Евдокс Реферат Қазақша
Евдокс Реферат Қазақша
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В Википедии есть статьи о других людях с именем Евдокс .
Основная статья: Метод исчерпывания
↑ Boyer Carl B. A History of Mathematics. — 2nd edition. — John Wiley & Sons< Inc., 1991. — P. 92. — 736 p. — ISBN 978-0471543978 .
↑ Рожанский И. Д. Античная наука. — М. : Наука, 1980. — С. 97. — 198 с. — (История науки и техники).
↑ История математики, том I, 1970 , с. 95—96.
↑ Диоген Лаэртский, 1979 .
↑ Перейти обратно: 1 2 3 Башмакова И. Г., 1958 , с. 306-308.
↑ Рожанский И. Д. Античная наука. — М. : Наука, 1980. — С. 104. — 198 с. — (История науки и техники).
↑ James Oliver Thomson. History of ancient geography. Biblo & Tannen Publishers, Cambridge: Cambridge University Press, 1948, ISBN 0-8196-0143-8 , p. 116.
↑ Andrew Gregory. Eudoxus, Callippus and the Astronomy of the Timaeus Архивная копия от 30 декабря 2013 на Wayback Machine , p. 23: «We do not know what value for the inclination of the ecliptic was used by Eudoxus and Callippus, though 24°, 1/15 of a circle, is commonly supposed».
↑ Ван дер Варден, 1959 , с. 188.
↑ Перейти обратно: 1 2 3 История математики, том I, 1970 , с. 96—101.
↑ Именно так определяли общее понятие числа Ньютон и другие математики Нового времени.
↑ Башмакова И. Г., 1958 , с. 309—323.
↑ Бурбаки, 1963 , с. 148.
↑ Euclid, 1948 , Том V.
↑ Топика Аристотеля
↑ Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum.» Annals of mathematics (1945): 242—264.
↑ Перейти обратно: 1 2 История математики, том I, 1970 , с. 97—98, 101.
↑ Перейти обратно: 1 2 3 4 История математики, том I, 1970 , с. 101—105.
↑ Бурбаки, 1963 , с. 168—169.
Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.
Евдо́кс Кни́дский (в части источников: Эвдокс , др.-греч. Εὔδοξος , лат. Eudoxus ; ок. 408 год до н. э. — ок. 355 год до н. э. ) — древнегреческий математик , механик и астроном . Занимался также врачеванием, философией и музыкой ; был известен как оратор и законовед.
Неоднократно упоминается у античных авторов. Сочинения самого Евдокса до нас не дошли, но его математические открытия изложены в « Началах Евклида ». Среди его учеников были Каллипп , Менехм и Динострат .
Научная школа Евдокса сыграла большую роль в развитии античной астрономии и математики . Историки науки относят Евдокса к числу основоположников интегрального исчисления и теоретической астрономии [1] . В частности, Евдокс создал теорию геометрических величин (античный аналог вещественных чисел ), метод исчерпывания (прообраз анализа криволинейных фигур) и первую теоретическую модель движения небесных тел, переработанный вариант которой был позднее изложен в « Альмагесте » Птолемея .
О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде , на юго-западе Малой Азии . Учился медицине у Филистиона в Сицилии , потом математике (у пифагорейца Архита в Италии ), далее присоединился к школе Платона в Афинах [2] . Около года провёл в Египте , изучал астрономию в Гелиополе . Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море , основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии [3] .
Около 368 года до н. э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. Диоген Лаэртский сообщает некоторые подробности: скончался Евдокс на 53-м году жизни, были у него три дочери и сын по имени Аристагор [4] .
Евдокса можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. В Кизике им была построена обсерватория , в которой впервые в Элладе велись систематические наблюдения за небом. Школа Евдокса выпустила первый в Греции звёздный каталог [5] . Гиппарх упоминал названия двух астрономических трудов Евдокса: «Явления» и «Зеркало» [6] .
Евдокс первым решил задачу Платона , предложившего астрономам построить кинематическую модель , в которой видимые движения Солнца, Луны и планет получались бы как результат комбинации равномерных круговых движений. Модель Евдокса состояла из 27 взаимосвязанных сфер, вращающихся вокруг Земли ( теория гомоцентрических сфер ). Согласие этой модели с наблюдениями было для того времени неплохим; исключением было движение Марса, который неравномерно движется по орбите, далёкой от круговой, и её крайне трудно приблизить равномерным вращением сфер.
