Фибоначи Общий Член Вывод Формулы

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Фибоначи Общий Член Вывод Формулы

Подождите немного. Если воспроизведение так и не начнется, перезагрузите устройство.
Ролики, которые вы посмотрите, могут быть добавлены в историю просмотра на телевизоре, что скажется на рекомендациях. Чтобы этого избежать, выберите "Отмена" и войдите в аккаунт на компьютере.
0:02 / 9:58 • Посмотреть видео целиком В эфире
Прокрутите экран вниз, чтобы посмотреть подробную информацию

   Другими словами , последовательность Фибоначчи - это такая последовательность, у которой первые два члена равны 1 , а каждый член , начиная с третьего члена, равен сумме двух предыдущих членов . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 являются первыми десятью членами последовательности Фибоначчи .   Замечание . Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника .   Нашей целью является вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи . Чтобы получить эту формулу, будем действовать в соответствии со схемой, изложенной в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена» . Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид где c 1 и c 2 – произвольные действительные числа . Найдем теперь значения произвольных постоянных c 1 и c 2 так, чтобы для последовательности выполнялись начальные условия (2) . Это означает, что числа c 1 и c 2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:   Для того, чтобы решить последнюю систему, вычтем первое уравнение из второго уравнения, оставив первое уравнение без изменений: Посмотреть, как получено это решение можно, включив эту страницу на стационарном компьютере или планшете . Подставляя найденные значения произвольных постоянных c 1 и c 2 в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности Фибоначчи : входящее в формулу общего члена последовательности Фибоначчи, является золотым отношением . x n = x n – 1 + x n – 2 ,   n > 2 Материал из Википедии — свободной энциклопедии ↑ John Hudson Tiner . Изучение мира математики: от древних записей до новейших достижений в области компьютеров (рус .) . — New Leaf Publishing Group, 200 . — ISBN 978-1-61458-155-0 . ↑ См ., например, Т . В . Кропотова, В . Г . Подольский, П . Е . Кашаргин . Введение в высшую математику . — Казанский федеральный университет институт физики . ↑ Lucas, 1891 , p . 3 . ↑ Числа Фибоначчи // Большая советская энциклопедия : [в 30 т .] / гл . ред . А . М . Прохоров . — 3-е изд . — М . : Советская энциклопедия, 1969—1978 . ↑ Beck & Geoghegan (2010) . ↑ Bóna, 2011 , p . 180 . ↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, с . 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < books .google .com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 > ↑ Перейти обратно: 1 2 Singh, Parmanand (1985), The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India , Historia Mathematica Т . 12 (3): 229—244 , DOI 10 .1016/0315-0860(85)90021-7 ↑ Перейти обратно: 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , vol . 4 . Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison–Wesley, с . 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < books .google .com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms > ↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , vol . 1, Addison Wesley, с . 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < books .google .com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 > ↑ Livio, 2003 , p . 197 . ↑ Pisano, 2002 , pp . 404—405 . ↑ Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation) (неопр .) . The University of Utah (13 декабря 2009) . Дата обращения: 28 ноября 2018 . ↑ Hemenway, Priya . Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science (англ .) . — New York: Sterling, 2005 . — P . 20—21 . — ISBN 1-4027-3522-7 . ↑ Knott, Dr . Ron The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature - 1 (неопр .) . University of Surrey (25 сентября 2016) . Дата обращения: 27 ноября 2018 . ↑ Knott, Ron Fibonacci's Rabbits (неопр .) . University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences . ↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, с . 153, ISBN 978-0-88385-506-5 ↑ Art of Problem Solving (неопр .) . artofproblemsolving .com . Дата обращения: 9 мая 2021 . ↑ Фибоначчи числа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост . Савин А . П . . — 2-е изд . — М . : Педагогика , 1989 . — С . 312—314 . — 352 с . — ISBN 5715502187 . ↑ Перейти обратно: 1 2 3 4 5 Теорема изложена в данном файле (неопр .) . ↑ Пункт 23 (неопр .) . ↑ Пункт 24 (неопр .) . ↑ Следствие из пункта 36 (неопр .) . ↑ Пункт 30 (неопр .) . ↑ 64 (неопр .) . ↑ Пункт 55 (неопр .) . ↑ proof of Cassini’s identity (неопр .) . planetmath .org . Дата обращения: 30 мая 2021 . ↑ Тождество Кассини (неопр .) . ↑ J H E Cohn . Square Fibonacci Numbers Etc , С . 109—113 . Архивировано 11 июля 2010 года . ↑ P . Ribenboim . The New Book of Prime Number Records . — Springer, 1996 . — С . 193 . ↑ Ira Gessel . Problem H-187 // Fibonacci Quarterly . — 1972 . — Т . 10 . — С . 417—419 . ↑ В . Серпинский . Задача 66 // 250 задач по элементарной теории чисел . — М . : Просвещение, 1968 . — 168 с . ↑ Hutchison, Luke . Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships (англ .) // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) : journal . — 2004 . — September . ↑ Fibonacci Flim-Flam . Архивная копия от 23 апреля 2012 на Wayback Machine (англ .) . ↑ The Myth That Will Not Go Away (англ .) . ↑ Золотое сечение в природе . ↑ Числа Фибоначчи . ↑ Числа Фибоначчи . ↑ Акимов О . Е . Конец науки . ↑ Волошинов А . В . Математика и искусство . Москва: Просвещение, 2000 . 400 с . ISBN 5-09-008033-X ↑ Математика в стихах и музыке ↑ Стахов А ., Слученкова А ., Щербаков И . Код да Винчи и ряды Фибоначчи . СПБ . Издательство: Питер, 2006 . 320 с . ISBN 5-469-01369-3 Чи́сла Фибона́ччи (вариант написания — Фибона́чи [2] ) — элементы числовой последовательности в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел [3] . Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи ) [4] . Правда, в некоторых книгах, особенно в старых [ каких? ] , член F 0 {\displaystyle F_{0}} , равный нулю, опускается — тогда последовательность Фибоначчи начинается с F 1 = F 2 = 1 {\displaystyle F_{1}=F_{2}=1} [5] [6] . Говоря более формально, последовательность чисел Фибоначчи { F n } {\displaystyle \{F_{n}\}} задаётся линейным рекуррентным соотношением : Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений n {\displaystyle n} как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению . Соответственно, члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F n = F n + 2 − F n + 1 {\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}} : Легко заметить, что F − n = ( − 1 ) n + 1 F n {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}} . Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии [7] [8] [9] , где она применялась в метрических науках ( просодии , другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе [8] [10] [11] . Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1 , либо L к образцу длиной n − 2 — и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности [9] . Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге « Искусство программирования » . На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи , в его труде « Книга абака » (1202) [12] [13] . Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, где условия таковы: изначально дана новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и производить новую пару кроликов, причём уже каждый месяц; кролики никогда не умирают [14] [15] , — а в качестве искомого выдвигает количество пар кроликов через год . В конце n {\displaystyle n} -го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количеству новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад, то есть F n = F n − 2 + F n − 1 {\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}} [16] . Возможно, эта задача также оказалась первой, моделирующей экспоненциальный рост популяции . Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люка [17] . Формула Бине выражает в явном виде значение F n {\displaystyle F_{n}} как функцию от n : где φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} — золотое сечение и φ {\displaystyle \varphi } и ( − φ ) − 1 = 1 − φ {\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi } являются корнями характеристического уравнения x 2 − x − 1 = 0 . {\displaystyle x^{2}-x-1=0 .} Вообще, аналогичная формула существует для любой линейной рекуррентной последовательности , какой служит и последовательность Фибоначчи . Преобразуем характеристическое уравнение x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-1=0} к виду x 2 = x + 1 , {\displaystyle x^{2}=x+1,} умножим обе части на x : x 3 = x 2 + x {\displaystyle x^{3}=x^{2}+x} — и перепишем x 2 через вышенаписанное характеристическое уравнение: x 3 = ( x + 1 ) + x . {\displaystyle x^{3}=(x+1)+x .} Затем продолжим так же умножать на x и преобразовывать x 2 , следуя первоначальному уравнению: x 4 = 2 x 2 + x = 2 ( x + 1 ) + x = = 3 x + 2 , x 5 = 3 x 2 + 2 x = 3 ( x + 1 ) + 2 x = = 5 x + 3 , x 6 = 5 x 2 + 3 x = 5 ( x + 1 ) + 3 x = = 8 x + 5 , x 7 = 8 x 2 + 5 x = 8 ( x + 1 ) + 5 x = = 13 x + 8 , ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&=3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x=\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end{aligned}}} Таким образом образуется общее уравнение: x n = F n x + F n − 1 . {\displaystyle x^{n}=F_{n}x+F_{n-1} .} Чтобы это уравнение обратить в верное равенство и отсюда выразить сами числа Фибоначчи, нужно подставить корни φ {\displaystyle \varphi } и − φ − 1 : {\displaystyle -\varphi ^{-1}\colon } { φ n = F n φ + F n − 1 , ( − φ ) − n = − F n φ − 1 + F n − 1 , {\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}} φ n − ( − φ ) − n = F n [ φ − ( − φ ) − 1 ] , φ n + ( − φ ) − n ⋅ φ 2 = F n − 1 ( 1 + φ 2 ) , {\displaystyle \varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),} 1 5 ( ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ) = F n , 1 5 ( ( 1 + 5 2 ) n − 1 − ( 1 − 5 2 ) n − 1 ) = F n − 1 . {\displaystyle \color {Black}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}\right)=F_{n-1} .} Из формулы Бине следует, что для всех n ⩾ 0 {\displaystyle n\geqslant 0} число F n {\displaystyle F_{n}} есть округление φ n 5 , {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},} то есть F n = ⌊ φ n 5 ⌉ . {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .} В частности, при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } справедлива асимптотика F n ∼ φ n 5 . {\displaystyle F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}} .} Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом: При этом соотношение F z + 2 = F z + 1 + F z {\displaystyle F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}} выполняется для любого комплексного числа z . База индукции: n = 0 : {\displaystyle n=0\colon } F 0 = F 2 − 1 = 0 . {\displaystyle F_{0}=F_{2}-1=0 .} Шаг индукции: пусть утверждение для n {\displaystyle n} верно: F 1 + F 2 + F 3 + . . . + F n = F n + 2 − 1 . {\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+ . . .+F_{n}=F_{n+2}-1 .} Тогда надо доказать утверждение для n + 1 : {\displaystyle n+1\colon } F 1 + F 2 + F 3 + . . . + F n + F n + 1 = F n + 3 − 1 . {\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+ . . .+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1 .} База индукции: n = 1 : {\displaystyle n=1\colon } F 1 = F 2 = 1 . {\displaystyle F_{1}=F_{2}=1 .} Шаг индукции: Пусть утверждение для n {\displaystyle n} верно: F 1 + F 3 + F 5 + ⋯ + F 2 n − 1 = F 2 n . {\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n} .} Тогда надо доказать утверждение для n + 1 : {\displaystyle n+1\colon } F 1 + Фибоначи Общий Член Вывод Формулы Сперма Кончилась Московское Порно Порно Сценарии


