Группа G и ее нормальные подгруппы

⚡⚡⚡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Определение: Группа G называется транзитивной (нормальной), если для любой пары элементов a и b группы G существуют элемента x, y из G такие, что a=xy и b=y×x.
Пусть G – транзитивная группа, тогда, для любого элемента x из группы G, существует элемент y из группы G такой, что xy=y. Это означает, что группа G содержит подгруппу, содержащую элемент, равный самому себе (если это не так, то существует подгруппа, содержащая элемент, который меньше самого себя).
Понятие группы
В теории групп и алгебр в качестве основного объекта выступает подгруппа, т.е. множество всех элементов, принадлежащих данному множеству.
Для обозначения подгрупп используются различные символы.
Например, для обозначения подгруппы, состоящей из одного элемента, используется символ «+», для обозначения группы, состоящей только из нулей, используется символ 0, а для обозначения нулевой группы - символ 0.
Понятия подгруппы и группы тесно связаны между собой.
Группа G называется нормальной в подгруппе H, если для любых двух элементов группы G есть элемент группы H, который является и элементом группы G, и элементом H.
Если G — нормальная подгруппа в H, то её можно разбить на две подгруппы — нормальную подгруппу G0 и элементарную подгруппу H0 (обозначим их соответственно G0/H0 и H0/G0), причём G0*H0 = H0, а H0*G0 = G0.
Группа G называется группой G-нормальных подгрупп, если для каждой подгруппы H из группы G существует такая подгруппа K из G, что H×K=G.
Если G — простая группа, то группа G имеет один и только один класс эквивалентности нормальных подгрупп. Если G — конечная группа, каждый класс эквивалентности содержит подгруппу, которая является нормальной. Группа G является группой нормальных подгрупп тогда и только тогда, когда она является простой группой.
Группа G называется нормальной в подгруппе H, если
где "g" является элементом группы G. Для нормального отображения "f" из группы G в подгруппу H, отображение должно быть изоморфизмом.
Если G — группа порядка n и H — подгруппа порядка r с n≤r, то нормализационная группа G/H имеет порядок n/r и является естественным продолжением группы G, т.е.

Группа G называется "нормальной" подгруппой в группе G1 (нормальные подгруппы группы G называются "группами" ) если любой элемент группы G является произведением элементов группы G1.
Если G — группа, то нормальная подгруппа группы G называется группой G. Например, G = Z/2Z — простая группа, тогда G — нормальная подгруппа.
Подгруппа, состоящая из всех элементов группы, кроме одного или нескольких, называется конечной подгруппой.

В теории групп группа G и её нормальная подгруппа "N" называются группой G и нормальной группой "N", соответственно.
Пусть — группа. Тогда:
Если "N"* является подгруппой в группе G, то "G/N"* называется нормальной подгруппой группы G. Это определение эквивалентно следующему:
где "G"* является нормальной подгруппой G.

Нормировка группы
В § 1 мы доказали следующий результат.
Теорема 1. Пусть G — группа и G 0 — ее нормальное подмножество.
Тогда G является группой, если и только если G 0 является подгруппой группы G.
Доказательство.
Если G является подгруппои этой группы, то G является нормальной подгруппой этой группы.
Но поскольку G 0 есть нормальное подмножеио группы G, для любого элемента х группы G существует такой элемент у группы G 0, что у = х. Поэтому G является нормальным подмножеством группы G .
В алгебре группа G называется группой с замкнутой коммутативной нормальной подгруппой N, если любая нормальная подгруппа N этой группы является также подгруппой G.
Группа G имеет замкнутую коммутативную нормальную подгруппу, если и только если она является конечной группой. В противном случае она имеет единственную замкнутую нормальную подгруппу.
В этом разделе мы с вами рассмотрим группы G с элементарными подгруппами, которые называются нормальными.
Это будет весьма полезно для понимания теории групп.
Нормализация группы
Рассмотрим группу G, состоящую из конечного числа элементов.
Ясно, что любая подгруппа группы G является группой.
Если G - группа, то G/Z(G) - нормальная подгруппа, и наоборот.
То есть, группа является нормальной, если она содержит нормальную подгруппу.
Пример.

Личность Индивидуальность Эссе
Контрольно Проверочные Работы По Истории 5
Компьютерные Программы Реферат