Елементи багатомірної геометрії - Математика дипломная работа

Главная

Математика
Елементи багатомірної геометрії

Елементи загальної теорії багатомірних просторів, аксіоматика Вейля. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах: паралелепіпеди, симплекси, кулі. Застосування багатомірної геометрії: простір-час класичної механіки і теорії відносності.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Глава 1. Елементи загальної теорії багатомірних просторів
§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля.
§4. Поняття крапко-векторного афінного n-мірного простору
Глава 2. Багатомірні геометричні образи в n-мірних просторах
§5. Чотирьохмірний простір. Визначення і його дослідження
§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах
Глава 3. Застосування багатомірної геометрії
§10. Про необхідність введення багатомірного простору (на прикладах задач)
§11. Простір-Час класичної механіки
§ 12. Простір-Час спеціальної теорії відносності
§13. Простір-Час загальної теорії відносності
Багатомірна геометрія в наш час широко застосовується в математиці й фізиці для наочного подання рівнянь із декількома невідомими, функцій декількох змінних і систем з декількома ступенями волі.
Геометрична мова дозволяє застосувати до рішення складних задач геометричну інтуїцію, що зложилася в нашім звичайному просторі.
До множини задач, розв'язуваних за допомогою багатомірної геометрії, ставляться задачі про знаходження більше вигідних варіантів перевезень, задачі про найбільш вигідні способи розкрою матеріалу, найбільш ефективних режимах роботи підприємств, задачі про складання виробничих планів і т.п. Той факт, що ці задачі вирішуються геометрично за допомогою знаходження найбільших або найменших значень лінійних функцій на багатогранниках (причому, як правило, у просторах, що має розмірність, більшу трьох) був уперше помічений Л.В. Канторовичем. Необхідність розгляду n-мірних просторів при n > 3 диктується також математичними задачами фізики, хімії, біології й інших областей знання.
Таким чином, хоча просторові властивості навколишнього світу добре описуються геометричним тривимірним простором, потреби практичної діяльності людини приводить до необхідності розгляду просторів будь-якої розмірності n. Метою дипломної роботи є розгляд методів побудови багатомірних просторів і деяких геометричних образів у цих просторах; приведення прикладів застосування багатомірної геометрії.
Об'єктом дослідження є теорія багатомірних просторів і їхня практична значимість.
Робота складається із введення, трьох глав, розбитих на параграфи, списку літератури. У першому розділі розглядається історична довідка багатомірного простору, поняття n-мірного простору на основі аксіоматики Вейля, евклідовий векторний простір, також сповіщається про афінному n-мірний простір.
У другому розділі розповідається про багатомірні геометричні образи в n-мірному просторі.
Третій розділ роботи містить застосування багатомірної геометрії в різних теоріях.
Глава 1 . Елементи загальної теорії багатомірних просторів
Багатомірна геометрія - геометрія просторів розмірності, більше трьох. Термін «багатомірна геометрія» застосовується до тих просторам, геометрія яких була спочатку розвинена для випадку трьох вимірів і тільки потім узагальнена на число вимірів n > 3, тобто, насамперед до евклідова простору, а також до просторів Лобачевского, Римана, проективному, афінномуу (загальні ж риманови й інші простори були визначені відразу для n-вимірів). Поділу трьох- і багатомірної геометрії має історичне й навчальне значення, тому що задачі ставляться і вирішуються для будь-якого числа вимірів, коли й оскільки це осмислено. Побудова геометрії зазначених просторів для n-вимірів проводиться за аналогією з випадком трьох вимірів. При цьому можна виходити з узагальнення безпосередньо геометричних підстав 3-мірні геометрії, з тієї або іншої системи її аксіом або з узагальнення її аналітичної геометрії, переносячи її основні висновки з випадку трьох координат на довільне n.
Саме так і починалася побудова n-мірної евклідової геометрії. У цей час воліють вихідні з поняття векторного простору.
