Est-ce qu'elle aura la moyenne

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Est-ce qu'elle aura la moyenne


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1.4 Moyenne comme meilleure approximation

3.2.4 Moyenne arithmético-géométrique

5 Extensions de la notion de moyenne

5.1 Moyenne glissante (ou « mobile »)

5.2 Moyenne tronquée (ou « réduite »)
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Une démonstration de l’inégalité arithmético-géométrique sur deux valeurs
Article détaillé : Moyenne arithmétique .
Article détaillé : Moyenne d'ordre p .
Article détaillé : Inégalité de Muirhead .
Article détaillé : Moyenne mobile .
Article détaillé : Moyenne tronquée .
Article détaillé : Moyenne pondérée .

↑ (fr) Fabrice Mazerolle, « Moyenne Arithmétique » [ archive ] , 2012 (consulté le 13 février 2012 )

↑ Stella Baruk, « Moyenne », Dictionnaire de mathématiques élémentaires , Éditions du Seuil, 1995.

↑ (en) Mowaffaq Hajja, « Some Elementary Aspects of Means » , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences , vol. 2013,‎ 2013 ( lire en ligne [ archive ] )

↑ (en) Frank Deutsch, Best Approximations in Inner Product Spaces , Springer-Verlag, 2001 ( lire en ligne [ archive ] )

↑ (en) Frank Nielsen et Rajendra Bhatia, Matrix Information Geometry , Springer, 2012 ( ISBN 9783642302329 , lire en ligne [ archive ] ) , p. 171 .

↑ (en) David Farnsworth et Richard Orr, « Gini Means » , The American Mathematical Monthly , vol. 93, n o 8,‎ 1986 , p. 603-607 ( DOI 10.1080/00029890.1986.11971898 , lire en ligne [ archive ] )

↑ J.B. Hiriart-Urruty, « Il y a encore du TAF », Losanges ,‎ mars 2021 , p. 41 ( lire en ligne [ archive ] )

↑ (en) Handbook of means and their inequalities , Springer, 1987 .

↑ Revenir plus haut en : a et b (en) Horst Alzer et Stephan Ruscheweyh, « On the intersection of two-parameter mean value families » , Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 129, n o 9,‎ 2001 , p. 2655–2662 ( lire en ligne [ archive ] )

↑ (en) Kenneth B. Stolarsky, « Generalizations of the Logarithmic Mean » , Mathematics Magazine , vol. 48, n o 2,‎ 1975 , p. 87–92 ( DOI 10.1080/0025570X.1975.11976447 )






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En mathématiques , la moyenne est un outil de calcul permettant de résumer une liste de valeurs numériques en un seul nombre réel , indépendamment de l’ordre dans lequel la liste est donnée. Par défaut, il s’agit de la moyenne arithmétique , qui se calcule comme la somme des termes de la liste, divisée par le nombre de termes [ 1 ] . D’autres moyennes peuvent être plus adaptées selon les contextes.

La moyenne est un des premiers indicateurs statistiques pour une série de nombres. Lorsque ces nombres représentent une quantité partagée entre des individus, la moyenne exprime la valeur qu’aurait chacun si le partage était équitable.

La notion de moyenne est historiquement reliée à celle de valeur intermédiaire, appelée aussi médiété [ 2 ] . Étant donné deux nombres a et b , comment choisir une valeur c pour que a soit à c ce que c soit à b ? La réponse diffère selon l’opération choisie pour aller d’un nombre à l’autre.

Par exemple, pour aller de 2 à 18, on peut ajouter deux fois 8, avec une étape en 10, ou multiplier deux fois par 3, avec une étape en 6. Le premier cas décrit une moyenne arithmétique , qui s’obtient par la fraction






2
+
18

2




{\displaystyle {\frac {2+18}{2}}}

. Le second cas est une moyenne géométrique , qui s’obtient avec la racine carrée





2
×
18




{\displaystyle {\sqrt {2\times 18}}}

.

Les identités remarquables usuelles permettent de montrer rapidement que la moyenne géométrique de deux nombres positifs est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique.

Si a et b sont deux réels tels que a < b , de l' identité de Legendre

et on conclut en appliquant la fonction racine carrée (qui est strictement croissante).

Une autre manière de définir ces moyennes est de cumuler les nombres choisis puis de chercher comment on peut obtenir le même résultat en cumulant plusieurs fois la même valeur. Tout dépend alors de la procédure de cumul. Avec une addition, on trouve 2+18=20, qu’on aurait pu obtenir en posant 10+10=20. Avec une multiplication, on trouve 2×18=36, qu’on aurait pu obtenir avec 6×6=36.

