Формула Члена Фибоначчи

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Формула Члена Фибоначчи
Материал из Википедии — свободной энциклопедии


↑ John Hudson Tiner. Изучение мира математики: от древних записей до новейших достижений в области компьютеров (рус.) . — New Leaf Publishing Group, 200. — ISBN 978-1-61458-155-0 .

↑ См., например, Т. В. Кропотова, В. Г. Подольский, П. Е. Кашаргин. Введение в высшую математику. — Казанский федеральный университет институт физики.

↑ Lucas, 1891 , p. 3.

↑ Числа Фибоначчи // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

↑ Beck & Geoghegan (2010) .

↑ Bóna, 2011 , p. 180.

↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, с. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 > 

↑ Перейти обратно: 1 2 Singh, Parmanand (1985), The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India , Historia Mathematica Т. 12 (3): 229—244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7 

↑ Перейти обратно: 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , vol. 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, с. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms > 

↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , vol. 1, Addison Wesley, с. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 > 

↑ Livio, 2003 , p. 197.

↑ Pisano, 2002 , pp. 404—405.

↑ Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation) (неопр.) . The University of Utah (13 декабря 2009). Дата обращения: 28 ноября 2018.

↑ Hemenway, Priya. Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science (англ.) . — New York: Sterling, 2005. — P. 20 —21. — ISBN 1-4027-3522-7 .

↑ Knott, Dr. Ron The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature - 1 (неопр.) . University of Surrey (25 сентября 2016). Дата обращения: 27 ноября 2018.

↑ Knott, Ron Fibonacci's Rabbits (неопр.) . University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences.

↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, с. 153, ISBN 978-0-88385-506-5 

↑ Art of Problem Solving (неопр.) . artofproblemsolving.com . Дата обращения: 9 мая 2021.

↑ Фибоначчи числа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А. П.. — 2-е изд. — М. : Педагогика , 1989. — С. 312—314. — 352 с. — ISBN 5715502187 .

↑ Перейти обратно: 1 2 3 4 5 Теорема изложена в данном файле (неопр.) .

↑ Пункт 23 (неопр.) .

↑ Пункт 24 (неопр.) .

↑ Следствие из пункта 36 (неопр.) .

↑ Пункт 30 (неопр.) .

↑ 64 (неопр.) .

↑ Пункт 55 (неопр.) .

↑ proof of Cassini’s identity (неопр.) . planetmath.org . Дата обращения: 30 мая 2021.

↑ Тождество Кассини (неопр.) .

↑ J H E Cohn . Square Fibonacci Numbers Etc , С. 109—113. Архивировано 11 июля 2010 года. Дата обращения 1 июля 2010.

↑ P. Ribenboim. The New Book of Prime Number Records . — Springer, 1996. — С. 193.

↑ Ira Gessel. Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10 . — С. 417—419 .

↑ В. Серпинский . Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел . — М. : Просвещение, 1968. — 168 с.

↑ Hutchison, Luke. Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships (англ.) // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) : journal. — 2004. — September.

↑ Fibonacci Flim-Flam . Архивная копия от 23 апреля 2012 на Wayback Machine (англ.) .

↑ The Myth That Will Not Go Away (англ.) .

↑ Золотое сечение в природе .

↑ Числа Фибоначчи .

↑ Числа Фибоначчи .

↑ Акимов О. Е. Конец науки .

↑ Волошинов А. В. Математика и искусство. Москва: Просвещение, 2000. 400 с. ISBN 5-09-008033-X

↑ Математика в стихах и музыке

↑ Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. СПБ. Издательство: Питер, 2006. 320 с. ISBN 5-469-01369-3


Чи́сла Фибона́ччи (вариант написания — Фибона́чи [2] ) — элементы числовой последовательности

в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел [3] . Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи ) [4] .

Правда, в некоторых книгах, особенно в старых [ каких? ] , член




F

0




{\displaystyle F_{0}}

, равный нулю, опускается — тогда последовательность Фибоначчи начинается с




F

1


=

F

2


=
1


{\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}

[5] [6] .