Історично подання в більш ніж 3-мірному просторі зароджувалася поступово; спочатку - на ґрунті геометричного подання ступенів: а 2 - «квадрат», а 3 - «куб», а 4 - «біквадрат», а 5 - «кубоквадрат» і т.д. (ще в Диофанта в 3 в. і далі в ряду середньовічних авторів). Думка в багатомірному просторі виражав И. Кант (1746), а про приєднання до простору в якості 4-й координати часу писав Ж. Д'аламбер (1764). Побудова ж евклідової геометрії було здійснено А. Кели (1843), Г. Грассманом (1844) і Л. Шлефли (1852). Первісні сумніви й містика, зв'язані зі змішанням цих узагальнень із фізичним простором, були переборені, і n-мірний простір як плідне формально-математичне поняття незабаром повністю зміцнилося в математику.
Багатомірні простори виникли шляхом узагальнення, аналогії з геометрією на площині й у тривимірному просторі. На площині кожна крапка задається в системі координат двома числами - координатами цієї крапки, а в просторі - трьома координатами. В n-мірному ж просторі, крапка задається n координатами, тобто записується у вигляді A(x 1 , x 2 , ..., x n ), де x 1 , x 2 , ..., x n - довільні дійсні числа (координати крапки А). На площині система координат має дві осі, у просторі - три, а в n-мірному просторі система координат містить n осей, причому кожні дві із цих осей перпендикулярні один одному. Звичайно, такі простори існують лише в уяві математиків і тих фахівців з інших областей з інших областей знання, які застосовують ці математичні абстракції. Адже реальний простір, у якому ми живемо, математично добре описується тривимірним простором (евклідовим або римановим, але саме тривимірним). Побачити - у буквальному, фізичному змісті цього слова - фігури в чотирьохмірному просторі (а тим більше в просторах більшого числа вимірів) не в змозі ніхто, навіть самий геніальний математик; їх можна бачити тільки думкою.
Існують різні парадокси четвертого виміру. Якщо, наприклад, на площині є кільце (оболонка), а усередині - кружок, то як би ми не рухали цей кружок по площині, вийняти його із цієї оболонки, не розриваючи її, неможливо. Але варто тільки вийти в третій вимір, і кружок легко вийняти з кільця, піднявши його нагору, над площиною, те, не прориваючи оболонку, неможливо вийняти з її ця кулька. Але якби існував четвертий вимір, то можна було б «підняти» кульку над тривимірним простором у напрямку четвертого виміру, а потім покласти його знову в тривимірний простір, але вже поза оболонкою. І те, що це зробити нікому не вдається, приводять як довід проти існування четвертого виміру. Довід помилковий, тому що в ньому поплутані два питання.
Перше питання: чи є в реальному? Відповідь на це питання негативний.
Друге питання: чи можна розглядати чотирьохмірний простір абстрактно, математично? Відповідь стверджувальна.
Немає нічого нелогічного або суперечливого в тім, щоб розглядати четвірки чисел (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ), досліджувати властивості цих «чотирьохмірних крапок», становити з них фігури, доводити теореми, постійно ладу таким чином, геометрію чотирьохмірного (або, взагалі n-мірного) простору. Але математична несуперечність n-мірної геометрії ще недостатня для судження про цінність цієї теорії.
§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля
У векторній аксіоматиці поняття вектора є одним з основних (необхідних) понять. Поняття числа теж будемо вважати основним поняттям і виходити з того, що теорія дійсного числа відома. Властивості операцій додавання векторів і множення вектора на дійсні числа приймемо за аксіоми. Тоді можна дати аксіоматичне визначення векторного простору.
Нехай V - деяка непуста множина, елементи якого будемо називати векторами, і які можуть бути довільної природи, R - множина дійсних чисел. Уведемо для векторів операції додавання векторів і множення вектора на дійсні числа з R будь-яким двом векторам a і b поставлений у відповідність певний вектор, називана сумою й позначуваний a+b;б) будь-якому вектору a і будь-якому дійсному числу б поставлений у відповідність певний вектор, називана добутком вектора на число й позначуваний через ба. И нехай при цьому виконуються наступні властивості аксіоми:1. a+b=b+a для будь-яких векторів a і b з V ;2. (a+b)+з=a+(b+c), для будь-яких векторів a, b, c V.3. Існує такий вектор О V, що а+О=а;4. Для будь-якого вектора а V існує такий вектор - a V , що а+(- а)=O;5. для будь-яких чисел і V;6. для будь-якого числа R і будь-яких векторів a і b з V;7.1? а = а для будь-якого вектора а V.
