Формування поняття функції в курсі середньої школи - Педагогика дипломная работа

Главная

Педагогика
Формування поняття функції в курсі середньої школи

Узагальнення поточного стану матеріалів з алгебри функцій в шкільних підручниках та розробка напрямків удосконалення наочності і сприйняття основних властивостей функцій в шкільній програмі курсу алгебри. Графіки степеневої та тригонометричної функції.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Формування поняття функції в курсі середньої школи
Актуальність теми дипломної роботи полягає в зростанні обсягів розділів функціонального аналізу в курсах алгебри загальноосвітньої школи, що потребує удосконалення технологічної наочності матеріалу, що викладається на базі застосування сучасної комп'ютерної техніки та технологічної можливості застосування повномасштабних проекційних та інтерактивних класних дошок, на яких з'являється можливість поетапної побудови графіків як простих функцій так складних суперпозицій декількох функцій в кольоровому режимі з використанням масштабованості та деталізації графіків в характерних точках.
Предметом дипломного дослідження є ефективність процесу формування поняття функції в шкільному курсі алгебри в 7-11 класах, послідовність та наочність учбового матеріалу.
Об'єктом дипломного дослідження є учбовий матеріал розділів шкільних підручників з алгебри в 7-11 класах загальноосвітньої школи, присвячений формуванню поняття функцій.
Метою дипломного дослідження є узагальнення поточного стану матеріалів з алгебри функцій в шкільних підручниках та розробка напрямків удосконалення наочності і сприйняття основних властивостей функцій в шкільній програмі курсу алгебри.
Для реалізації мети дипломного дослідження були виконані наступні завдання:
1. В першому розділі проведене узагальнення матеріалів розділів алгебри функцій у 7-9 класах:
- загальна сутність та основні властивості функцій;
- лінійна, обернена та квадратична функції
2. В другому розділі проведене узагальнення матеріалів розділів алгебри функцій у 10-11 класах:
- тригонометричні та обернені тригонометричні функції;
- показникова та логарифмічна функції.
3. В третьому розділі запропоноване використання комп'ютерного професійного розрахунково-графічного пакету Microsoft Mathematics 4.0 рівня середньої школи та показана ефективність його використання в наочному викладанні матеріалів по складним функціям (сума та різниця функцій), нерівностям функцій та системам нерівностей функцій.
4. В четвертому розділі викладені пропозиції щодо удосконалення рівня охорони праці та безпеки життєдіяльності в умовах впливу на учнів та викладачів автоматизації процесів навчання в класах загальноосвітньої школи.
Інформаційною базою дипломного дослідження були шкільні підручники курсів алгебри в 7-11 класах 2006-2012 рр. випуску, рекомендовані Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України для організації навчального процесу в методологічних документах:
- Математика 5-9 класи. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів, затверджена наказом МОН України від 23.02.04 №132, зі змінами, внесеними наказом МОН України від 05.08.2012 №166;
- Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів 10-11 класи, затверджена Лист МОН України №1/11-6611 від 23.12.2004 (уточнення від 28.10.2010 №1021).
При підготовці тексту роботи для оцінки якості наочного матеріалу використані графіки функцій, наведені в підручниках алгебри для 7-11 класів.
1 . Формування початкових понять функцій в програмах курс у алгебри у 7 - 9 класах
1.1 Основні поняття та властивості функцій
Функція - одне з найважливіших понять математики, вона дає можливість досліджувати й моделювати не тільки стани, але й процеси. Дослідження процесів і явищ за допомогою функцій - один з основних методів сучасної науки. Вивчають функції в 7, 8, 9, 10 і 11 класах загальноосвітньої школи [25].
Для визначення поняття функції використаємо ряд прикладів:
1. Площа квадрата залежить від довжини його сторони. Кожному значенню довжини квадрата відповідає єдине значення його площі (рис 1.1.1).
