Интегралы: страшный сон школьника или благо современности?

Вероятно, многим из нас в 11 классе так перемыли мозги ужасными интегралами, что они до сих пор периодически возвращаются в виде демона сонного паралича. В защиту составителей школьной программы, включивших в нее эту крайне непростую тему, сообщим, что наши предки страдали от гораздо более сложных (!) математических методов почти до начала 18 века!

Принято считать отцами базы «высшей» математики – интегрально-дифференциального исчисления – Ньютона, Лейбница, Ферма, Кеплера и прочих. Существует даже красивая легенда о значительном влиянии… алкоголя на старт создания этого важнейшего с точки зрения физики математического направления! Дело в том, что в ноябре 1613 года великий математик, астроном и физик Иоганн Кеплер решил… жениться, поэтому направился купить несколько бочек виноградного вина для этого празднества. Тут то мало интересовавшегося «горячительными» напитками естествоиспытателя и поджидало пренеприятнейшее открытие. Оказалось, что хитрый торговец определял объем продаваемой им жидкости путем умножения высоты бочки на площадь ее поперечного сечения, взятую в самом толстом ее месте - посередине.

«Как же так!», - возмутился Кеплер, - «ведь такой способ вычисления вовсе не учитывает ее форму, сужающуюся к верху и низу!»

Однако все его возражения разбились о железный контраргумент – отсутствие иного пути точно находить объемы подобных фигур. Именно после ограбления таким изящным способом, Кеплер и занялся разработкой методов интегрирования.

Однако данная история умалчивает, что к тому моменту математики уже достаточно давно умели весьма точно вычислять объемы тел вращения (то есть тел, содержащих в своих продольных сечениях круги). Вот только все они были очень неудобными и громоздкими для повседневного практического использования!

Так что присаживайтесь поудобнее, ведь сегодня вас ждет рассказ о первом более «простом» предшественнике интегрального исчисления – методе исчерпывания и его предтечах.

Итак, еще в древней Греции специалисты додумались до того, что объем любого тела вращения, к примеру, горшка или амфоры для хранения зерна, можно найти, мысленно «разбив» его по длине на цилиндры. Далее для каждого такого «цилиндра» выполнялась операция, аналогичная проделанной торговцем, надувшем Кеплера. Ведь любые такие сосуды обязательно имели круглое сечение, так как изготавливались с помощью гончарного круга.

Точность такого способа очевидно зависела от того, на сколько «цилиндров» мы не поленимся разделить тело по его длине и от того, насколько точно будет определена… площадь каждого круга. Да, как это не удивительно сейчас слышать, были времена, когда известная ныне каждому формула «пи эр квадрат» еще не была изобретена!

Так вот, первым, кто пришел к необходимости изобрести способ, чтобы точно рассчитать площадь круга был Антифонт, живший в Афинах в 4 веке до нашей эры. Интересно, что, как и большинство других профессионалов, успешно решавших математические задачи до начала 20 века, он вовсе не являлся математиком. Поэтому бытие политиком и философом-софистом не помешало ему придумать, что площадь круга может быть заменена площадью вписанного в него многоугольника. А уж его то площадь легко найти, разбив многоугольник на треугольники, благо формула для расчета их площади была известна еще чуть ли не со времен древнего Египта. При этом Антифонт не просто предложил эту идею, но и заметил, что по мере увеличения числа сторон, площадь вписанного многоугольника все ближе приближается к площади круга. Так, вписанный квадрат заполняет более ½ площади круга, а восьмиугольник – уже более ¾. Соответственно, точность определения площади круга таким путем зависела исключительно от усердия расчетчика и наличия у него свободного времени. Более того, Антифонт вывел формулу зависимости площади многоугольника от количества его сторон, позволяющую заранее знать, насколько неточно будет определена площадь при использовании той или иной фигуры. Так увидела свет первая вариация метода исчерпывания.

