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Rechner Trigonometrie, Trigonometrie Rechner

Dies sind die Formeln zum Berechnen der Trigonometrischen Funktionen.
Winkel = 30° Winkel in rad = 0,5236 = 0,16667·π I. Quadrant sin(30°) = 0,5 cos(30°) = 0,86603 tan(30°) = 0,57735 csc(30°) = 2 sec(30°) = 1,1547 cot(30°) = 1,73205
Hier seht ihr die notwendigen Trigonometrie-Formeln:
Sinus(Alpha) = Gegenkathete / Hypotenuse → sin(α) = GK/HY
Kosinus(Alpha) = Ankathete / Hypotenuse → cos(α) = AK/HY
Tangens(Alpha) = Gekathete / Ankathete → tan(α) = GK/AK
Kosekans(Alpha) = 1/Sinus(Alpha) = Hypotenuse/Gegenkathete → csc(α) = 1/sin(α) = HY/GK
Sekans(Alpha) = 1/Kosinus(Alpha) = Hypotenuse/Ankathete → sec(α) = 1/cos(α) = HY/AK
Kotangens(Alpha) = 1/Tangens(Alpha) = Ankathete/Gegenkathete → cot(α) = 1/tan(α) = AK/GK
Trigonometrie-Rechner online, einfach Trigonometrie online berechnen

Trigonometrie kann sinngemäß übersetzt werden als Dreiecksvermessung. Die Trigonometrie ist Teilgebiet der Geometrie und beruht auf Verhältniswerten im rechtwinkligen Dreieck . Der erste Mathematiker, der diese Verhältnisse nachweisbar dokumentiert hat, war Hipparchos (190 - 120 v.Chr.). Mehr als 600 Jahre nach ihm, hatte der Mathematiker Aryabatha (476 - 550 n.Chr.) dieses Prinzip auf rechtwinklige Dreiecke übertragen, von der unsere moderne Trigonometrie abstammt. Zur Geschichte siehe TRI01 Einführung zur Trigonometrie . Die oben im Koordinatensystem dargestellte Trigonometrie gehört zur "Ebenen Trigonometrie". Man kann die Trigonometrie aber auch auf gekrümmten Ebenen im Raum (z. B. auf einer Kugel) anwenden, dann spricht man von der "Sphärischen Trigonometrie".

Notwendiges Wissen zum Verständnis des Themas:

Beschriftungen am Dreieck: Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse


Das Wort "Trigonometrie" ist ein zusammengesetztes Wort. Es kann einzeln übersetzt werden als: tri - drei, gono - Eck, metrie - Maß. Trigon heißt auf Griechisch "Dreieck".

Unabhängig, wie ein rechtwinkliges Dreieck skaliert (also vergrößert oder verkleinert) wird, die Verhältniswerte der Seiten zueinander bleiben stets die gleichen. Auf diesem Sachverhalt beruht die Trigonometrie. Die Videos der Lektion TRI04: Sinus und Kosinus (einfach erklärt) beleuchten dies.
Winkel lassen sich in Grad (z. B. 180°) oder Radiant (π rad) angeben. Es gibt noch weitere Einheiten für Winkel , jedoch sind Grad und Bogenmaß die am häufigsten verwendeten.
Die Trigonometrie ist ein umfassendes Gebiet. Hierzu gehören weiterhin der Einheitskreis , die trigonometrischen Funktionen und die Additionstheoreme .

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aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Sinus, Kosinus und Cosinus sind Weiterleitungen auf diesen Artikel. Zu weiteren Bedeutungen siehe Sinus (Begriffsklärung) , Kosinus (Begriffsklärung) und Cosinus (Begriffsklärung) .
Wiktionary: Kosinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Sinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion ) sind elementare mathematische Funktionen .
Vor Tangens und Kotangens , Sekans und Kosekans bilden sie die wichtigsten trigonometrischen Funktionen . Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis sind sie wichtig.

Wellen wie Schallwellen , Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als Zusammensetzung aus Sinus- und Kosinuswellen beschreiben, sodass die Funktionen auch in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.

Die lateinische Bezeichnung Sinus „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175 [1] als Übersetzung der arabischen Bezeichnung dschaib oder dschība / جيب /‚Tasche, Kleiderfalte‘, selbst entlehnt von Sanskrit jiva „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels . Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden. [2]

Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse der Seiten .

Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß der beiden spitzen Winkel abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der Dreieckssätze (z. B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert:

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete ( Kathete , die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) gilt hier:

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen



sin
⁡
α
≤
1


{\displaystyle \sin \alpha \leq 1}

und



cos
⁡
α
≤
1


{\displaystyle \cos \alpha \leq 1}

.

Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt:

Da im rechtwinkligen Dreieck



α
+
β
=

90

∘




{\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}

gilt, folgt:

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des Komplementärwinkels .

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („ trigonometrischer Pythagoras “) ableiten:

Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Sinus-Funktion als



y


{\displaystyle y}

-Koordinate und der Wert der Kosinus-Funktion als



x


{\displaystyle x}

-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis ( siehe unten ) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als Argument zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion ( siehe unten ).

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt



P


{\displaystyle P}

mit den Koordinaten



(
x
,
y
)


{\displaystyle (x,y)}

auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt




x

2


+

y

2


=
1


{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

. Die positive



x


{\displaystyle x}

-Achse schließt mit dem Ortsvektor von



P


{\displaystyle P}

einen Winkel



α


{\displaystyle \alpha }

ein.
Der Koordinatenursprung



(
0
,
0
)


{\displaystyle (0,0)}

, der Punkt



(
x
,
0
)


{\displaystyle (x,0)}

auf der



x


{\displaystyle x}

-Achse und der Punkt



P
(
x
,
y
)


{\displaystyle P(x,y)}

bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt






x

2


+

y

2




=
1


{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1}

. Die Ankathete des Winkels



α


{\displaystyle \alpha }

ist die Strecke zwischen



(
0
,
0
)


{\displaystyle (0,0)}

und



(
x
,
0
)


{\displaystyle (x,0)}

und hat die Länge




|

x

|



{\displaystyle |x|}

. Es gilt:

Die Gegenkathete des Winkels



α


{\displaystyle \alpha }

ist die Strecke zwischen



(
x
,
0
)


{\displaystyle (x,0)}

und



(
x
,
y
)


{\displaystyle (x,y)}

und hat die Länge




|

y

|



{\displaystyle |y|}

. Somit ist:

Daraus folgt durch den Strahlensatz die Definition des Tangens :

Die



y


{\displaystyle y}

-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises ist also der Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der



x


{\displaystyle x}

-Achse, während die



x


{\displaystyle x}

-Koordinate der Kosinus des Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.

Die Umkehrung der Sinus-/Kosinusfunktion ist nicht eindeutig. Zu jeder Zahl



y


{\displaystyle y}

zwischen −1 und 1 (



−
1
<
y
<
1


{\displaystyle -1Porno Prostituer
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