Тоді множина V називається дійсним лінійним векторним простором або векторним простором. Уведене визначення не накладає ніяких обмежень на природу елементів множини V, тому можуть існувати різні векторні простори.
Приклади: Векторний простір V 1 - множина векторів на прямій; Векторний простір V 2 - множина векторів на площині; Векторний простір V 3 - множина векторів простору трьох вимірів; Множина різних багаточленів від один змінної також становить векторний простір. «Векторами» є багаточлени. Використовуючи твердження, що у звичайному просторі трьох вимірів існує три лінійно незалежних вектори, тобто виконується рівність:
Будь-яка система, що складається більш, ніж з 3-х векторів цього простору, лінійно залежна.
Продовжуючи будувати аксіоматичну теорію векторних просторів, уведемо наступне визначення.
Визначення: Векторний простір V називається n-мірним, якщо в ньому виконуються аксіоми:
9. У векторному просторі V існують n лінійно незалежних векторів.
10. Будь-яка система, що складається більш, ніж з n векторів простору V, лінійно залежна.
Число n називається розмірністю векторного простору й позначається символом dim V , а сам простір будемо позначати символом V n . Базисом n-мірного векторного простору V n називається будь-яка впорядкована система векторів, таких, що система лінійно незалежна; будь-який вектор простору V n є лінійною комбінацією даної системи векторів. Базис не може мати більше трьох векторів і менш чим три вектори. Очевидно, що базис простору V 3 будемо називати 3-мірним і позначати В = (е 1 , е 2 , е 3 ), де вектори е 1 , е 2 , е 3 називаються базисними. З аксіом 9 і 10 треба, що в n-мірному векторному просторі V n існує хоча б один базис, що складається з n векторів. Можна довести, що в V n існує незліченна множина базисів і кожної з них складається з n векторів.N-Мірний базис будемо позначати В = (е 1 , е 2 ,…,е n ), а вектори е 1 , е 2 ,…,е n називати базисними. Наслідок: Будь-яка система, що складається більш ніж із трьох векторів звичайного простору трьох вимірів, лінійно залежна.
Ладу аксіоматичну теорію аналітичної геометрії на векторній основі, уведемо наступне визначення.
1: Скалярним добутком на векторному просторі V називається операція, що будь-якій парі векторів a і b ставить у відповідність деяке дійсне число, позначаємо символом a b і з наступними властивостями:
11. Для будь-яких векторів a, b V і будь-якого вектора a b= b а;
12. Для будь-яких двох векторів a, b V і будь-якого числа .
13. Для будь-яких трьох векторів a, b, c V ;
14. Для будь-якого ненульового вектора а V aa>0.
Визначення 2: Векторний простір V n , у якому уведена операція скалярного добутку векторів, що задовольняє аксіомам 11-14, називається евклідовим векторним простором. Будемо позначати його символом Е n .
На основі визначення 1 можна ввести поняття довжини вектора й величини кута між векторами.
Число аа називається скалярним квадратом вектора а й позначається а 2 . З аксіоми 14 треба, що а 2 >0, отже, - дійсне позитивне число. Воно називається довжиною або нормою вектора й позначається: . Якщо 1, то вектор а називається одиничним.
На основі аксіом 11-14 можна вказати наступні твердження: Для будь-яких векторів a, b 1 , b 2 ,…,b n виконується рівність
Можна показати, що якщо , те вектор є одиничним, його називають ортом вектора а. Він визначає той же напрямок, що й вектор а.
При рішенні метричних задач, тобто задач, пов'язаних з виміром довжин векторів і величин кутів, користуються ортонормированим базисом.
Визначення: Базис називається ортонормированним, якщо всі його вектори одиничні й попарно ортогональні, тобто якщо
Теорема. В евклідовому просторі Е n існують базиси.
Дійсно, якщо (а 1 , а 2 ,…,а n ) - ортогональний базис, то можна розглянути вектори
Ясно, що базис (е 1 , е 2 ,…,е n ) ортонормированний, тому що його вектори одиничні й попарно ортогональні.