D’autres procédures de cumul sur deux nombres a et b permettent de définir la moyenne harmonique






2
a
b


a
+
b





{\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}}

et la moyenne quadratique








a

2


+

b

2



2





{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2} \over 2}}}

.

Cette approche permet de définir les moyennes pour des listes de plus de deux nombres.

La moyenne peut aussi être concrétisée par le point d'équilibre d’un ensemble fini de masses ponctuelles positionnées le long de la droite numérique , comme sur un mobile .

Cette approche permet d’introduire naturellement la notion de moyenne pondérée . Par exemple, on peut souhaiter que la moyenne soit trois fois plus proche de la première valeur que de la deuxième. Entre 7 et 19, le nombre 10 est bien trois fois plus proche de 7 (avec un écart de 3) que de 19 (avec un écart de 9). On dit alors que 10 est la moyenne pondérée des nombres 7 et 19 avec les coefficients 3 et 1. On le trouve en calculant la somme pondérée que l’on divise par la somme des coefficients






3
×
7
+
1
×
19


3
+
1



=


40
4


=
10


{\displaystyle {\frac {3\times 7+1\times 19}{3+1}}={\frac {40}{4}}=10}

.

Dans le cas où on cherche à évaluer une moyenne de plusieurs points, il vient naturellement de s'intéresser aux distances. La moyenne d'un n -uplet de points ( x 1 , ... , x n ) dans un ensemble de réels X devient alors la valeur qui minimise [ 3 ] , [ 4 ]

pour une distance d définie sur X .

Le problème est que cette valeur minimale peut être atteinte en plusieurs points, voire ne pas être atteinte du tout.

Plusieurs moyennes sont induites par un problème de distance minimale :

En revanche, la mesure basée sur le symétrique du symbole delta de Kronecker

ne donnera pas une valeur moyenne du n -uplet mais son mode , et la distance usuelle d ( x , y ) = | x - y | renvoie la médiane .

Pour d'autres moyennes, comme la moyenne logarithmique , le problème reste ouvert car aucune distance associée n'a été déterminée.

On peut aussi évoquer la moyenne de Fréchet dans le cas où la fonctionnelle à minimiser est la variance de Fréchet [ 5 ] :

On parlera de moyenne de Karcher quand le minimum n'est pas atteint en un unique point, et de moyenne de Fréchet quand ce minimum est en un unique point.

Pour qu'une fonction x m = m ( x 1 , ... , x n ) d'un n -uplet de réels x = ( x 1 , ... , x n ) pris dans un ensemble X , puisse être utilisée comme moyenne de x :

On peut ajouter d'autres propriétés, comme l' homogénéité de degré 1 :

ou la symétrie : toute permutation des coefficients du n -uplet ne change pas la valeur moyenne

ou encore la croissance, pour




X

=


R


+




{\displaystyle \mathbf {X} =\mathbb {R} _{+}}

 :

Pour toute liste ( x 1 , ..., x n ) de réels, on définit sa moyenne arithmétique par la formule






x
¯


=


1
n



∑

i
=
1


n




x

i





{\displaystyle {\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}

, qui ne dépend pas de l’ordre des termes et est toujours comprise entre les valeurs minimale et maximale de la liste.

Cette moyenne est linéaire , c’est-à-dire que l’addition ou la multiplication par une constante sur les valeurs de la liste se traduit par la même opération sur la moyenne.

Pour calculer une moyenne sur une liste dans laquelle beaucoup de valeurs sont répétées, on peut noter ( x 1 , ..., x k ) la liste des valeurs (sans répétition) et ( n 1 , ..., n k ) la liste des effectifs (le nombre de fois qu’apparait chaque valeur dans la liste initiale). La moyenne s’écrit alors






x
¯


=


1


∑

i
=
1


k



n

i






∑

i
=
1


k




n

i



x

i





{\displaystyle {\overline {x}}={1 \over \sum _{i=1}^{k}n_{i}}\sum _{i=1}^{k}{n_{i}x_{i}}}

.

On retrouve la notion de moyenne pondérée , dans laquelle les facteurs n i ne représentent pas nécessairement des effectifs, mais des coefficients appelés poids , par exemple pour calculer la moyenne de notes sur un bulletin scolaire dans lequel on souhaite accorder plus d’importance à certaines disciplines ou à certains devoirs, en leur attribuant un coefficient plus grand que les autres.

La moyenne arithmétique est aussi cumulative, c’est-à-dire que si la liste est partagée en plusieurs sous-listes, la moyenne de la liste globale est la moyenne pondérée des moyennes des sous-listes, avec pour coefficients de chaque sous-liste le nombre de termes concernés.

