2.4) является решением уравнения (1.2.1). Остается доказать, что
это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное
решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, , (1.2.5)
Подставив
начальные условия (1.2.5) в решение (1.2.2), получим систему уравнений
Так как решения и образуют фундаментальную систему
решений на и , то, согласно теореме 3, . Поэтому система уравнений
имеет единственное решение:
Решение является частным решением
(единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (1.2.1),
удовлетворяющим начальным условиям (1.2.5).
Рассмотрим линейное уравнение n-ого порядка
(1.3.1)
где коэффициенты суть вещественные числа, а правая
часть непрерывна
в некотором интервале .
Так как
интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию
соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о
построении общего решения однородного уравнения
. (1.3.2)
Для нахождения
общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему
решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо
непрерывны при всех значениях x , то согласно теореме Пикара и все
решения уравнения (1.3.2) определены при всех значениях x . Поэтому в
дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни
область общего решения.
Эйлер доказал,
что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда
можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных
функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных
функциях.
Частным случаем
линейных однородных дифференциальных уравнений являются линейные однородные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть дано
линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
, (1.3.3)
где и - вещественные числа. Будем, следуя Эйлеру,
искать частное решение уравнения (1.3.3) в виде
, (1.3.4)
где - подлежащее определению число (вещественное
или комплексное). Согласно определению решения функции (1.3.4) будет решением
уравнения (1.3.3), если выбрано
так, что функция (1.3.4) обращает это уравнение в тождество
. (1.3.5)
Вычисляя , т.е. подставляя функцию
(1.3.4) в левую часть уравнения (1.3.4), и принимаю во внимание, что
, (1.3.6)
(1.3.7)
Из (1.3.7)
следует, что интересующее нас тождество (1.3.5) будет выполнятся тогда и только
тогда, когда ,
т.е. когда является
корнем уравнения
. (1.3.8)
Это уравнение
называется характеристическим уравнением , а его корни –
характеристическими числами уравнения (1.3.3).
Заметим, что
характеристическое уравнение (1.3.8) может быть составлено по данному
дифференциальному уравнению (1.3.3) заменой , и на , и 1, т.е. степень совпадает с порядком производной,
если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама
функция .
Структура
фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (1.3.3)
зависит от вида корней характеристического уравнения (1.3.8).
Рассмотрим
сначала случаи, когда эти корни различные и вещественные .
Обозначим их через и
. Тогда,
подставляя в формулу (1.3.4) вместо числа и , получим два частных решения уравнения (1.3.3)
, .
(1.3.9)
Эти решения,
очевидно, линейно независимы, так как их отношение
не равно тождественно постоянной
величине. В линейной независимости решений (1.3.9) можно убедиться также при
помощи определителя Вронского. Имеем
Следовательно,
частные решения (1.3.9) образуют фундаментальную систему решений. А тогда общим
решением уравнения (1.3.3) будет
Его корни , (вещественные и различные). Поэтому
фундаментальная система решений имеет вид
Предположим
теперь, что корни характеристического уравнения комплексные . Так как
коэффициенты этого уравнения вещественные, то эти комплексные корни являются сопряженными ,
так что они имеют вид
Подставляя корень
в формулу
(1.3.4), получим комплексное решение
.
(1.3.10)
поэтому решение (1.3.10) можно
записать так
.
(1.3.11)
Отделяя в
комплексном решении (1.3.11) вещественную и мнимую части, получим два
вещественных частных решения
,
. (1.3.12)
Аналогично
убеждаемся, что сопряженному корню соответствуют вещественные частные решения
, .
(1.3.13)
Решения (1.3.13),
очевидно, линейно зависимы с решениями (1.3.12).
Таким образом,
паре сопряженных комплексных корней соответствуют два вещественных линейно
независимых частных решения (1.3.12).
Решения (1.3.12)
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.3.3). Поэтому
будет общим решением уравнения
(1.3.3).
Если корни и чисто мнимые, т.е. , , то им соответствуют линейно независимые
частные решения вида
, .
(1.3.14)
Эти решения
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1.3.3), а
есть общее решение этого уравнения.
(1.3.15)
имеет сопряженные комплексные корни . Поэтому согласно формуле
(1.3.12) фундаментальная система решений имеет вид
. (1.3.16)
Заметим, что из
формулы общего решения (1.3.16) видно, что все ненулевые решения уравнения
(1.3.15) обладают свойством:
(1.3.17)
имеет чисто мнимые корни . Поэтому согласно формуле
(1.3.14) фундаментальная система решений имеет вид
.
(1.3.18)
Из формулы общего
решения (1.3.18) видно, что все решения уравнения (1.3.17) ограничены по x
на интервале .
Предположим
теперь, что характеристическое уравнение (1.3.8) имеет равные корни . Нам надо найти два
линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет
(1.3.19)
Убедимся
непосредственной подстановкой в уравнение (1.3.3) в том, что
(1.3.20)
есть второе частное решение уравнения
(1.3.3), линейно независимое с решением (1.3.19):
Общим решением
уравнения (1.3.3) будет
(1.3.21)
имеет равные корни . Поэтому функции
Образуют фундаментальную систему решений,
а общим решением будет
.
(1.3.22)
Из формулы общего
решения (1.3.22) видно, что все ненулевые решения уравнения (1.3.21) обладают
свойством:
Зная n частных решений y 1 , y 2 ,…,y n , можно построить семейство
решений, зависящее от n произвольных постоянных:
(1.4.1)
Это решение, как
показано ниже, будет общим решением, если частные решения y 1 , y 2 ,…,y n обладают одним
дополнительным свойством, относящемся к характеру зависимости между ними.