Уведемо позначення: В=(i, j) або B=(i, j, k) - ортонормированні базиси евклідових векторних просторів Е 2 і Е 3 відповідно.
§4. Поняття крапко-векторного афінного n-мірного простору
В §2 і §3 аксіоматично визначені різні векторні простори: лінійні векторні, n-мірні векторні, евклидови векторні. Але для побудови геометрії, тобто для розгляду різних геометричних фігур, одних векторів недостатньо, потрібні ще крапки.
Побудова вектора по двох крапках, уведемо наступне визначення.
Визначення. Афінним простором називають деяка множину А * елементів довільної природи, називаних крапками, для якої задано
б) відображення, що будь-яким двом крапкам А и В А * ставить у відповідність деякий вектор з V, позначуваний АВ.
При цьому потрібне виконання наступних аксіом:
15. Для будь-якої крапки А А * і будь-якого вектора А з V існує єдина крапка В А * і будь-якого вектора а V існує єдина крапка В А * , така що АВ=а.
16. Для будь-яких трьох крапок А, В, З A * має місце рівність АВ+ВР=АС.
Аксіома 15 називається аксіомою відкладання вектора від крапки, а аксіома 16 - аксіомою трикутника, з якої треба правило трикутника й правило паралелограма додавання векторів.
Розмірність простору V називається розмірністю відповідного афінного простору А * і позначається символом А * n .
Відзначимо деякі важливі наслідки з аксіом 15-16.
При будь-якому виборі крапки А вектор АА нульової.
Якщо АВ=0, то крапки А и В збігаються.
Для будь-яких крапок А и В АВ = - ВА.
Для довільних крапок А 1 , А 2 ,…,А n виконується рівність А 1 А 2 + А 2 А 3 + А n-1 А n = А 1 А n (правило багатокутника додавання векторів).
Простір А * n містить незліченну множину крапок. На основі аксіом 1-10 і 15-16 афінної геометрії не можна ввести понять довжин відрізків і величин (мер) кутів. Ці поняття можна ввести, використовуючи скалярний добуток векторів.
Як відомо, введення в V n скалярного добутку векторів приводить до евклідова векторного простору Е n .
Визначення. Афінний простір А n * , у якому відповідне йому векторний простір V n перетворене в евклідовий векторний простір Е n , називається евклідовим n-мірним простором.
Для цього простору введемо позначення Е n . Відповідно до визначення ясно, що всяке афінний простір А n * можна перетворити в евклідовий простір Е n , задаючи на векторному просторі V n скалярний добуток векторів, що задовольняє аксіомам 11-14 (§ 3).
Таким чином, в Е n виконуються аксіоми 1-16.
На основі аксіом евклидова простору будується евклидова геометрія.
В евклідовій геометрії, мабуть, справедлива вся викладена вище теорія афінної геометрії. Але простір Е n має метричні властивості, які випливають із аксіом скалярного добутку векторів і пов'язані з виміром довжин відрізків і мер кутів. Тому евклідова геометрію називають ще метричною геометрією.
Метричні аксіоми дозволяють установити метрику евклидова простору, тобто відстані між його крапками. Визначимо спочатку модуль |a| вектора а як ненегативний корінь із його квадрата, тобто
Вектори, модуль яких дорівнює 1, будемо називати одиничними векторами; одиничний вектор будемо позначати а 0 .
Будемо вважати відстанню між крапками А и В модуль вектора АВ; будемо позначати це відстанню АВ.
Таким чином, відстань АВ між крапками А(х) і В(y) визначається співвідношенням
З визначення відстані треба, що відстань симетрично, тобто
Відстань позитивно, тобто (4.4) AB ? 0, причому знак дорівнює тільки при збігу крапок А и В.Покажемо, що для відстаней між крапками евклидова простору крім властивостей 1 і 2 виконується також «нерівність трикутника».відстань між усякими двома крапками не більше суми відстаней між цими крапками й третьою крапкою, тобто
Множина крапок, для всяких двох крапок А и В якого визначене число АВ, що задовольняє умовам 1-3, називається метричним простором. Для доказу нерівності трикутника доведемо так звану нерівність Коші
Скалярний квадрат вектора a - tb ненегативний при будь-якому речовинному t
У випадку b = 0 обидві частини нерівності (4.6) рівні 0, тобто нерівність виконується автоматично.