Теорию Евдокса с математической точки зрения усовершенствовал Каллипп , у которого число сфер возросло до 34. Дальнейшее усовершенствование теории было связано с Аристотелем , который разработал механизм передачи вращения от наружных сфер к внутренним; при этом число сфер возросло до 56. В дальнейшем Гиппарх и Клавдий Птолемей отказались от теории гомоцентрических сфер в пользу теории эпициклов , которая позволяет более точно смоделировать неравномерность видимого движения небесных тел.
Евдокс считал Землю шарообразным телом, ему приписывается одна из первых оценок длины земного меридиана в 400 000 стадиев [7] , или примерно 70 000 км. Евдокс пытался определить сравнительную величину небесных тел. Он знал, что Солнце больше Луны, но ошибочно полагал, что отношение их диаметров равно 9:1 [5] . Ему же приписывают определение угла между эклиптикой и небесным экватором , то есть, с современной точки зрения, наклона земной оси к плоскости земной орбиты, равного 24° [8] . Евдоксу приписывают также изобретение горизонтальных солнечных часов .
Евдокс был знаком с вавилонской астрологией , относился к ней презрительно и чётко отделял от астрономии: « не следует доверять ни в малейшей степени халдеям и их предсказаниям и утверждениям о жизни человека, основанным на дне его рождения » [9] .
Евдокс получил фундаментальные результаты в различных областях математики. Например, при разработке своей астрономической модели он существенно продвинул сферическую геометрию [5] . Однако особенно большое значение имели созданные им две классические теории.
Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами ). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида ( Начала , книга V) [10] .
В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятие геометрической величины , то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона [11] . Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел . Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин [12] . Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее, под влиянием индийских и исламских математических школ [10] .
В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиома Архимеда : «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» [10] . Сам Архимед при изложении этой аксиомы сослался на Евдокса [13] .
Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство [14] :
Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.
В переводе на современный математический язык это означает, что отношения
a
:
b
{\displaystyle a:b}
и
c
:
d
{\displaystyle c:d}
равны, если для любых натуральных
m
,
n
{\displaystyle m,n}
выполняется одно из трёх соотношений:
Фактически описанное свойство означает, что между
a
:
b
{\displaystyle a:b}
и
c
:
d
{\displaystyle c:d}
нельзя вставить рациональное число .
До Евдокса использовалось другое определение, через равенство последовательных вычитаний [15] ; это определение эквивалентно определению Евдокса, но сложнее в использовании. Современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений
a
:
b
{\displaystyle a:b}
и
c
:
d
{\displaystyle c:d}
[16] .
Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность , упорядоченность и т. д.
Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса
a
,
b
{\displaystyle a,b}
; дробь
m
/
n
{\displaystyle m/n}
отнесём к классу
A
{\displaystyle A}
, если
m
a
>
n
b
{\displaystyle ma>nb}
, иначе — к классу
B
{\displaystyle B}
. Тогда классы
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
. Осталось отождествить отношение по Евдоксу
b
:
a
{\displaystyle b:a}
с этим дедекиндовым числом [17] .
Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности , и ниоткуда не следует, что всякое сечение
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
определяет вещественное число [17] .
Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела . Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан , в античные времена у метода не было специального названия. Евклид изложил теорию метода исчерпывания в X книге «Начал» , а в XII книге применил для доказательства нескольких теорем.
Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи [18] .
В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед , например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур [18] [19] .
С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга , объём пирамиды и конуса ) [18] .
Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда , который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий [18] . В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых , а затем — математическим анализом .
Евдокс Книдский — Википедия
Реферат : Евдокс - BestReferat.ru
Евдокс Книдский: о жизни древнегреческого математика
Евдокс Книдский: о жизни древнегреческого математика
Евдокс Книдский — Википедия Переиздание // WIKI 2
Курсовая Работа Пожилые Люди
Региональная Экономика Как Часть Экономики Страны Реферат
Право На Имя Эссе
Готовые Курсовые Работы По Международному Праву
Курсовая На Тему Наследование По Закону