Формула Тейлора С Остаточным Членом В Форме Лагранжа
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Формула Тейлора С Остаточным Членом В Форме Лагранжа
Заглавная
Все страницы
Сообщество
Интерактивные карты
Блоги участников
!/doc
!!/doc
Col-2/doc
Col-begin/doc
Col-end/doc
White/doc
Инфобокс/doc
Заглавная
Все страницы
Сообщество
Интерактивные карты
Блоги участников
!/doc
!!/doc
Col-2/doc
Col-begin/doc
Col-end/doc
White/doc
Инфобокс/doc
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или Лагранжа.
Править код
История
Обсуждение (0)
Категории :
ГКЭ по математике
Добавить категорию
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.
Наши ресурсы
Fandom
Cortex RPG
Muthead
Futhead
Fanatical
В социальных сетях
Обзор
Что такое Фэндом?
О нас
Вакансии
В прессе
Обратная связь
Условия использования
Конфиденциальность
Общая карта сайта
Локальная карта сайта
Сообщество
Вики Сообщества
Поддержка
Справка
Запретить продажу данных
Реклама на сайте
Медиа-кит
Fandomatic
Приложения Фэндома
Оставайтесь в курсе всего происходящего на ваших любимых сообществах.
Morfey13 вики — это сообщество Фэндома на портале Увлечения.
Пусть . Тогда в некоторой окрестности можно написать равенство
которое называется формулой Тейлора функции в точке ,
где называется многочленом Тейлора ,
а - остаточным членом Тейлора (после n-го члена).
то согласно определению сходимости ряда (1) сходится к функции в точке .
Пусть , непрерывна на отрезке , на интервале . Тогда справедлива формула (1), в которой
Доказательство: будем проводить по индукции, считая . При теорема утверждает, что при некотором
Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.
Предположим, что утверждение верно при и установим, что оно верно и при n. Использую теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности )
где ,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.
О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.90.
Пусть и . Тогда справедлива формула (1), в которой при .
Доказательство: будем проводить по индукции:
При утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае дифференцируема в точке . Следовательно,
Предположим, что утверждение теоремы верно при и покажем, что это верно и для n.
Использую теорему Лагранжа о конечных приращениях и лемму, имеем (считая для
По предположению индукции при . Следовательно,
О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.89.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
Примеры разложения функций по формулам Тейлора и Маклорена.
Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
© UniverLib 2022. Все прва защищены.
Даем определения производной и дифференциала. Разбираем правила дифференцирования и выводим формулы производных для основных функций. Рассказываем о формуле Тейлора и правиле Лопиталя.
Пусть функции f ( x ) и ψ ( x ) определены в δ -окрестности точки x 0 и удовлетворяют следующим условиям:
Равенство (5) доказано для случая, когда x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) . Аналогично рассматривается случай, когда x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) . ∙
Пусть существует δ > 0 такое, что функция f ( x ) имеет в δ -окрестности точки x 0 производные до ( n + 1 ) -го порядка включительно.
Функцию r n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа . Формула (8) справедлива и при x = x 0 .
Если функции φ и ψ дифференцируемы n раз при x ≥ x 0 и удовлетворяют условиям φ ( k ) ( x 0 ) = ψ ( k ) ( x 0 ) , k = ¯ 0 , n − 1 , φ ( n ) ( x ) > ψ ( n ) ( x ) при x > x 0 , то φ ( x ) > ψ ( x ) при x > x 0 .
Пусть x → x 0 , тогда из неравенств (15) следует, что ξ → x 0 , и в силу существования f ( n ) ( x 0 ) существует lim x → x 0 r ( n − 1 ) n ( x ) − r ( n − 1 ) n ( x 0 ) x − x 0 = lim x → x 0 r ( n − 1 ) n ( ξ ) − r ( n − 1 ) n ( x 0 ) ξ − x 0 = r ( n ) n ( x 0 ) = 0 , так как выполняются равенства (10) . Таким образом, правая часть формулы (14) имеет при x → x 0 предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, также равный нулю. Это означает, что r n ( x ) = о ( ( x − x 0 ) n ) , x → x 0 , или f ( x ) − P n ( x ) = о ( ( x − x 0 ) n ) , откуда следует равенство (13) . ∙
Формулу (13) часто называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора .
Разложить функцию f ( x ) по формуле Тейлора в окрестности точки x 0 до o ( ( x − x 0 ) n ) — значит представить ее в виде (13) .
Теорема 3 означает, что представление в виде (16) функции, имеющей в точке x 0 производную n -го порядка, единственно: коэффициенты разложения (16) выражаются по формулам (17) .
Разложить функцию 1 1 − x по формуле Тейлора в окрестности точки x 0 = 0 до o ( x n ) .
Пусть, функция f ( x ) бесконечно дифференцируема на интервале ( − l , l ) . Если эта функция является четной, то ее производная — нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция (мы уже разбирали этот пример ). Отсюда следует, что для нечетной функции f выполняются условия f ( 2 k ) ( 0 ) = 0 , k ∈ N , а для четной функции f — условия f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) = 0 , k ∈ N , так как любая непрерывная нечетная функция принимает при x = 0 значение нуль.