що рівносильне нерівності (4.6). Розглянемо три крапки А(х), В(у) і З(z).
Глава 2 . Багатомірні геометричні образи в n-мірних просторах
§5. Чотирьохмірний простір. Визначення і його дослідження
При побудові геометрії на прямій, на площині й у тривимірному просторі є дві можливості: або викладати матеріал за допомогою наочних подань (цей спосіб характерний для шкільного курсу, тому важко собі представити підручник геометрії без креслень), або - і цю можливість дає нам метод координат - викладати його чисто аналітично, назвавши, наприклад, крапкою площини в курсі планіметрії пари чисел (координати цієї крапки), а крапкою простору - трійку чисел. При введенні чотирьохмірного простору перша можливість у нас відсутній. Ми не можемо безпосередньо користуватися наочними геометричними поданнями - адже навколишнє нас простір має всього три виміри. Однак друга версія для нас не закрита. Справді, ми визначаємо крапку прямій як число, крапку площини як пари чисел, крапку тривимірного простору як трійку чисел. Тому зовсім природно побудувати геометрію чотирьохмірного простору, визначивши крапку цього уявлюваного простору як четвірку чисел. Під геометричними фігурами в такому просторі потрібно буде розуміти деякі множини крапок (як, втім, і у випадку звичайної геометрії). Перейдемо тепер до точних визначень.
Визначення. Крапкою чотирьохмірного простору називається впорядкована четвірка чисел (x, y, z, t).
Що вважати в просторі чотирьох вимірів координатними осями й скільки їх?
Щоб відповісти на це питання, повернемося на час до площини й тривимірного простору.
На площині (тобто в просторі двох вимірів) координатні осі - це множини крапок, у яких одна з координат може мати одне числове значення, а друга дорівнює нулю. Так, вісь абсцис - це множина крапок виду (х, 0), де х - будь-яке число. Наприклад, на осі абсцис лежать крапки (1, 0), (-3, 0), а крапка (1/5, 2) не лежить на осі абсцис.
Вісь ординат площини - це множина крапок виду (0, у), де в - будь-яке число. У тривимірному просторі є три осі: вісь х - це множина крапок виду (х, 0, 0), де х - будь-яке число; вісь в - множина крапок виду (0, в, 0), де в - будь-яке число; вісь z - множина крапок виду (0, 0, z), де z - будь-яке число. У чотирьохмірному просторі, що складається із всіх крапок виду (x, y, z, t), де x, y, z, t - будь-які числа, природно вважати координатними осями такі множини крапок, у яких одна з координат приймає будь-які числові значення, а інші дорівнюють нулю. Тоді ясно, що в чотирьохмірному просторі є чотири координатні осі: вісь х - це множина крапок виду (х, 0, 0, 0), де х - будь-яке число; вісь в - множина крапок виду (0, в, 0, 0), де в - будь-яке число; вісь z - множина крапок виду (0, 0, z, 0), де z - будь-яке число, де в - будь-яке число; вісь t - множина крапок виду (0, 0, 0, t), де t - будь-яке число. У тривимірному просторі, крім координатних осей, є ще координатні площини. Це - площини, що проходять через дві які-небудь дві координатні осі. Наприклад, площина yz - це площина, що проходить через вісь y і вісь z.
Усього в тривимірному просторі є три координатні площини:
площина xy - множина крапок виду (х, в, 0), де х и в - будь-які числа;
площина yz - множина крапок виду (х, 0, z), де х и z - будь-які числа;
площина yz - множина крапок виду (0, в, z), де y і z - будь-які числа.
Природно, і в чотирьохмірному просторі називати координатними площинами множина крапок, у яких які-небудь дві із чотирьох координат приймають будь-які числові значення, а інші дві дорівнюють нулю. Наприклад, множина крапок виду (x, 0, z, 0) ми будемо називати координатною площиною xz чотирьохмірного простору. Скільки ж усього таких площин?
