Эллиптические функции Якоби - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Эллиптические функции Якоби

Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
кафедра математического анализа и моделирования
на тему: эллиптические функции Якоби
по дисциплине: теория функций комплексного переменного
Работа 42с., 1 рис., 3 таблицы, 7 источников.
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЭЛЛИПТИЧКСКИЙ ИНТЕГРАЛ, ТЕТА-ФУНКЦИЯ, ПЕРИОД, S - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, Q - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, -ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА, АМПЛИТУДА КОЛЕБАНИЙ, ДИСКРИМИНАНТ.
Идея обращения эллиптических интегралов и введение в рассмотрение в связи с этим эллиптических функций принадлежит К. Гауссу, Н. Абелю и К. Якоби.
К. Гаусс, исследуя в 1797 году задачу обращения интеграла
представляющего собой длину дуги лемнискаты r =sin2ц, ввел в рассмотрение две функции (“лемнискатический синус и косинус”), являющиеся частным случаем функций Якоби. Позднее, рассматривая эллиптический интеграл первого рода, Гаусс ввел также обратную функцию, которую он назвал “универсальнейшим лемнискатическим синусом”.
В 1827-1829 гг. были опубликованы труды Н. Абеля, посвященные эллиптическим функциям. Исследуя эллиптический интеграл первого рода в форме
Абель помимо обратной функции x = ц( y ) вводит в рассмотрение еще две функции также являющиеся эллиптическими. Определив эти функции ц( y ), f ( y ), F ( y ) для чисто мнимого аргумента, он на основании теорем сложения распространил далее определения этих функций на область комплексной переменной.
В сентябре 1827 года (в том же самом месяце, когда появился первый труд Абеля) была опубликована заметка К. Якоби, посвященная преобразованию эллиптических интегралов. Свой основной труд по теории эллиптических функций, в котором представлена развернутая теория эллиптических функций, К. Якоби опубликовал в 1829 г..
эллиптический функция якоби фурье вейерштрасс
В математике эллиптические функции Якоби являются набором основных эллиптических функций, и вспомогательными тета-функциями, которые обладают исторической важностью, а также имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение sn для sin . Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сказано на основе эллиптических функций Вейерштрасса, однако они не выводятся из моды. Они были открыты Якоби, в 1827 году.
В данной курсовой работе будут рассмотрены эллиптические функции зависящие от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье, так же их связь с -функцией Вейерштрасса.
Исторически первыми были подробно исследованы эллиптические функции, зависящие лишь от одного параметра, а поэтому обладающие меньшей общностью.
Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби
как функцию верхнего предела ц и одного параметра 0 < k < 1. Из определения (1) очевидно, что функция u (ц) определена для любого вещественного значения . Ее производная
конечна и отлична от нуля, и, поскольку du/d ц > 0, функция u (ц) является монотонно возрастающей.
Обратная к u (ц) функция (то есть зависимость интервала интегрирования от величины интеграла (1)) называется амплитудой, и для нее принято следующее обозначение:
ц( u )=am( u ; k ) или ц=am( u ). (2)
Функция ц=am( u ), являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла первого рода (1), определена для любого значения u , непрерывна и имеет конечную производную
которые, как нетрудно видеть, являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми функциями от переменной u .
Функции (3) впервые были введены К. Якоби и называются эллиптическими функциями Якоби. Для этих функций в настоящее время приняты следующие обозначения:
Из определений (3) непосредственно следует, что рассматриваемые функции Якоби связаны между собой простыми соотношениями:
так что каждые две из этих функций легко могут быть выражены через третью.
Покажем далее, что эллиптические функции Якоби (4) вещественного аргумента u являются периодическими, причем sn u и cn u имеют вещественный период 4 K , а функция dn u обладает действительным периодом 2 K , где K -- полный эллиптический интеграл первого рода вида:
Для этого докажем сначала, что при увеличении переменной u на 2 K функция амплитуды (2) ц=am( u ) возрастает на величину , то есть что
В самом деле, поскольку подынтегральное выражение (1.1) на отрезке 0?ц? симметрично относительно ц= / 2, то
Осуществить замену t ' = t ?р, тогда будем иметь
Полученное равенство свидетельствует о том, что при увеличении эллиптического интеграла первого рода (1) на 2 K его амплитуда возрастает на р, что и доказывает соотношение (6).
На основании (6) и (4) сразу устанавливаем искомые условия периодичности:
Нули функции sn u , согласно (4), определяются из условия
так что, как следует из (1), (7) и (8), функция Якоби sn u от вещественной переменной u обращается в нуль при
Функция cn u , как следует из (4), обращается в нуль, когда
ц =am( u ) = р / 2 + р n, n = 0,±1, ...
Следовательно, нулями функции cn u являются вещественные значения
u = ( 2n ?1) K , n = 0,±1, ... (11)
В то же время при 0< k <1, как следует из (4), функция dn u не обращается в нуль ни при каких действительных значениях переменной u .