Рис. 1.1.1. Функціональна залежність площі квадрата від довжини його сторони
2. Кожному значенню маси вантажу, підвішеного на пружині, відповідає певна довжина пружини (рис 1.1.2).
3. Маса шматка крейди залежить від його обсягу. Кожному значенню обсягу шматка крейди відповідає єдине значення його маси .
4. Кожному значенню температури повітря відповідає єдине значення висоти стовпчика рідини в термометрі.
Рис. 1.1.2. Залежність довжини розтягнення пружини від маси вантажу
5. Кожному значенню змінної відповідає єдине значення математичного виразу .
Прикладів залежностей і відповідностей між змінними можна привести багато. Для науки й практики важливо вміти досліджувати такі відповідності. Їх називають функціональними відповідностями, або функціями.
У розглянутих прикладах мова йде про зв'язок між двома змінними. Одну з них, значення якої вибирають довільно, називають незалежною змінною, або аргументом. Іншу змінну, залежну від аргументу, називають залежною змінною, або функцією.
Незалежними змінними (аргументами) у наведених вище прикладах є: довжина сторони квадрата, обсяг шматка крейди, маса вантажу, температура повітря. Їхні значення можна вибирати довільно. Залежними змінними будуть: площа квадрата, маса крейди, довжина пружини, висота стовпчика рідини в термометрі.
Якщо кожному значенню змінної з деякої множини відповідає єдине значення змінної , то змінну називають функцією від
За таких умов змінну називають аргументом функції , множину -областю визначення функції, а відповідність між і - функціональною відповідністю, або функцією.
Всі значення, які може приймати аргумент функції , це область визначення аргументу (множина ). А всі відповідні значення функції - область визначення функції (множина ).
Наприклад, площа квадрата - це функція від довжини його сторони (). Тут - функція, - аргумент. Область визначення цієї функції - множину всіх позитивних чисел.
Висота стовпчика рідини в термометрі - функція від температури . Тут - функція, - аргумент. Нехай, наприклад, протягом доби температура повітря підвищувалася від -5 0 до +7 0 , а висота стовпчика рідини в термометрі від 20 до 32 см. Цій зміні відповідає якась функція, область визначення якої є проміжок від -5 0 до +7 0 , а область значення - проміжок від 20 до 32 см.
Задавати функціональні відповідності можна різними способами. Часто їх задають формулами. Наприклад, відповідність між довжиною сторони квадрата і його площею можна задати формулою .
Відповідність між радіусом кола і його довжиною можна задати формулою .
Відповідність між значеннями змінної й значеннями функції у вираженні , можна задати формулою .
Завдання функції формулою зручно, тому що це дає можливість знаходити значення функції для довільного значення аргументу. Таке завдання функції досить ощадливе: в основному, формула займає один рядок.
Якщо функцію задають формулою й нічого не говорять про область її визначення, то вважають, що ця область - множина всіх значень змінної, при яких формула має сенс.
Наприклад, область визначення функції - множина всіх чисел, а функції - множина всіх чисел, крім 1, тому що на 0 ділити не можна.
Визначення: Областю визначення функції, що задається багаточленом з однією змінною, є множиною всіх чисел.
Задавати функцію можна й у вигляді таблиці. Наприклад функцію для перших десяти натуральних значень можна задати у вигляді такої таблиці:
Область визначення аргументу: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;
Область значень функції: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19.
Табличний спосіб завдання функції зручний тим, що для певних значень аргументу в таблицю вже занесені відповідні значення функції, тому не потрібно проводити обчислення. Незручний він тим, що таблиця займає більше місця. До того ж, як правило, містить значення функції не для всіх значень аргументу, а тільки для деяких.
Функцію можна задавати й словесно. Наприклад, якщо кожному цілому числу поставити у відповідність його квадрат, то одержимо функцію, область визначення якої є множина цілих чисел, а область значень - множина квадратів натуральних чисел і число 0.
Зверніть увагу на співвідношення понять «функціональна залежність» і «функціональна відповідність» (рис. 1.1.3).