Étant donnée une liste ( x 1 , ..., x n ) de réels positifs (voire strictement positifs pour la moyenne harmonique), avec éventuellement une liste ( m 1 , ..., m n ) de poids associés, positifs et non tous nuls, on définit les moyennes usuelles suivantes.

Ces moyennes reprennent certaines propriétés de la moyenne arithmétique :

En outre, ces moyennes sont toujours ordonnées par les inégalités suivantes qui prolongent l’ inégalité arithmético-géométrique :

Toutes ces moyennes s’obtiennent sous la forme








1
n



∑

i
=
1


n




x

i


p





p





{\displaystyle {\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}}}

ou comme limite d’expressions sous cette forme, et entrent dans la définition de la moyenne d'ordre p .
Plus précisément, on retrouve :

Parmi les autres moyennes de deux réels strictement positifs, on trouve :

On peut définir la moyenne énergétique de la manière suivante :

C'est la moyenne de valeurs données en décibels , utilisées par exemple en acoustique .

Cette moyenne n’est pas homogène, mais elle reste cumulative, encadrée par le maximum et le minimum. Elle fait partie de la famille des moyennes quasi-arithmétiques qui s’écrivent sous la forme





f

−
1


(



f
(
x
)

¯


)
=

f

−
1



(



1
n



∑

i
=
1


n


f
(

x

i


)

)



{\displaystyle f^{-1}({\overline {f(x)}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)}

, où f est une fonction réelle continue et strictement croissante sur un intervalle contenant les valeurs de la liste, et f −1 est sa fonction réciproque . On retrouve en particulier les moyennes d'ordre p avec les fonctions puissances ou avec la fonction logarithme . La moyenne énergétique s’obtient avec la fonction



x
↦

10

x

/

10




{\displaystyle x\mapsto 10^{x/10}}

.

À partir de deux nombres a et b , la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique fournissant deux nouveaux nombres, et l’on peut itérer le processus pour obtenir deux suites adjacentes qui convergent vers un réel intermédiaire (parfois noté M ( a , b ) ) appelé moyenne arithmético-géométrique et qui est relié à la longueur d’une ellipse .

Cette définition n’est cependant pas cumulative, et ne s’étend donc pas à plus de deux valeurs.

On peut évoquer, pour deux réels strictement positifs :

Étant donné une liste ( a 1 , … , a n ) de réels et une liste ( x 1 , … , x n ) de réels strictement positifs, la a -moyenne de x est égale à la moyenne arithmétique des monômes de la forme x 1 a σ (1) × ⋯ × x n a σ ( n )
lorsque σ décrit l’ensemble des permutations de ⟦1, n ⟧ .

Cette moyenne est homogène lorsque la somme des exposants a i est égale à 1, et appelée dans ce cas moyenne de Muirhead .

Dans le cas particulier n = 2 , cette moyenne est appelée moyenne de Heinz .

La moyenne est beaucoup utilisée en évaluation scolaire . Dans de nombreux systèmes scolaires, une partie de l'évaluation des élèves débouche sur une note chiffrée, par exemple

On peut alors calculer la moyenne des notes d'une classe dans une matière, ou la moyenne des notes d'un élève dans une matière. Ces moyennes ont des sens différents :

Dans ces exemples, la moyenne est un lissage des valeurs. On peut bien sûr se demander si la moyenne est un critère pertinent de sélection (voir Évaluation sommative ) ; en général, ce n'est pas le seul critère qui entre en compte, à l'exception de certains examens et concours.

La moyenne est la valeur unique que devraient avoir tous les individus d'une population (ou d'un échantillon ) pour que leur total soit inchangé. C'est un critère de position .

Dans la plupart des cas, le total formé par les individus d'une population est la somme de leurs valeurs . La moyenne est alors la moyenne arithmétique . Mais si le total représenté par une population ou un échantillon n'est pas la somme de leurs valeurs, la moyenne pertinente ne sera plus la moyenne arithmétique.

Si, par exemple, le total d'un ensemble d'individus est le produit de leurs valeurs, il convient de calculer leur moyenne géométrique .

La moyenne ne peut donc se concevoir que pour une variable quantitative . On ne peut pas faire le total des valeurs d'une variable qualitative . Quand la variable est ordinale , on lui préférera la médiane .

Le barycentre d’un ensemble fini de points du plan ou de l’espace affine (éventuellement munis de poids positifs ou négatifs) est défini par une relation vectorielle et correspond essentiellement à la notion physique de centre de masse .

Les coordonnées cartésiennes de ce barycentre dans un repère sont alors données par la moyenne arithmétique pondérée des coordonnées des différents points.

Le lemme de Cesàro assure que pour toute suite u convergente , la suite des moyennes partielles





(




1

n
+
1



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