Фракталы — фигуры с дробной размерностью

Интуитивно понятие размерности кажется довольно простым и уж точно воспринимается нами как число натуральное — мы понимаем размерность как количество независимых параметров (координат), необходимых для задания положения точки внутри фигуры.

Так, любая линия (например, окружность) одномерна; а поверхность (например, сфера) двумерна.

Также в линейной алгебре размерность пространства определяется числом базисных векторов.

Но оказывается, что такого понимания размерности недостаточно: существуют объекты, к которым оно неприменимо. Их называют фракталами.

Строгого определения фрактала никто давать не умеет, но этого и не требуется. Отметим главную отличительную особенность фрактала — его самоподобие, т.е. сохранение формы объекта при изменении масштаба (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый).

Приведём несколько примеров.

Снежинка Коха. Процесс её построения выглядит следующим образом.

Каждую сторону равностороннего треугольника единичной длины делим на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется замкнутая ломаная (шестиконечная звезда), состоящая из звеньев длины 1/3.

На следующем шаге повторяем операцию для каждого из получившихся звеньев и так далее до бесконечности. Предельная замкнутая линия и есть снежинка Коха.

Эта линия имеет бесконечную длину, хотя и ограничивает конечную площадь.

Ковёр Серпинского. Ковёр Серпинского строится пошагово следующим образом. В качестве начального объекта берётся квадрат. На первом шаге нужно разбить его на 9 равных квадратиков, а затем удалить центральный из них. На втором шаге каждый из оставшихся восьми квадратиков также надо разделить на 9 равных квадратиков, после чего удалить центральный из них. На третьем шаге та же самая операция проводится с каждым из 64 оставшихся квадратиков и т.д. То, что остаётся в итоге, после завершения этой бесконечной процедуры, и называется ковром Серпинского: ковёр Серпинского состоит из всех точек исходного квадрата, которые не будут вырезаны из него ни на каком из шагов описанной процедуры.

Несложно показать, что площадь ковра Серпинского равна нулю.

Фрактальными свойствами обладают многие природные объекты — их называют квазифракталами.

Квазифракталами являются, например, в неживой природе: границы географических объектов, береговые линии, горные хребты, снежинки, кристаллы, сталактиты, молнии, облака;

в живой природе: кораллы, морские звёзды и ежи, морские раковины, кроны деревьев, система кровообращения, бронхи и многое другое.

Природные структуры, конечно же, не могут быть идеальными математическими фракталами из-за ограничений, накладываемых размером клетки и, в конечном счёте, молекулы, но фрактальный язык может быть полезен при их изучении.

Как же можно определить размерность таких странных объектов?

Не стремясь к абсолютной строгости формулировок, обсудим важные понятия линейного размера, меры, фрактальной размерности и их взаимосвязь.

Линейный размер. Что больше: помидор или огурец?

Вопрос поставлен некорректно: если в «длину», то огурец, а в «толщину» — помидор.

Для того, чтобы сравнение было информативным, объекты должны быть подобны друг другу.

Подобные фигуры можно сравнивать, просто измерив линейкой соответствующие характерные линейные размеры (например, длину обхвата помидора).

Мера. Мера также служит для измерения объектов, но не всегда она может быть измерена линейкой.

Главное свойство меры — аддитивность: мера объекта, полученного при объединении («слиянии» / «сложении») двух объектов равна сумме мер исходных объектов.

Для одномерных объектов мера пропорциональна размеру.

Для неодномерных объектов мера вычисляется по некоторым правилам, которые подбираются так, чтобы мера сохраняла аддитивность.

Например, если «сложить» два квадрата со сторонами 3 и 4, то получится квадрат со стороной 5:

И слагаемые, и сумма (являясь квадратами) подобны друг другу, и потому мы можем сравнить их размеры.

Но линейный размер суммы не равен сумме размеров:

3 + 4 ≠ 5.

Фрактальная размерность. Связать меру и линейный размер позволяет размерность.

Обозначим L — линейный размер, M — меру, D — размерность. Тогда эти три величины будут связаны формулой

M = Lᴰ.

Мерой двумерных объектов, как и ожидалось, служит площадь: S = L², а трёхмерных — объём: V = L³.

Осталось ещё объяснить, кто позволил нам поставить знак равенства в этих формулах в ситуации, когда речь будет идти не про квадрат или куб, а произвольную геометрическую фигуру? Будет ли работать эта формула для произвольных объектов?

Этот вопрос можно решить двумя способами. Во-первых, можно заменить равенство на пропорциональность — при этом все дальнейшие рассуждения сохранятся. А во-вторых, всегда можно так подобрать измеряемый нами линейный размер, чтобы формула работала. Например, для шара в качестве линейного размера возьмём длину дуги большого круга, равной кубическому корню из ⁴⁄₃ π радиан.

Из всего вышесказанного вытекает очень важный вывод: если линейный размер фигуры уменьшить в N раз, то она будет "укладываться" в исходной фигуре Nᴰ раз.

Это вполне согласуется со знанием школьных теорем о том, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, а объёмы — как куб коэффициента подобия.

Таким образом, если при уменьшении размера фигуры в N раз оказалось, что она укладывается в исходной n раз (то есть её мера уменьшилась в n раз), то размерность можно вычислить по формуле:

Логарифм можно взять по любому одинаковому основанию, обычно это е, 2 или 10.

Впервые такую дробную размерность предложил Феликс Хаусдорф (1919 г.).

Давайте вычислим, например, хаусдорфову размерность снежинки Коха.

На длине исходной стороны правильного треугольника

длина уменьшенных отрезков в N = 3 раза меньше этой стороны (это наш коэффициент подобия на каждом шаге). Всего таких фрагментов в нашей кривой n = 4.

Получаем размерность кривой Коха:

Вычислить фрактальную размерность ковра Серпинского также не составляет труда. Мы разбиваем исходный ковёр на коврики со стороной в 3 раза меньше, всего таких ковриков 8. Это означает, что должно быть выполнено соотношение: 3ᴰ = 8; отсюда получим:

Для природных объектов (казифракталов) фрактальная размерность определяется экспериментально.

Например, для цветной капусты сорта романеско она составляет примерно 2,88.

А для облаков — примерно 2,3. Как можно использовать такую эту информацию на практике?

Пусть у нас есть два облака с линейными характерными размерами А и В, которые выбраны так, что облака отбрасывают тени А² и В². Предположим, что эти два облака сливаются в одно. Какую тень будет отбрасывать образовавшееся облако? (Считаем, что облака не растут, не уменьшаются и не меняют свою структуру.)

Площадь тени будет равна С², а величину С можно найти из уравнения

С²’³ = А²’³ + В²’³.

Таким образом, мера облаков имеет дробную размерность: они «складываются» и не как объёмные, и не как плоские объекты, а каким-то промежуточным образом.