площина ху - множина крапок, виду (х, в, 0, 0),
площина хz - множина крапок, виду (х, 0, z, 0),
площина хt - множина крапок, виду (х, 0, 0, t),
площина уz - множина крапок, виду (0, в, z, 0),
площина уt - множина крапок, виду (0, в, 0, t),
площина zt - множина крапок, виду (0, 0, z, t).
Для кожної із цих площин змінні координати можуть приймати будь-які числові значення, у тому числі й нульове. Наприклад, крапка (5, 0, 0, 0) належить площині xy і площини xt. Тоді легко бачити, що, наприклад, площина yz «проходить» через вісь в у тому розумінні, що кожна крапка цієї осі належить цій площині. Дійсно, будь-яка крапка на осі в, тобто крапка виду (0, в, 0, 0), належить множині крапок виду (0, y, z, 0), тобто площини yz.
Отже, у чотирьохмірному просторі існують множини крапок, аналогічні координатним площинам тривимірного простору. Їх шість. Кожне з них складається із крапок, у яких, як і в крапок координатних площин тривимірного простору, дві які-небудь координати можуть приймати будь-які числові значення, а інші дві дорівнюють нулю. Кожна із цих координатних площин «проходить» через дві координатні осі: наприклад, площина yz проходить через вісь в і вісь z. З іншого боку, через кожну вісь проходять три координатні площини. Так, через вісь х проходять площини xy, xz, xt. Будемо говорити, що вісь х є перетинанням цих площин. Всі шість координатних площин містять одну загальну крапку. Це крапка (0, 0, 0, 0) - початок координат.
Одержуємо аналогічну тому, що є в тривимірному просторі. Представимо схематичний малюнок, що допоможе створити деякий наочний образ розташування координатних площин і осей чотирьохмірного простору.
На малюнку осі координат зображені прямими, показані координатні площини, все точно також, як і для тривимірного простору.
Однак, у чотирьохмірному просторі є ще множини крапок, які можна називати координатними площинами. На прямій є тільки початок координат, на площині є й початок координат, і осі в тривимірному просторі, крім початку й осей, з'являються ще й координатні площини. Природно, що в чотирьохмірному просторі з'являються нові множини, які будемо називати тривимірними координатними площинами.
Це - множини, що складаються із всіх крапок, у яких які-небудь три із чотирьох координат приймають усілякі числові значення, а четверта дорівнює нулю.
Таке, наприклад, множина, що має вид (х, 0, z, t), де x, z, t приймають усілякі значення. Ця множина будемо називати тривимірною координатною площиною xzt. Легко зрозуміти, що в чотирьохмірному просторі існує чотири координатні тривимірні площини:
площина xyz - множина крапок виду (x, y, z, 0),
площина xyt - множина крапок виду (x, y, 0, t),
площина xzt - множина крапок виду (x, 0, z, t),
площина yzt - множина крапок виду (0, y, z, t).
Кожна із тривимірних координатних площин «проходить» через початок координат і що кожна із цих площин «проходить» через три координатні осі (слово «проходить» ми тут уживаємо в тому розумінні, що початок координат і кожна із крапок осей належать площині). Наприклад, тривимірна площина xyt проходить через осі x, y, t.
Аналогічно, можна сказати, що кожна із двовимірних площин є перетинанням двох тривимірних площин.
Наприклад, площина ху є перетинанням тривимірних площин xyz і xyt, тобто складається із всіх крапок, що належать одночасно й тій і іншій множині.
Перейдемо тепер до розгляду геометричних фігур у чотирьохмірному просторі. Під геометричною фігурою (як і у випадку звичайної геометрії) будемо розуміти деяку множину крапок.
Візьмемо, наприклад, визначення сфери: сфера є множину крапок, вилучених від деякої крапки на те саме відстань.
Це визначення вже можна використовувати, щоб за аналогією визначити сферу в чотирьохмірному просторі: що таке крапка, ми знаємо; що така відстань між крапками, теж знаємо.
Ми й приймемо визначення, перевівши його на мову чисел (для простоти, як і у випадку тривимірного простору, візьмемо сферу із центром на початку координат).