Введенные эллиптические функции Якоби (4) нетрудно обобщить и на случай комплексного аргумента u . Для этого обратимся к тета-функциям Якоби и рассмотрим функции вида
и учитывая ++=0, в случае действительных инвариантов заключаем, что условию (13) соответствует вещественность всех корней , = 1?2, =?1, так что дискриминант D характеристического уравнения положителен. Поэтому при выполнении условия (13) сразу находим
= K ( k ), = iK ( k '), =?1. (14)
Здесь по-прежнему K ( k ) -- полный эллиптический интеграл первого рода, k ' = , а согласно (7), k = -- модуль полного эллиптического интеграла. С другой стороны, как следует из (13) для справедливо также представление
в котором, q = exp( i рф), ф= ?, то есть
Из вида правой части выражения (12) и следует, что нули функции от комплексной переменной z совпадают с нулями функции , которые, имеют простые (не кратные) нули вида
где n и m -- целые числа, = K ( k ), = iK ( k ?).
Полюса функции ( z ) () как нетрудно видеть, совпадают с простыми нулями тета-функции , которые определяются равенством
Функция ( z ) имеет основные периоды и обладает периодами и =2[ K ( k ) + iK ( k ?)], а имеет основные периоды и = i 4 K ( k ?), так что любой другой период рассматриваемых функций ( z ) () представляется в виде
При вещественных значениях z = u , как следует из (8)-(11) и (16)-(18), эллиптические функции Якоби sn u , cn u , dn u и, соответственно, функции ( u ), ( u ) и ( u ) обладают одинаковыми периодами, нулями (функции dn u и при вещественных значениях аргументов не обращаются в нуль) и не содержат полюсов). Аналитически продолжим область определения функций Якоби (9.1.4) на комплексную плоскость так, чтобы нули, полюса и периоды этих функций определялись соответственно выражениями (16), (17) и (18). Тогда, согласно теореме Лиувилля будем иметь
где () -- постоянные величины. Для нахождения этих постоянных подставим в первое выражение (19) вещественное значение z == K ( k ), тогда, учитывая (4) и определение полного эллиптического интеграла первого рода, получим
И поскольку 0 < k < 1, то из (20) будем иметь
Аналогично после подстановки в два последних выражения (19) z = u = 0,
Таким образом, на основании (19), (22) и (23), для эллиптических (мероморфных двоякопериодических) функций Якоби в комплексной области (в случае комплексного аргумента) будем иметь следующие определения
где, как следует из (13), (14), = K ( k ),
Мероморфной называется аналитическая функция, не содержащая в конечной части комплексной плоскости других особых точек, кроме полюсов.
Так как функция является нечетной, а тета-функции , и -- четные функции, то из (24) следует, что sn z является нечетной функцией от комплексной переменной z , а cn z и dn z -- четные функции.
Согласно (24), (17) и (18), эллиптические функции Якоби, как и ?-функция Вейерштрасса, являются эллиптическими функциями второго порядка (число полюсов в основном параллелограмме периодов , равно двум), но оба полюса (в основном параллелограмме периодов) однопараметрических функций Якоби sn z , cn z и dn z от комплексной переменной z являются простыми (не кратными), тогда как двухпараметрическая функция ?( z ) обладает в основном параллелограмме периодов одним двукратным полюсом.
На основании (16)-(18) в таблице 1(в которых m и n -- целые числа, включая нуль, то есть n , m = 0, ±1, ...) приведены значения нулей, полюсов и периодов эллиптических функций Якоби, определяемых выражениями (24).
При этом основными периодами для функции sn z являются =4 K ( k ), = i 2 K ( k ?), для функции cn z - = 4 K ( k ), =2( K ( k )+ iK ( k ?)), а для dn z -=2 K ( k ), = i 4 K ( k ?)
Формулы преобразования тета-функций Якоби (24), представлены в таблице 2.
В таблице 3 приведены результаты, соответствующие базовым унимодулярным S и Q -преобразованиям для функций Якоби.
В частности, для S -преобразования с учетом (21) и результатов, приведенных в таблице 3, имеем
поскольку, согласно (13) и (21)-(23), ,
а следовательно, после S -преобразования дополнительный модуль ( k ?)* будет равен
или, с учетом замены переменных ц = р? 2 ? ц*,
так что унимодулярное S -преобразование для функций Якоби, согласно определениям (24), отвечает формальному переходу к переменной z * = k ? z и новому параметру k * = ik/k ?. Поэтому из (24), например, для функции cn( z *; k *) будем иметь
Аналогично для Q -преобразования, получим
и, учитывая, что при этом преобразовании согласно (14), будем иметь
то есть z *=? iz , k *= k ?. Тогда, например, для Q -преобразования из (24), в согласии с таблицей 3, непосредственно следует равенство
Полагая в (25) z *= iu (то есть z = ? u , так как для Q -преобразования z * = ? iz ), мы сразу получаем выражение для функции от мнимого аргумента через
функцию от действительного аргумента
При k <1/2 () вычисления функций Якоби целесообразно производить непосредственно по выражениям (24), а в случае k >1/2 необходимо воспользоваться Q -преобразованием, которое, приводит к следующим представлениям:
где , а для параметра в случае k >1/2 будет выполняться неравенство q *< exp(-р), что обеспечит достаточно быструю сходимость рядов для тета-функций.