З рис. 1.1.3 видно, що існують функціональні відповідності, що не є функціональними залежностями. Наприклад, формули , задають функції, але в них змінні не залежать від , тобто при зміні значень х значення у не змінюються.
На координатній прямій крім точок із раціональними координатами існує множина таких точок, координати яких - числа не раціональні. Їх називають ірраціональними. Раціональні числа разом з ірраціональними утворюють множину дійсних чисел .
Рис. 1.1.3. «Функціональна залежність» як підмножина «функціональної відповідності»
1. Знайдіть значення функції, заданої формулою , які відповідають таким значенням аргументу 0; 4; 0,8; - 125. Результати зведіть у таблицю.
2. Знайдіть область визначення функцій
а) Формула, за допомогою якої задається функція - багаточлен, а тому область її визначення - множина всіх чисел.
б) змінна може мати будь-які значення, крім тих, при яких знаменник дробу дорівнює нулю. Щоб їх знайти, розв`яжемо рівняння
Отже, область визначення функції - множина всіх чисел, крім
Числовою функцією з областю визначення називають залежність, при якій кожному числу із множини (області визначення) ставиться у відповідність єдине число . Записують цю відповідність так .
Область визначення функції - це множина тих значень, яких може набувати аргумент . Вона позначається
Область значень функції - це множина, яка складається з усіх чисел , де належить області визначення. Її позначають
Позначення і терміни числових функцій наведені на рис. 1.1.4:
- Область визначення аргументу x; - Область значень функції y;
Аргумент (незалежна змінна); Функція (залежна змінна); Функція; - Значення функції у точці .
Рис. 1.1.4. Визначення основних термінів функціональних залежностей
Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції, а друга координата - це відповідне значення функції у точці (рис. 1.1.5).
Рис. 1.1.5. Основні визначення «графіку функції»
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає додат-кових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має числове визначення. Наприклад, якщо функція задана формулою то її область визначення - , тобто множина аргументів функції а область значень -, тобто множина значень функції.
Іноді функція може задаватися різними формулами на різних підмножинах значень аргументу. Наприклад,
На рис. 1.1.6 графічно задана функція з областю визначення і множиною значень .
Рис. 1.1.6. Області визначення аргументів D(f) та значень функції E(f)
Значення, що приймає функція в деякій точці множини D на якій ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) на цій множині, якщо ні в якій іншій точці множини функція не має більшого (меншого) значення. Тобто для всіх виконується нерівність (відповідно для найменшого значення). Іноді це записують так: (відповідно ).
Наприклад, для функції , графічно заданій на відрізку на рис. 1.1.6, найменше значення дорівнює 1, а найбільше 4. Тобто .
Функція  називається парною, якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність .
Розглянемо приклади деяких характерних графіків функцій та типів специфічного завдання аргументів функцій.
На рис. 1.1.7 наведений графік функції модуля аргументу , який представляє парну функцію, симетричну відносно осі .
Рис. 1.1.7. Графік функції модуля аргументу
На рис. 1.1.8 наведений графік функції цілої частини аргументу де - позначення цілої частини числа , тобто найбільшого цілого числа, яке не перевищує який представляє непарну функцію, симетричну відносно осі .
Функція  називається непарною, якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність .
Рис. 1.1.8 Графік функції цілої частини аргументу
Область визначення цієї функції - множина всіх дійсних чисел, а область значень - множина всіх цілих чисел.
На рис. 1.1.9 наведено графік числової функції дробової частини аргументу , де - позначення дробової частини числа (за означенням
Рис. 1.1.9. Графік числової функції дробової частини аргументу
Одними з найбільш важливих властивостей функцій є їх зростаючий чи спадний характер. Функція є зростаючою на множині аргументів при умовах: якщо , то для всіх (при збільшені аргументу збільшується значення функції - рис. 1.1.10а).
Рис. 1.1.10. Приклади графіків функцій
Функція є спадною на множині аргументів : якщо , то для всіх (при збільшені аргументу зменшується значення функції - рис. 1.1.10б).