Мал. 4. 2-мірна куля (коло) 3-мірна куля
Визначення. Множина крапок (x, y, z, t), що задовольняють співвідношенню
називається чотирьохмірною сферою із центром на початку координат і радіусом R.
Якщо розглядати не сферу, а куля, то зазначена рівність треба замінити нерівністю
Це зауваження ставиться також до двовимірного й до тривимірного випадкам.
Розповімо тепер небагато про чотирьохмірному куб. Судячи з назви, його фігура, аналогічна звичайному, добре знайомому тривимірному кубу.
На площині теж є фігура, аналогічна кубу, - це квадрат.
Кубом називається множина крапок (x, y, z), що задовольняють співвідношенням:
Це «арифметичне» визначення куба не має потреби ні в якому кресленні. Однак воно повністю відповідає геометричному визначенню куба.
У просторі є й інші куби. Наприклад, множина крапок, обумовлених співвідношеннями теж є кубом. Цей куб добре розташований щодо координатних осей: початок координат є його центром, координатні осі й координатні площини - осями й площинами симетрії. Однак для наших цілей зручний саме куб, обумовлений співвідношеннями (5.3). Такий куб ми будемо іноді називати одиничним, щоб відрізнити його від інших кубів.
Для квадрата теж можна дати арифметичне визначення: квадратом називається множина крапок (х, у), що задовольняють співвідношенням:
Порівнюючи ці два визначення, легко зрозуміти, що квадрат дійсно є, як говорять, двовимірним аналогом куба. Будемо називати іноді квадрат «двовимірним кубом».
Можна також розглянути аналог цих фігур і в просторі одного виміру - на прямій. Одержимо множину крапок х прямій, що задовольняють співвідношенням:
Ясно, що таким «одномірним кубом» є відрізок.
Визначення. Чотирьохмірним кубом називається множина крапок (x, y, z, t), що задовольняють співвідношенням
Розглянемо один по одному «куби» різних мір, тобто відрізок, квадрат і звичайний куб.
Відрізок, обумовлений співвідношеннями є дуже простою фігурою. Про нього можна сказати, що його границя складається із двох крапок: 0 і 1. Інші крапки відрізка будемо називати внутрішніми.
Границя квадрата складається із чотирьох крапок (вершин) і чотирьох відрізків. Таким чином, квадрат має на границі елементи двох типів: крапки й відрізки. Границя тривимірного куба містить елементи трьох типів: вершини - їх 8, ребра (відрізки) - їх 12 і границь (квадрати) - їх 6.
Запишемо ці дані у вигляді таблиці:
Цю таблицю можна переписати коротше, якщо вмовитися писати замість назви фігури число n, рівне її розмірності: для відрізка n = 1; для квадрата n = 2; для куба n = 3.
Замість назви елемента границі теж можна писати розмірність цього елемента: для грані n = 2, для ребра n = 1.
При цьому крапку (вершину) зручно вважати елементом нульової розмірності (n = 0). Тоді попередня таблиця прикмет наступний вид:
Ціль - заповнити четвертий рядок цієї таблиці.
Границя відрізка складається із двох крапок: х = 0 і х =1. Границя квадрата містить 4 вершини:
х = 0, в = 0; х = 0, в = 1; х = 0, в = 1; х = 1, в = 1, тобто крапки (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
Куб , , містить вісім вершин. Кожна із цих вершин є крапка (x, y, z), у якій x, y, z заміняються або нулем, або одиницею. Одержуємо наступних 8 крапок:
(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).
називаються крапки (x, y, z, t), у яких x, y, z, t заміняються або нулем, або одиницею. Таких вершин 16.
Тоді ребрами (тривимірного) куба є сторони.
х = 1, , z = 1 (ребро B 1 А 1 ) і т.д.
Визначення. Ребрами чотирьохмірного куба називається множина крапок, для яких всі координати, крім однієї, постійні (рівні 0, або 1), а четверта приймає всі можливі значення від 0 до 1.