Так как sh x = e x − e − x 2 , ch x = e x + e − x 2 , то формулы (25) и (26) можно получить, используя равенство (24) и равенство e − x = n ∑ k = 0 ( − 1 ) k x k k ! + о ( x n ) , x → 0 .
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки x 0 = 0 до о ( x n ) функцию f ( x ) , если:
Разложить по формуле Маклорена до о ( x 2 n + 1 ) функции:
Разложить по формуле Маклорена до о ( x 6 ) функции:
Прием, использованный для нахождения разложений (44) и (45) , называют методом неопределенных коэффициентов .
Разложение функции f ( x ) по формуле Тейлора (16) заменой x − x 0 = t обычно сводится к разложению функции g ( t ) = f ( x 0 + t ) по формуле Маклорена (21) .
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки x 0 = − 2 до o ( ( x + 2 ) n ) функцию f ( x ) = 1 x 2 + 5 x .
Рассмотрим предел при x → 0 отношения f ( x ) g ( x ) , где f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 , то есть предел типа 0 0 .
Если m = n , то lim x → 0 f ( x ) g ( x ) = a b . Если n > m , то lim x → 0 f ( x ) g ( x ) = 0 ; если же n < m , то lim x → 0 f ( x ) g ( x ) = ∞ .
Найти lim x → 0 tg x − x 1 + x 2 sin x − sh x .
Следовательно, искомый предел равен − 4 . ▴
Найти lim x → 0 e ( 1 + x ) − 1 / x − 1 x .
Найти lim x → 0 ( e tg x + ln ( 1 − x ) ) 1 / ( arcsin sh x − x ) .
При вычислении предела с помощью формулы Тейлора в конечной точке x 0 ≠ 0 можем положить t = x − x 0 и свести задачу к вычислению предела при t = 0 .
Неопределенности видов ∞ ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ обычно приводят к пределу типа 0 0 .
Найти lim x → + ∞ x ( √ x 2 + 2 x − 2 √ x 2 + x + x ) .
Договоримся обозначать дифференциал функции переменных в точке М пространства символом
Теорема 12.15. Пусть — целое число , функция задана в некоторой -окрестности точки раз дифференцируема в указанной окрестности. Тогда полное приращение этой функции, в точке М может быть представлено в следующей форме
при этом — некоторая точка указанной окрестности зависящая, вообще говоря, от а дифференциалы переменных входящие в выражения равны Формула (12.50) называется формулой Тейлора для функции с центром разложения в а последний член формулы (12.50) называется остаточным членом, записанным в форме Лагранжа.
Доказательство. Для сокращения записи проведем рассуждения для функции двух переменных х и у. Предварительно запишем в специальной форме формулу Тейлора для раз дифференцируемой в некоторой окрестности точки -функции одной переменной Напомним, что формула
Тейлора с центром разложения в для функции одной переменной имеет следующий вид:
Так как аргумент t является независимой переменной, то приращение представляет собой дифференциал независимой переменной Поэтому
Если мы обозначим разность через то согласно (12.52) формулу Тейлора (12.51) можно записать в следующей специальной форме:
Рассмотрим теперь в -окрестности точки произвольную точку и соединим точки а М прямой линией . Очевидно, координаты х и у точек указанной прямой представляют собой следующие линейные функции новой переменной
при этом координаты точек отрезка соответствуют значениям переменной t из сегмента [0, 1]. Отметим, что значению отвечает точка а значению — точка М. Так как по условию функция двух переменных раз дифференцируема в рассматриваемой окрестности точки то из формул (12.54) вытекает, что на прямой эта функция является сложной функцией переменной t из сегмента [0, 1]. Обозначим эту сложную функцию через и запишем для нее формулу Тейлора с центром разложения в точке в специальной форме
Фигурирующие в формуле (12.53) дифференциалы различных порядков представляют собой дифференциалы сложной функции где х и у являются линейными функциями (12.54). Согласно замечанию 2 предыдущего пункта при этих условиях дифференциалы любого порядка функции могут быть записаны в форме (12.47). Поэтому
причем в формулах находятся из соотношений: (12.54) при Таким образом, в формулах (12.55)
Подставляя из (12.55) в формулу (12.53) и учитывая соотношения (12.56), мы получим формулу Тейлорал (12.50).
Приведем развернутое выражение формулы Тейлора (12.50) для функции
Следствие. Если функция удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 12.15, и, сверх того, все частные производные этой функции порядка непрерывны в рассматриваемой -окрестности точки то остаточный член т. е. последний член в формулах (12.50) и (12.57), может быть записан в виде
Такую форму остаточного члена естественно назвать интегральной. Для получения формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме следует записать в интегральной форме остаточный член в формуле Тейлора для функции одной переменной рассмотренной при доказательстве теоремы 12.15, т. е. воспользоваться результатами § 4 гл. 9. В рассматриваемом
случае указанный остаточный член имеет вид
Это и приводит нас к написанному выше выражению остаточно го члена для функции
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
Конев В.В. Дифференцирование функций
Порно: парень мешал читать молодой блонде за что расплатился трахом
Порно видео: Умелая азиатка славно скачет киской на члене негра
Ужасные Сиськи