Рис. 1.1.11. Приклад графіка складеної зростаючої та спадної функції на окремих проміжках області визначення аргументів
Розглянемо детальніше приклади зростаючих та спадних функцій на ок-ремих проміжках визначення аргументів. Якщо на рис. 1.1.10. наведені приклади графіків тільки зростаючої а) та тільки спадаючої б) функцій, то на графіку рис. 1.1.11 бачимо, що на всій області визначення ця функції не є ні зростаючими, ні спадними. Але можна виділити проміжки області визначення, де ці функції зростають і де спадають. Так, на проміжку функції зростає а на проміжку - спадає.
Розглянемо властивості парності і непарності функцій, області визначен-ня яких симетричні відносно початку координат, тобто разом з кожним числом містять і число . Для таких функцій визначено поняття парності і непарності.
Функція називається парною (рис. 1.1.12а), якщо для будь-якого з її області визначення Якщо функція парна, то до її графіка разом з кожною точкою з координатами входить також і точка з координатами . Точки і розміщені симетрично відносно осі (рис. 1.1.12а) тому й графік парної функції розміщений симетрично відносно .
Функція називається непарною (рис. 1.1.12б), якщо для будь-якого з її області визначення
Якщо функція непарна, то до її графіка разом з кожною точкою з координатами входить також і точка з координатами . Точки і розміщені симетрично відносно початку координат (рис. 1.1.12б), тому й графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку координат.
Наприклад, функція (тобто функція ) - парна, оскільки (рис. 1.1.13а). Графік парної функції симетричний відносно осі (рис. 1.1.13а).
Рис. 1.1.13. Графіки парної функції та непарної функції
Функція (тобто функція ) - непарна оскільки (рис. 1.1.13б): Графік непарної функції симетричний відносно початку координат, тобто відносно точки (рис. 1.1.13б).
На рис. 1.1.14 - 1.1.16 наведені принципи побудови графіків довільних функцій способами паралельного переносу, віддзеркалювання та розтягування:
- Як показує приклад, наведений на рис. 1.1.14:
- 1) графік функції y = - f (x) можна одержати з графіка функції y = f (x) його симетричним відображенням відносно осі Ox.
- 2) графік функції y = f (-x) можна одержати з графіка функції y = f (x) його симетричним відображенням відносно осі Oy.
Рис. 1.1.14. Побудова графіків функцій та
Рис. 1.1.15 Побудова графіків функцій та
Як показує приклад, наведений на рис. 1.1.15:
1) графік функції y = f (x - a) можна одержати паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) уздовж осі Ox на a одиниць;
2) графік функції y = f (x) + b можна одержати паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) уздовж осі Oy на b одиниць.
Рис. 1.1.16. Побудова графіків функцій та
Як показує приклад, наведений на рис. 1.1.16:
1) графік функції y = k f (x) (k > 0) одержується з графіка функції y = f (x) його розтягуванням (при k > 1 розтяг у k разів) або стискуванням (при 0 < k < 1 стиск у k разів) уздовж осі Oy;
2) графік функції y = f (бx) (б > 0) одержується з графіка функції y = f (x) його розтягуванням (при 0 < б < 1 розтяг у б разів) або стискуванням (при б > 1 стиск у б разів) уздовж осі Ox.
Наведемо деякі практичні завдання по викладеним темам основних властивостей числових функцій.
Завдання 1. Знайдіть область визначення функції
1) Обмежень для знаходження виразу немає; отже, множина значень аргументів (всі дійсні числа)
2) Область визначення функції задана обмеженням , оскільки знаменник дробу не може бути дорівнювати нулю.
Тоді область визначення можна задати обмеженнями або записати так
3) Область визначення функції задана обмеженням
, тобто , оскільки під знаком квадратного кореня повинен стояти невід'ємний вираз. Отже, .