Прежде чем
сформулировать это свойство, введем понятие о линейной независимости функций.
(1.4.2)
Составим их
линейную комбинацию с постоянными коэффициентами:
Если эта линейная
комбинация тождественно равна нулю в интервале :
только в очевидном случае, т.е. при
нулевых значениях коэффициентов , то функции (1.4.2) называются линейно
независимыми в интервале .
В противном случае функции (1.4.2) называются линейно зависимыми в этом
интервале. Две функции и
линейно
независимы в интервале ,
если
линейно независимы в любом интервале.
В самом деле, соотношение
в котором хотя бы одно из чисел и отличны от нуля, может выполняться
не более чем при одном значении x. Это следует также из того, что
линейно зависимы в любом интервале,
ибо
так что , . В этом случае , т.е. есть однородная линейная функция от .
Теорема. Если функции (1.4.2)
линейно зависимы в интервале , то одна из них является линейно комбинацией
остальных .
т.е. является линейной комбинацией функций .
(1.4.3)
однородного линейного уравнения , линейно независимых в интервале
, называется
фундаментальной системой решений этого уравнения в интервале . Ее записывают часто так:
Это однородное линейное уравнение
второго порядка имеет два частных решения и , которые образуют фундаментальную систему
решений в интервале ,
так как они линейно независимы в этом интервале.
Дадим признак
линейно независимости частных
решений (1.4.3) однородного линейного уравнения -ого порядка. С этой целью введем в
рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их
производных до порядка включительно:
Этот определитель
называется определителем Вронского решений .
Теорема. Для того, чтобы решения
(1.4.3) были линейно независимыми в , т.е. в интервале непрерывности коэффициентов
уравнения ,
необходимо и достаточно, чтобы не обращался в нуль ни в одной точке из .
Необходимость . Пусть решения (1.4.3) линейно
независимы в .
Предположим, вопреки утверждению теоремы, что , где .
Построим
однородную линейную систему уравнений
(1.4.4)
с неизвестными . Определитель этой системы есть . Так как он равен нулю, то
система (1.4.4) имеет ненулевое решение
(т.е. хоть одно из чисел не равно нулю).
Построим линейную
комбинацию решений (1.4.3), взяв в качестве коэффициентов числа . Получим решение
.
(1.4.5)
Это решение
удовлетворяет нулевым начальным условиям
как это видно из системы (1.4.4),
если заменить в ней неизвестные их значениями, найденными из этой системы.
Следовательно, в силу единственности задачи Коши, которая имеет место
вследствие непрерывности коэффициентов уравнения , решение (1.4.5) должно быть нулевым,
т. е.
(1.4.6)
Так как среди
чисел хоть одно
отлично от нуля, то тождество (1.4.6) означает, что вопреки предположению
решения (1.4.4) линейно зависимы в .
Достаточность. Предположим, что не обращается в нуль в , но решения (1.4.3)
линейно зависимы в ,
так что имеет место тождество
(1.4.7)
(1.4.8)
Заменив теперь
элементы последнего столбца определителя Вронского их значениями из формул
(1.4.7) и (1.4.8). Получим определитель, у которого элементы одного
(последнего) столбца являются линейными комбинациями элементов (всех) других
столбцов. Такой определитель, как известно, равен нулю. Таким образом, вопреки
предложению в .
Значение
определителя Вронского решений
однородного линейного уравнения тесно связано с самим уравнение, а именно:
имеет место следующая формула Остроградского – Лиувилля:
.
(1.4.9)
Из формулы
(1.4.9) видно, что определитель Вронского решений уравнения обладает двумя замечательными
свойствами:
1. Если обращается в нуль в одной точке из
интервала , то он
равен нулю во всех точках этого интервала .
2. Если не равен нулю хотя бы в одной точке
из интервала , то он отличен от нуля во
всех точках этого интервала .
Таким образом,
для того чтобы решений
(1.4.3) составляли фундаментальную систему решений уравнения в интервале , достаточно, чтобы их
определитель Вронского был отличен от нуля в какой-либо одной точке .
В частности
решен
1.3.1 Предварительные замечания Дипломная (ВКР). Математика.
Банки и их роль в рыночной экономике 2
Реферат: Роль предпринимательства в развитии рыночной экономики
Дипломная работа: Богословско-историческое обоснование догмата иконопочитания
Реферат: Социальные конфликты на Руси
Бот Сочинение Онлайн
Реферат: Трудовое право: понятие и виды переводов. Скачать бесплатно и без регистрации
Организм Среда Адаптация Реферат
Доклад по теме Протейные
Итоговая Контрольная Работа Обществознание 10
Реферат На Тему Назначение И Производство Судебных Экспертиз
Реферат Океанов
Дипломная работа по теме Дендизм в контексте культуры (литературные источники)
Практическое задание по теме Анализ состояния активов и пассивов проблемного КБ 'Носта' Оренбургской области
Контрольная работа по теме Основные виды человеческой деятельности: труд, игра, учение, общение
Реферат: Предпринимательский риск виды риска, оценка фактов и способы его минимизации. Скачать бесплатно и без регистрации
Учебное пособие: Методические указания по выполнению дипломного проекта для студентов специальности 061100 (080507) «Менеджмент организации» Ижевск 2007
Реферат: Занавес
Реферат по теме Выступление российских спортсменов
Эмоционально Волевая Сфера Личности Курсовая
Профессия Учитель Сочинение 2 Класс
Реферат: Развитие архитектуры материнских плат для PC
Реферат: Расчет однокорпусного выпарного аппарата
Реферат: Формы и системы заработной платы на промышленном предприятии