Головоломка о заключенных с зелеными глазами (#7)

Представьте себе остров, где безумный диктатор держит в заключении 100 человек, и все они отличные математики. Бежать невозможно, но есть одно странное правило. Ночью любой узник может попросить стражу об освобождении. Если у заключенного зеленые глаза, его освободят, если же нет - его бросят в жерло вулкана. На самом деле у всех ста узников зеленые глаза. Но заключенные живут на острове с самого рождения, и диктатор сделал все, чтобы никто не узнал цвет своих глаз. На острове нет зеркал, а все емкости для воды непрозрачные. Но главное, узникам запрещено разговаривать друг с другом. Тем не менее, каждое утро они видятся на перекличке. Все знают, что никто даже не рискнет просить о свободе, не будучи абсолютно уверенным в успехе.

Не выдержав давления организаций по правам человека, диктатор разрешает вам посетить остров и поговорить с заключенными. Но он ставит условия: вы делаете лишь одно заявление, и вы не сообщаете узникам новую информацию. Как же помочь заключенным и не навлечь на себя гнев диктатора?

После долгих раздумий вы говорите толпе узников: "По крайней мере у одного из вас зеленые глаза". Диктатор полон недоверия, но успокаивает себя: такое заявление ничего не изменит. Вы уезжаете, а жизнь на острове как будто бы идет своим чередом. Но однажды утром, через 100 дней после вашего визита, остров оказывается пуст - все узники потребовали освобождения прошедшей ночью. Как же вам удалось обмануть диктатора?

ОБЪЯСНЕНИЕ:

Важно понять, что число заключенных не имеет значения. Давайте упростим задачу и представим, что их всего двое - Алиса и Марк. Каждый из них видит узника с зелеными глазами, но знает, что этот зеленоглазый может быть единственным. В первую ночь оба выжидают. Наутро они видят, что товарищ по-прежнему здесь, и это дает им подсказку: Алиса догадывается, что если ее глаза не зеленые, то Марк освободился бы в первую же ночь, поняв, что он - единственный зеленоглазый узник. Точно так же Марк рассуждает про Алису. Теперь каждый из них понимает: "Поскольку другой ждет, мои глаза могут быть только зелеными". И на следующее утро оба узника покидают остров. Теперь представим, что заключенных трое: Алиса, Марк и Ник. Каждый из них видит двух узников с зелеными глазами, но не уверен, сколько зеленоглазых видят остальные - двух или только одного. В первую ночь узники снова выжидают, но утро пока не приносит ясности. Ник думает: "Если мои глаза не зеленые, Алиса и Марк наблюдают лишь друг за другом, значит следующей ночью они оба уйдут". Однако на третье утро Ник видит, что они остались, и понимает, что Алиса с Марком наблюдают и за ним. Алиса и Марк рассуждают аналогично, и на третью ночь все трое уходят.

Это называется индуктивной логикой - мы увеличиваем число заключенных, а рассуждения остаются верными и не зависят от количества узников. Ключ к этой задаче - концепция "общепринятого знания", созданная философом Дэвидом Льюисом. Новую информацию дало не само ваше заявление, а то, что все заключенные услышали его одновременно. Теперь все узники не только знают, что по крайней мере один из них имеет зеленые глаза, но и то, что каждый следит за всеми зеленоглазыми, и что все они знают это, и так далее.

Чего каждый отдельно взятый узник не знает - относится ли он к зеленоглазым, за которыми наблюдают остальные? Он узнает это лишь тогда, когда пройдет столько ночей, сколько заключенных на острове. Конечно, вы могли избавить узников от лишних 98 дней на острове, сказав, что минимум 99 из них имеют зеленые глаза, но когда в деле замешан безумный диктатор, лучше перестраховаться ;)

Источник: ed.ted.com