Опубликовать работу
Личный кабинет




Фоминок Светлана Сергеевна

Шабанова Татьяна Ивановна , учитель математики и информатики




Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»
Свидетельство о регистрации средства массовой информации ЭЛ №ФС77-69741 от 5 мая 2017 г.


















Почтовый и фактический адрес:
ул. Платовская, 4 ,
Москва ,
Россия ,
121151 ,
ИД «Первое сентября», Оргкомитет фестиваля «Открытый урок»











Обратная связь
urok@1sept.ru
+7 (495) 637-82-73 доб. 6


Образовательные : организация
исследовательской работы учащихся с различными
источниками информации, развитие умений
анализировать и передавать информацию,
присваивать ее, увязывая новое (на стадии
осмысления) с уже имеющимися знаниями,
представлениями; интерпретировать, применять
информацию на стадии рефлексии.
Воспитательные : развитие
коммуникативных способностей (умение вести
диалог, дискутировать на уроке, работать в
группах); усвоение этических норм межличностного
общения; воспитание ответственного отношения к
общему делу;
Развивающие : формирование навыков
самостоятельной учебно-исследовательской
деятельности; формирование умений работать с
дополнительными источниками, в том числе
интернет-источниками; развитие коммуникативных
навыков личности; формирование этических и
эстетических представлений учащихся;
информационно-коммуникационное развитие
старшеклассников.
– познакомить учащихся с
последовательностью чисел Фибоначчи и её
математическими свойствами;
– формировать навыки самостоятельной работы с
большим объемом информации;
– формировать умение видеть проблему и
находить пути ее решения; применять базовые
знания для решения конкретных задач
– превратить работу над исследованием свойств
последовательности Фибоначчи в увлекательный
процесс поиска математических закономерностей в
мире, который нас окружает;
– способствовать выработке нового научного
мировоззрения, основанного на принципах
гармонии “золотого сечения”, открыть новые
грани человеческой культуры, связанные с
“золотым сечением” и числами Фибоначчи;
– научиться представлять результаты труда с
использованием современных информационных
технологий;
– формировать навыки научно-исследовательской
и поисковой работы, в том числе в сети Интернет;
– создать творческую атмосферу,
способствующую развитию познавательной
активности учащихся;
Знания, умения, навыки и качества,
которые актуализируют, приобретут, закрепят
ученики в ходе урока:
– приобретут знания о
последовательности чисел Фибоначчи и её
математических свойствах;
– приобретут знания в области теории
Золотого Сечения и его приложений в различных
сферах современной науки и искусства;
– актуализируют знания в области
информационно-коммуникационных технологий,
интернет-технологий, программирования;
– закрепят социально-коммуникативные
навыки и навыки анализа математических и
информационных исследований;
– научатся устанавливать
междисциплинарные связи;
– приобретут опыт ведения
тематической беседы, защиты своего видения
проблемы;
– разовьют способность к рефлексии,
диагностике и самодиагностике решений.
Необходимое оборудование и материалы :
компьютерный класс, мультимедиа проектор.
Вступительное слово учителя
информатики .
Уважаемые ребята! Леонардо Пизанский
(Leonardo Pisano, Леонардо из Пизы), которого иногда
называют Леонардо Фибоначчи (Fibonacci, Filius Bonaccii, сын
Боначчо) (1180-1240), был величайшим европейским
математиком эпохи, предшествующей Возрождению.
Путешествуя по Востоку, он познакомился с
достижениям
Красивые Порно Молоденькие Девочки
Отрезает Член
Замечательная Marry Morgan ласкает язычком грудь подружки