Эрмитовы операторы. Реферат. Математика.
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Эрмитовы операторы
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Пусть M и N — линейные множества. Оператор L , преобразующий элементы множества M в элементы множества N , называется линейным, если для любых элементов f и g из M и
комплексных чисел λ и μ справедливо равенство
При этом
множество M = M L называется областью определения оператора
L . Если Lf = f
при всех f Є M , то оператор L называется тождественным (единичным) оператором.
Единичный оператор будем обозначать через I.
Пусть L — линейный оператор с областью
определения M L . Уравнение
называется
линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или
правой частью), а неизвестный элемент и из M L — решением этого уравнения.
Если в
уравнении (2) свободный член F положить
равным нулю, то полученное уравнение
называется
линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
В силу
линейности оператора L совокупность
решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и
= 0 всегда является решением этого уравнения.
Отсюда
непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным
в M L , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее
однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в M L . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое
решение в M L . Обозначим через R l область значений оператора L , т.е. (линейное) множество элементов вида {L f }, где f пробегает M L . Тогда для любого F Є R l уравнение (2) имеет единственное
решение и Є M L , и,
таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из R l соответствующее решение уравнения (2).
Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L -1 , так что
Оператор
L -1 , очевидно, является линейным и
отображает R l на M L . Непосредственно из определения
оператора L -1 , а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
L
L -1 F = F , F Є R l ; L -1 Lu = u , и Є M L ,
Если
линейный оператор L имеет
обратный L - 1 , то системы функций { φ k } и { L φ k } одновременно линейно независимы. (При этом,
естественно, предполагается, что все φ k принадлежат M L . )
Рассмотрим
линейное однородное уравнение
где λ — комплексный параметр. Это уравнение
имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M L . Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет
ненулевые решения из M L , называются собственными значениями оператора L , а соответствующие решения — собственными элементами
(функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r , 1 ≤ r ≤ ∞ , линейно независимых собственных
элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого
собственного значения; если кратность r = 1, то λ
называется простым собственным значением.
Если
кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u 1 ,...,и 2 — соответствующие линейно независимые
собственные элементы, то любая их линейная комбинация
u 0 = c 1 u 1 + c 2 u 2 + ... + c r u r
также
является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и
приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если
решение уравнения
где и*
— частное решение (6) и с k , k = l,2,...,r, —
произвольные постоянные.
Линейный
оператор L , переводящий M L С L 2 ( G ) в L 2 (G), называется эрмитовым,
если его область определения M L плотна в L 2 (G) и для любых f и g из M l справедливо равенство
Выражения
( Lf , g ) и ( Lf , f )
называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными
оператором L .
Для того
чтобы линейный оператор L был
эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf , f ), f Є
M l , где M l плотна в L 2 (G) , принимала
только вещественные значения.
Линейный
оператор L , переводящий M l С L 2 (G) в L 2 (G) ,
называется положительным, если M l плотна в L 2 (G) и
В
частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема.
Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения
вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным
собственным значениям, ортогональны .
Доказательство. Пусть λ 0 — собственное
значение, u 0 — соответствующая нормированная собственная функция
эрмитова оператора L , L u 0 = λ 0 u 0 . Умножая
скалярно это равенство на u 0 , получим
( L u 0 , u 0 ) = ( λ 0 u 0 , u 0 ) = λ 0 ( u 0 , u 0 )
λ 0 || u 0 || 2
= λ 0 .
(8)
Но для
эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf , f ) принимает только вещественные (неотрицательные)
значения, и, стало быть, в силу (7) λ 0 — вещественное
(неотрицательное) число.
Докажем,
что любые собственные функции и 1 и и 2 ,
соответствующие различным собственным значениям λ 1 и λ 2 , ортогональны. Действительно, из
соотношений
из
вещественности λ 1 и λ 2
и из эрмитовости оператора L получаем
цепочку равенств
λ 1 (и 1 ,и 2 )
= ( λ и 1 ,и 2 ) = ( L и 1 ,и 2 ) = (и 1 , Lu 2 ) = (и 1 ,λ 2 и 2 )
= =λ 2 (и 1 ,и 2 ),
т.е. λ 1 (и 1 ,и 2 )
= λ 2 (и 1 ,и 2 ). Отсюда,
поскольку λ 1 ≠ λ 2 , вытекает, что скалярное произведение (и 1 ,и 2 )
равно нулю. Теорема доказана.
Предположим,
что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое
собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения:
λ 1 ,λ 2 ,..., повтори λ k столько раз, какова его кратность. Соответствующие
собственные функции обозначим через и 1 ,и 2 ,…
так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна
собственная функция и k :
Собственные функции,
соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать
ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая
ортонормальная система { φ k } состоит из линейно независимых функций. Всякая
система ψ 1 , ψ 2 ,... линейно
независимых функций из L 2 (G) преобразуется в ортонормальную систему φ 1 , φ 2 ,
— следующим процессом ортогонализации
Шмидта:
φ 1 = ψ 1 /|| ψ 2 || , φ 2
= ψ 2 – ( ψ 2, φ 1 )
φ 1 / || ψ 2 – ( ψ 2, φ 1 )
φ 1 ||
φ k = ψ k – ( ψ k , φ k -1 ) φ k -1 – … – ( ψ k , φ 1 ) φ 1 / || ψ k – ( ψ k , φ k -1 ) φ k -1 – … – – ( ψ k , φ 1 ) φ 1 ||
При этом опять получаются
собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной
теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким
образом, если система собственных функций { и к } эрмитова
оператора L не более чем счетна, то ее можно
выбрать ортонормальной:
( Lu k , u i ) = λ k (и k , u i ) = λ k δ ki
1 . Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения
математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения
математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.:
Физмат-лит, 2000.
Похожие работы на - Эрмитовы операторы Реферат. Математика.
Реферат по теме Молодежь и предпринимательство
Курсовая работа по теме Развитие и размещение ведущих отраслей промышленности на примере Центрального Федерального округа
Курсовая Работа По Теме База Данных
Реферат: ShakespeareS Biography Essay Research Paper Shakespeare
Реферат: Конфекционирование материалов для одежды дошкольный возраст. Скачать бесплатно и без регистрации
Граната Лақтыру Реферат
Курсовая работа по теме Организация ремонта горного оборудования в условиях Кия-Шалтырского нефелинового рудника
Контрольная работа: Greece
Практическая Работа По Черчению 9 Класс
Постановление О Прекращении Уголовного Дела Реферат
Написать Сочинение Про Картину После Дождя
Эссе Проблемы Квалификации Хулиганства
Курсовая работа: Эоловые процессы. Скачать бесплатно и без регистрации
Лекция На Тему Болезни Оперированного Желудка
Реферат На Тему Воспитательная Система В Начальной Школе
Реферат: Правила деловых отношений
Курсовая Работа На Тему Использование Java-Технологий Для Разработки Графических Приложений
Сочинение Про Парту
Реферат по теме Бихевиористские концепции религии
Курсовая работа по теме Внедрение дисконтных карт для повышения лояльности покупателей
Реферат: Madame Bovary Essay Research Paper Madame BovaryWhen
Реферат: Аудиторский контроль
Реферат: Дія цивільних законів