Говоря более формально, последовательность чисел Фибоначчи



{

F

n


}


{\displaystyle \{F_{n}\}}

задаётся линейным рекуррентным соотношением :

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений



n


{\displaystyle n}

как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Соответственно, члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»:




F

n


=

F

n
+
2


−

F

n
+
1




{\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}

:

Легко заметить, что




F

−
n


=
(
−
1

)

n
+
1



F

n




{\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}

.

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии [7] [8] [9] , где она применялась в метрических науках ( просодии , другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе [8] [10] [11] .

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1 , либо L к образцу длиной n − 2 — и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности [9] . Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге « Искусство программирования ».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи , в его труде « Книга абака » (1202) [12] [13] . Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, где условия таковы: изначально дана новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и производить новую пару кроликов, причём уже каждый месяц; кролики никогда не умирают [14] [15] , — а в качестве искомого выдвигает количество пар кроликов через год.

В конце



n


{\displaystyle n}

-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количеству новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад, то есть




F

n


=

F

n
−
2


+

F

n
−
1




{\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}}

[16] .
Возможно, эта задача также оказалась первой, моделирующей экспоненциальный рост популяции .

Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люка [17] .

Формула Бине выражает в явном виде значение




F

n




{\displaystyle F_{n}}

как функцию от n :

где



φ
=



1
+


5



2




{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

 — золотое сечение и



φ


{\displaystyle \varphi }

и



(
−
φ

)

−
1


=
1
−
φ


{\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi }

являются корнями характеристического уравнения




x

2


−
x
−
1
=
0.


{\displaystyle x^{2}-x-1=0.}


Вообще, аналогичная формула существует для любой линейной рекуррентной последовательности , какой служит и последовательность Фибоначчи.

Преобразуем характеристическое уравнение




x

2


−
x
−
1
=
0


{\displaystyle x^{2}-x-1=0}

к виду




x

2


=
x
+
1
,


{\displaystyle x^{2}=x+1,}

умножим обе части на



x


{\displaystyle x}

:




x

3


=

x

2


+
x


{\displaystyle x^{3}=x^{2}+x}

— и заменим в этой сумме




x

2




{\displaystyle x^{2}}

на



x
+
1


{\displaystyle x+1}

, что мы можем сделать в силу характеристического уравнения. Получим




x

3


=

x

2


+
x
=
(
x
+
1
)
+
x
=
2
x
+
1.


{\displaystyle x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.}

Затем продолжим так же умножать на



x


{\displaystyle x}

и преобразовывать




x

2




{\displaystyle x^{2}}

, следуя первоначальному уравнению:










x

4





=
2

x

2


+
x
=
2
(
x
+
1
)
+
x
=






=
3
x
+
2
,





x

5





=
3

x

2


+
2
x
=
3
(
x
+
1
)
+
2
x
=






=
5
x
+
3
,





x

6





=
5

x

2


+
3
x
=
5
(
x
+
1
)
+
3
x
=






=
8
x
+
5
,





x

7





=
8

x

2


+
5
x
=
8
(
x
+
1
)
+
5
x
=






=
13
x
+
8
,






⋯






{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&=3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x=\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end{aligned}}}



Таким образом образуется общее уравнение:




x

n


=

F

n


x
+

F

n
−
1


.


{\displaystyle x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.}

Чтобы это уравнение обратить в верное равенство и отсюда выразить сами числа Фибоначчи, нужно подставить корни



φ


{\displaystyle \varphi }

и



−

φ

−
1


:


{\displaystyle -\varphi ^{-1}\colon }









{




φ

n


=

F

n


φ
+

F

n
−
1


,




(
−
φ

)

−
n


=
−

F

n



φ

−
1


+

F

n
−
1


,








{\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}}








φ

n


−
(
−
φ

)

−
n


=

F

n


[
φ
−
(
−
φ

)

−
1


]
,


φ

n


+
(
−
φ

)

−
n


⋅

φ

2


=

Рисованые Мультики Секс
Муж ставит сучку раком и показывает домашний анал крупным планом
Нежно трахает сладкую блонду