Завдання 2. Знайдіть область значень функції
Складаємо рівняння . Воно рівносильне рівнянню яке має розв'язки, якщо , тобто при .Усі ці числа і складуть область значень функції.
Отже, область значень заданої функції
Завдання 3. Дослідіть, які із заданих функцій є парними, які непарними, а які - ні парними, ні непарними.
1) Область визначення функції : , тобто вона не симетрична відносно точки (точка входить до області визначення, а ні)
Рис. 1.1.17. Область визначення функції з розривом
Отже, задана функція (рис. 1.1.17) не може бути ні парною, ні непарною.
2) Область визначення функції : тобто вона симетрична відносно точки
3) Область визначення функції : отже, вона симетрична відносно точки
Лінійною називають функцію, яку можна задати формулою виду , де - аргумент, і - дійсні числа.
Розглянемо дві лінійні функції, задані формулами на множині всіх дійсних чисел .
Побудуємо графіки даних функцій (рис. 1.2.1).
Рис. 1.2.1. Приклади графіків лінійних функцій
Бачимо, що графік кожної з наведених функцій - пряма. Можна узагальнити наведені приклади й довести таке твердження.
Графік кожної лінійної функція - пряма. І кожна пряма на координатній площині, не перпендикулярна осі абсцис, є графіком деякої лінійної функції.
Для побудови прямої, що є графіком будь-якої лінійної функції, досить знати координати двох точок. Щоб побудувати графік функції , треба скласти таблицю для двох будь-яких значень аргументу.
Позначимо на координатній площині точки з координатами 0 і 3, 2 і 0 та проведемо через них пряму (рис. 1.2.2). Це і є графік функції .
Властивості лінійної функції для різних значень можна визначити по графіках, представленням, наприклад, на рис. 1.2.1 і 1.2.2. Представимо їх у вигляді табл. 1.2.1
Розглянемо окремі випадки лінійних функцій.
Якщо , то функції має вигляд . Графік такої функції пряма, паралельна осі .
Якщо,, то лінійна функція має вигляд . Цю функцію називають прямою пропорційністю, тому що будь-яке (відмінне від нуля) значення такої функції пропорційне відповідному значенню аргументу.
Графік прямої пропорційності - пряма, що проходить через початок координат. На рис. 1.2.4 зображені графіки функцій
Розглянемо два практичних приклади.
Приклад 2.1. Побудуйте графік функцій, заданою формулою
Дана функція - лінійна, її графік пряма. Визначимо координати двох точок цієї прямої, склавши таблицю.
Нанесемо на координатну площину точки й і проведемо через них пряму (рис. 1.2.5). Це і є графік даної функції.
Існують функції, що не є лінійними на всій області визначення, але на окремих проміжках області визначення мають властивості лінійних. Їхній графік - це ламані лінії. Розглянемо одну з таких функцій.
Приклад 2.2. Побудуйте графік функцій .
По визначенню модуля можемо записати:
Ця функція на двох різних проміжках задається різними формулами лінійних функцій:
Складемо такі таблиці їхніх значень
Побудуємо графік «ламаної» лінійної функції, який складається з двох лінійних проміжків, з'єднаних в точці x=1.
Розглянемо функцію, задану формулою , де - довільне дійсне число, відмінне від нуля; аргумент може набувати не тільки додатних, а й від'ємних значень.
Наприклад, дано функцію Область її визначення всі дійсні числа, окрім (бо на 0 ділити не можна). Складаємо таблицю значень цієї функції для кількох значень аргументу:
Позначимо точки, координати яких наведено в таблиці (рис. 1.3.1а). Коли б на цій самій координатній площині позначили більше точок, координати яких задовольняють рівність вони розмістилися б, як показано на (рис. 1.3.1б). Якщо для кожного дійсного значення , крім , за формулою обчислити відповідне значення і нанести всі точки з одержаними координатами на координатну площину, матимемо графік даної функції (рис. 1.3.1 в). Таку лінію називають гіперболою. Гіпербола складається з двох гілок.