Насамперед будемо розрізняти чотири групи ребер: для першою нехай змінною координатою є х ( ), а y, z, t приймають постійні значення 0 і 1 у всіх комбінаціях. Тому що існує 8 різних трійок з нуля й одиниці. Тому ребер першої групи - 8. Ребер другої групи, для яких змінної є не х, а в, теж 8. Таким чином, ясно, що всього в чотирьохмірного куба 32 ребра. Крім ребер у куба є грані, які, у свою чергу розділяються на двовимірні й тривимірні грані чотирьохмірного куба. У чотирьохмірного куба 24 двовимірної грані й 8 - тривимірних (вони зображені паралелепіпедами (мал. 10)).
§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах
Нехай в n-мірному афінному просторі U n зафіксовані довільна крапка А, і у відповідному лінійному просторі L n зафіксований довільне k-мірний підпростір L k .
Визначення. Множина всіх крапок М афінного простору, для яких АМ L k , називають k-мірною площиною, що проходить через крапку А в напрямку підпростором L k .
Говорять також, що L k є напрямний підпростір цієї площини. Очевидно, що кожна площина визначає однозначно свій напрямний простір.
Крапку М називають поточною крапкою площини. На малюнку показані три положення М 1 , М 2 , М 3 поточні крапки М.
Якщо k = 0, то площина складається з однієї крапки А. Тому кожну крапку афінного простору можна розглядати як нуль-мірну площину.
Одномірна площина називається прямою лінією.
Площина розмірності n - 1 називається гіперплощиною.
При k = n площина збігається з усім простором U n .
У визначенні площини виділена крапка А. Доведемо, що в дійсності всі крапки площини рівноправні.
Позначимо площину через П k і зафіксуємо довільну крапку В. Треба довести, що крапка М належить площини П k тоді й тільки тоді, коли (тобто що будь-яка крапка М може відігравати роль А).
Нехай . По визначенню площини . Звідси й по визначенню підпростору
Теорема. Усяка k-мірна площина в афінному просторі сама є k-мірним афінним простором.
Доказ. Нехай дане афінний простір U, якому відповідає лінійний простір L, нехай П k - площина, що проходить через крапку А в напрямку підпростору L k . Візьмемо в площині П k дві довільні крапки M, N . По визначенню афінного простору їм відповідає вектор . По визначенню площини вектори АМ і АN належать підпростору L k .
Таким чином, кожній упорядкованій парі крапок М, N площини П k , поставимо у відповідність вектор MN з k-мірного простору L k . При цьому дотримуються для П k аксіоми, що випливають із визначення k-мірної площини й для всього афінного простору U. Теорема доведена.
Зауваження. Якщо площина проходить через початок афінної системи координат у напрямку підпростору L k , то сукупність радіус-векторів її крапок утворить
Елементи багатомірної геометрії дипломная работа. Математика.
Реферат: Припинення шлюбу
Прогнозирование Эффективности Реальных Инвестиций Курсовая Работа
Сочинение Благородство Душ
Курсовая работа по теме Теоретические основы декларирования и выпуска товаров
Реферат: Аналіз демографічної ситуації у в Харківському регіоні
Контрольные Работы 7 9 Класс Кузнецова
Курсовая работа: Нетрадиционные уроки при преподавании технологии в школе
Техника Обучения Алгоритмическим Курсам Реферат
Реферат по теме Спирты
Психология преступной группы
Курсовая работа: Проблема истины. Аристотель, Кант, Соловьев. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая Работа На Тему Художественная Обработка Металла В Туле
Культуры Древней Индии Реферат
Реферат: Романский стиль 2
Дипломная работа по теме Розробка інвестиційного проекту підвищення ефективності діяльності будівельного підприємства
Реферат: Rob Lee Essay Research Paper Robert E
Счастье Это Определение Для Сочинения 15.3
Структура Мини Сочинения По Обществознанию 2022
Магистерская Диссертация Купить Москва
Реферат: Ушаков Федор Федорович, русский флотоводец, адмирал. Скачать бесплатно и без регистрации
Стороны в гражданском процессе - Государство и право курсовая работа
Політичний портрет П. Діаса - История и исторические личности реферат
Уголовно-правовая и криминологическая характеристики торговли людьми - Государство и право дипломная работа