Следующим, кто приложил к нему руку, был Брисон Гераклейский*, который менее чем через 100 лет додумался не только вписывать, но и описывать вокруг круга многоугольники. Это позволило определить не только нижнюю границу диапазона, в котором находилось точное значение площади круга (площадь вписанного в окружность правильного многоугольника), но и верхнюю – площадь описанного**. Таким образом площадь круга была поймана в ловушку с постоянно сближавшимися краями, позволившую впервые приблизительно вычислить величину великого числа «Пи»!

Еще через 100 лет за работу по уточнению площади круга взялся великий древнегреческий механик, астроном и врач Евдокс Книдский, работы которого, к большому сожалению, не дошли до нашего времени, в отличие от «публикаций» учеников и других античных авторов, добросовестно его цитировавших. Благодаря их порядочности мы знаем, что он теоретически обосновал математический подход, который звучал так:

«Существуют два числа: большее и меньшее. Если от большего числа отнять больше его половины и от их остатка больше половины остатка и делать так дальше, то в результате конечного числа этих операций всегда можно будет дойти до числа, которое будет меньше второго меньшего числа».

Вам ничего не понятно?

Добро пожаловать в мир словесной математики, ведь до изобретения буквенных обозначений великим Рене Декартом осталось еще почти 2000 лет!

Однако не будем вас больше пугать и запишем все в привычном всем нам виде.

Итак, пусть существуют два числа A и В, причем А > В.

Отнимем от А число А1 > A/2 и результат запишем как С1:

Далее от С1 отнимем А2 > C1/2 и запишем результат как С2:

Далее от С2 отнимем А3 > C2/2 и запишем это как С3 и т.д.

Так вот, Евдокс доказал, что, проделав эту операцию конечное число раз, мы дойдем до величины Сn, которая будет меньше B. То есть:

При этом все это работает для достаточно большого n и произвольного В***.

Но причем тут круги и многоугольники?

При том, что если последовательно вписывать в круг (А) многоугольники с увеличивающимся в соответствии с описанным способом числом сторон (А1, А2, А3…), то их площади будут сходиться к площади вмещающего их круга.

В чем же разница с предыдущими способами определения площади?

В том, что «новый» метод Евдокса «всего лишь» позволял подойти поближе к точному значению площади круга быстрее, чем раньше. Сейчас это кажется мелочью, однако следует помнить, что речь идет о ручных геометрических построениях и таких же ручных арифметических расчетах!

Интересно, что сохранилось и оригинальное авторское доказательство такого способа вычисления площади круга, однако мы не будем испытывать ваше терпение дальше. Поэтому сообщим лишь, что оно строится на доказательстве от противного (reductio ad absurdum), а заинтересовавшихся отправим в Википедию****.

Что же можно сказать в заключение?

Как мы видим, применение доинтегральных подходов требовало очень громоздких и трудоемких геометрических построений и арифметических вычислений. Кроме того, древние греки так и не смогли однозначно определить, как много шагов такого половинчатого деления брать, чтобы полученная площадь была достаточно близка к точной для практических целей.

Именно оттого описанным нами методом пользовались только тогда, когда требовалась особая точность вычислений и как раз поэтому, как только такая точность стала нужна часто благодаря развитию техники и экономики, были тут же разработаны принципиально более быстрые, общие и точные методы таких вычислений.

Но об этом мы расскажем уже в следующих постах нашей новой математической серии!

* Что характерно, тоже философ-софист. Вам уже стало интересно узнать, что на самом деле изучало это направление философии, давшее миру столько замечательных математиков, а в наши дни упоминающееся исключительно в качестве ругательства – «софистика»?)

** Если вам кажется, что все это что-то сильно напоминает и, возможно, вы думаете о верхнем и нижнем пределах функции, то вполне заслужили респект от нашей команды!

*** Сейчас мы бы записали это как А = lim (n-> ∞) (A1 + A2 + A3 + … + An), с учетом того, что процесс Евдокса не бесконечен, так как греки избегали этого понятия.

**** Если же вы являетесь настоящими ценителями математики и при этом уверены в своем английском, то вас ждет еще более изысканное лакомство: детальное выведение предела этой формулы самим Архимедом.

Мы есть в Instagram!

Добро пожаловать в Science HUB!

Читайте наш предыдущий пост здесь!

Читайте наш следующий пост здесь!