Графік функції - гіпербола, симетрична відносно точки О початку координат. Її гілки розміщено в І і ІІІ координатних квадрантах. Осі координат поділяють координатну площину на чотири координатних кути, їх називають також координатними чвертями, або квадрантами, і нумерують, як показано на рис. 1.3.2).
Рис. 1.3.2. Позначення координатних квадрантів на координатній площині
Якщо таким способом побудувати графік функції , дістанемо також гіперболу; тільки її гілки розміщені в ІІ і ІV координатних квадрантах (рис. 1.3.3).
Графік кожної функції , де - відмінне від нуля дійсне число, - це гіпербола, симетрична відносно початку координат (нуля координат О).
Якщо , гілки такої гіперболи розміщено в І і ІІІ координатних кутах, коли , - у ІІ та ІV.
Властивості функції для різних значень можна визначити за графіками, наведеними, наприклад, на рис. 1.3.1 і 1.3.3. Подаємо їх у вигляді табл. 1.3.1:
Функцію, задану формулою , часто називають оберненою пропор-ційністю (на відміну від функції , яку називають прямою пропорційністю). Раніше оберненою пропорційністю ми називали відповідність, при якій зі збільшенням однієї змінної в кілька разів значення другої зменшувалися в стільки ж разів. Так буває тільки у випадку, коли і - додатні числа. Якщо у функції число від'ємне, то зі збільшенням значень у кілька разів значення також збільшується у стільки ж разів. Це видно з рис. 1.3.4.
Рис. 1.3.4. Обернено пропорційна функція з від'ємним
Використовуючи степінь з від'ємним показником, функцію можна записати так: . Іноді її записують і у вигляді: .
Приклад. Чи є оберненою пропорційністю залежність, задана рівністю:
Функцію задано формулою . Знайдіть значення , якщо графік функції проходить через точку
Розв'язання. Підставимо значення і у формулу, якою задано функцію. Одержимо Отже, .
Розв'язання. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і (рис. 1.3.5).
Рис. 1.3.5. Графічне розв'язання рівняння
Ці графіки перетинаються в точках P і Q, абсциси яких дорівнюють приблизно 1 і -3. Перевіряємо, чи це точне значення, чи наближене: 1+2=3,
2 . Ф ункції в програмі курс у алгебри у 10-11 класах
Функцію , де - стале дійсне число, а - (основа) змінний аргумент у вигляді дійсного числа, називають степеневою функцією.
Область визначення і зміни степеневої функції , а також її властивості залежать від того, яким числом є показник .
Функція визначена на всій числовій прямій; якщо , і якщо , ; при непарному (=1,3,5,…) для всіх значень і знак функції збігається із знаком аргументу; функція непарна і зростає на всій області визначення. Графіком є пряма, якщо і криві, якщо =3,5,7,…, симетричні відносно початку координат, розміщені в І і ІІІ координатних чвертях (рис. 2.1.1).
Рис. 2.1.1. Графіки степеневої функції при значенні показника p - натуральне непарне число (1,3,5,….)
Якщо парне (2, 4, 6,…), для всіх значень і , функція парна. Якщо , функція спадає, якщо - зростає. Графіки (=2,4,6) - криві, симетричні відносно осі , розміщені в І і ІІ чвертях (рис. 2.1.2).
Рис. 2.1.2. Графіки степеневої функції при значенні показника p - натуральне парне число (2,4,6,….)
2. Нехай - ціле від'ємне число: -1, - 2, - 3,….Тоді функція визначена на всій числовій прямій, крім точки (немає числа, оберненого до нуля). Графік складається з двох віток. Якщо то
Якщо - непарне (-1, -3, -5,…), то для всіх значень і знак функції збігається із знаком аргументу. Функція непарна, спадна на всій області визначення. Графіком ( =-1, -3, -5,…) є криві, симетричні відносно початку координат, розміщені в І і ІІІ чвертях (рис. 2.1.3).
Рис. 2.1.3. Графіки степеневої функції при значенні показника p - від'ємне непарне число (-1, - 3, - 5,….)
Якщо - парне (-2, -4, -6,…), значенням і відповідають значення . Функція парна. Якщо , функція зростає, якщо -спадає. Графіком ( =-2, -4, -6,…) є криві, симетричні відносно осі , розміщені в І і ІІ чвертях (рис. 2.1.4).
Рис. 2.1.4. Графіки степеневої функції при значенні показника p - від'ємне парне число (-2, - 4, - 6,….)
Функція визначена для всіх значень при цьому , якщо Функція зростає на всій області визначення. Графіки ( розміщені в І чверті (рис. 2.1.5).
Рис. 2.1.5 Графіки степеневої функції при значенні показника p - дійсне число де ()
Степенева функція , якщо визначена і коли , бо . Вираз нє має смислу. Якщо -цілі, то степенева функція визначена і для . Якщо -парні, то функція парна, а коли непарні - непарна. Якщо =0, за означенням степеня з нульовим показником, то при будь-якому . Графіком такої функції є пряма паралельна осі і віддалена від неї на відстань, що дорівнює 1. З цієї прямої необхідно виключити точку, яка відповідає абсцисі, що дорівнює 0 (2.1.6).
Рис. 2.1.6. Графіки степеневої функції при значенні показника p = 0 (особливий випадок)
На практиці часто доводиться розглядати функцію виду , де стала. На графіках рис. 2.1.7 представлені функції та .

Рис. 2.1.7. Графіки степеневих функцій та
2.2 Тригонометричні функції та обернені тригонометричні функції
Розглянемо властивості тригонометричних функцій та обернених тригонометричних функцій.
1. Область визначення - уся числова пряма, тобто
2. Область значень - відрізок тобто
Графік функції називається синусоїдою, він показаний на рис. 2.2.1.
4. Функція неперервна, періодична з основним періодом .
8. Екстремуми функції (мінімуми та максимуму значень функції):
10. На рис. 2.2.2 наведені приклади зміни графіків функції у порівнянні з функцією при введенні коефіцієнтів а, k.
Рис. 2.2.2. Порівняння графіків функцій , та
1. Область визначення - уся числова пряма, тобто
3. Функція - парна, оскільки графік симетричний щодо осі ю
4. Функція неперервна, періодична з основним періодом .
Графік функції називається косинусоїдою, він показаний на рис. 2.2.3.
Рис. 2.2.3 Графік функції (графік а)) та порівняння графіків функцій і (графік б))
8. Екстремуми функції (максимуми та мінімуми значень):
1. Область визначення-множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду
2. Область значень-вся числова пряма, тобто
3. Функція - непарна, оскільки графік симетричний відносно початку координат.
4. Функція перервна, періодична з основним періодом . Розриви функції (точки невизначеності) - ;
7. Інтервали зростання й спадання функціязростає на проміжках
8. Функція екстремумів (максимумів та мінімумів) не має
Графік функції називається тангенсоїдою, він показаний на рис. 2.2.4а.
Рис. 2.2.4. Графік функції (графік а)) та порівння графіків функцій і (графік б))
Прямі називаються вертикальними асимптотами графіка функції
1. Область визначення-множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду тобто
2. Область значень-вся числова пряма, тобто
3. Функція - непарна, оскільки графік симетричний відносно початку координат.
4. Функція перервна, періодична з основним періодом . Розриви функції (точки невизначеності) -
7. Інтервали зростання й спадання функціязростає на проміжках
8. Функція екстремумів (максимумів та мінімумів) не має
Графік функції називається котангенсоїдою, він показаний на рис. 2.2.5.
Прямі називають вертикальними асимптотами графіка функції
Функції, обернені функціям на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометричними. Вони позначаються
Тригонометричні функції не є монотонними у всій області їх визначення. Тому для утворення обернених функцій виділяють інтервали монотонності.
Функція на відрізку зростає і набуває всіх значень з відрізка . Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арксинусом і позначається .
Таким чином, арксинусом числа називається число з відрізка таке, що його синус дорівнює . Математично це можна записати так: Графік функції зображено на рис. 2.2.6.
Геометрично означає величину кута (дуги), узятого у проміжку , синус якого дорівнює .
Цей графік симетричний графіку функції , відносно прямої
Визначимо основні властивості функції
Функція на відрізку спадає і набуває всіх значень з відрізка . Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккосинусом і позначається Таким чином, арккосинусом числа називається число з відрізка таке, що його синус дорівнює . Математично це можно записати так:
Геометрично означає величину кута (дуги), узятого у проміжку , косинус якого дорівнює .
(помилково записувати оскільки і ).
Графік функції зображено на рис. 2.2.7.
Цей графік симетричний графіку функції , відносно прямої Визначимо основні властивості функції
3.тобто функція - є функцією загального виду
Функція на інтервалізростає і набуває всіх числових значень, оскільки Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арктангенсом і позначається . Таким чином, арктангенсом числа називається число з відрізка таке, що його тангенс дорівнює . Математично це можна записати так:
Геометрично означає величину кута (дуги), узятого у в інтервалі , тангенс якого дорівнює .
Графік функції зображено на рис. 2.2.8. Цей графік симетричний графіку функції , відносно прямої Прямі є горизонтальними асимптотами графіка функції .
Графік функції зображено на рис. 2.2.9. Цей графік симетричний графіку функції , відносно прямої Прямі є горизонтальними асимптотами графіка функції .
3 . напрямки удосконалення наочності та сприйняття основних властивостей функцій в шкільній програмі курс у алгебри
3.1 Основні можливості наочності викладання теорії функцій в курсі алгебри з використанням програмного комплексу Microsoft Mathematics 4.0
У 2012 році в Україні стартував національний проект «Відкритий світ» [33]. Суть цього проекту зводиться до апробації використання високоякісних мультимедійних засобів у навчальному процесі, використання електронних ресурсів у навчанні учнів загальноосвітніх шкіл. Проект опирається на створення інформаційної інфраструктури на основі безпровідної мережі 4-го покоління, стандартизації та уніфікації методики навчання та створення централізованої системи навчання та оцінки знань учнів, и в
Формування поняття функції в курсі середньої школи дипломная работа. Педагогика.
Реферат: A Critique Of A Jazz Concert Essay
Дорога Безопасности Реферат
Реферат На Тему Синдром Шерешевского Тернера
Реферат по теме Стенокардия напряжения II функциональный класс. Артериальная гипертензия, II стадия 3 степень, группа очень высокого риска
Реферат по теме Кабардины и балкары в современном мире
Лабораторная Работа Установление Зависимости
Образ Владимира Дубровского Внешность 6 Класс Сочинение
Курсовая Работа Проект Жилого Дома
Реферат: Ситуации уголовно-процессуальной и криминалистической деятельности
Лабораторная Работа Действие Ферментов
Сочинение Миниатюра По Пьесе Толстого Живой Труп
Курсовая работа по теме Развитие страхового рынка Украины и Крыма
Эксперт В Высшем Образовании Курсовая
Доклад по теме Устройство современных модемов
Патология Нервной Системы Реферат
Курсовая работа по теме Общая характеристика уголовной ответственности
Реферат по теме Правила поведения в очаге ядерного поражения
Курсовая работа по теме Современные тенденции на профессиональных рынках труда Пермского края
Каждый Ли Ищет Смысл Жизни Сочинение
Дневник Производственной Практики Манипуляции
Товароведная оценка порционных блюд и мелкокусковых полуфабрикатов - Кулинария и продукты питания курсовая работа
Сохранение традиционной народной культуры в деревне Ваймуша Пинежского района Архангельской области - Краеведение и этнография курсовая работа
Регулювання права власності на товари та послуги - Государство и право курсовая работа