Так как при вещественных значениях аргументов функции Якоби sn u , cn u , dn u удовлетворяют условию теоремы Дирихле, то для них могут быть построены соответствующие ряды Фурье.
Функция f ( x ) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (? l , l ), если она или непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода (когда пределы “слева и справа” от точки разрыва являются конечными величинами), и если, кроме того, интервал (? l , l ) можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых f ( x ) меняется монотонно.
Рассмотрим сначала функцию sn u . Пусть , тогда при изменении x в интервале от 0 до 2р переменная u будет изменяться в пределах от 0 до 4 K ( k ). Поэтому функция sn u , имеющая, как было установлено в разделе 1, вещественный период, равный K ( k ), будет являться по переменной x периодической функций с периодом 2р.
В случае комплексного аргумента, учитывая, что второй (чисто мнимый) период функции sn z равен = i 2 K ( k ?), устанавливаем, что функция периодична с периодами и где
Поскольку sn u является нечетной функций, то ее разложение в ряд Фурье будет иметь вид
Учитывая, что sn[2 K ( k ) ? u ] = sn u , после замены переменной x в (2.1) на р? x , получим
Сопоставляя (2.1) и (2.2), находим, что и
При этом для коэффициентов ряда (2.3) ввиду ортогональности тригонометрических функций будем иметь следующее выражение:
Для вычисления коэффициентов (2.4) рассмотрим интеграл по замкнутому контуру
в котором в качестве контура L выбран параллелограмм с вершинами в следующих точках комплексной плоскости (см. рис. 1): ?р, р, р+рф и ?р + рф, причем
поэтому интеграл (2.5) представим в виде
Заменим теперь во втором интеграле (2.6) переменную z на z + рф. Тогда, поскольку (см. таблицу 2 предыдущего раздела)
где, согласно (15), q = exp( i рф), из (2.6) получим
Следовательно, искомые коэффициенты , определяемые (2.4), выражаются через интеграл (2.5) в виде
Интеграл (2.5) легко вычисляется на основании теоремы о вычетах, согласно которой интеграл от аналитической функции, взятый по замкнутому контуру, равен произведению 2р i на сумму вычетов всех особых точек, охватываемых этим контуром.
Согласно (17), внутри параллелограмма, образованного на рис. 1 контуром L , функция
имеет только два полюса первого порядка
Поскольку, как следует из результатов, приведенных в таблице 2,
то sn z ~ z при z >0. Следовательно, вычеты функции f ( z ) относительно полюсов z 1 и z 2 равны
Таким образом, на основании теоремы о вычетах получим
Тогда из (2.8) для коэффициентов (2.7) окончательно будем иметь
а поэтому искомое разложение (2.3) представимо в следующем виде:
Данное разложение в ряд Фурье справедливо и для комплексных величин u = z при условии, что |Im( z )|< K ( k ?), или |Im( x )|<рф / 2 при x = то есть в полосе, где функция sn z , или sn не имеет полюсов. Здесь, как и ранее, предполагается, что 0 < k <1.
В указанной области совершенно аналогично можно установить справедливость следующих разложений:
И, наконец, на основании (3), (4), для функции амплитуды am( u ) находим
Следовательно, согласно (2.11), будем иметь
Обратимся к первому из равенств (2.12), которое, с учетом (22), представим в виде:
а из (13) и (14) следует, что , то будем иметь
после перехода в выражении для функции Якоби sn z от аргумента z к новому аргументу и перемножения одноименных частей равенств (3.1) и (3.2) получим следующее соотношение, связывающее ?-функцию Вейерштрасса с функцией Якоби sn u :
Здесь и -- параметры ?-функции Вейерштрасса, и для них, в общем случае, не выполняется условие (13).
Аналогично на основании (23), (24) могут быть получены еще два соотношения:
устанавливающие взаимосвязь функций Якоби с ?-функцией Вейерштрасса.
Последние три равенства (3.4) и (3.5), если исключить из них ?( z ) так же, как и в случае вещественных значений аргументов, позволяют для функций Якоби обнаружить справедливость двух соотношений вида (5)
sn z+ cnz=1, dnz+ k snz = 1, (3.6)
в которых, с учетом того, что для функций Якоби уже выполняется условие (13),
В то же время, используя представления ?-функций через сигма-функции Вейерштрасса, из (3.4) и (3.5) непосредственно находим
Выбор знаков в правых частях соотношений (3.7) обусловлен асимптотическим поведением ?-функции в окрестности z =0 в виде (+1/ z ). При этом было также учтено, что сигма-функция Вейерштрасса является нечетной: , i =1,3, так что при z >0, поскольку у( z )~ z , имеем cn(0) = 1, sn( z )~ z .
В (3.7) постоянные и выражаются через дзета-функцию Вейерштрасса в виде
Учитывая теперь ранее найденные соотношения между функциями Якоби и функциями Вейерштрасса, получим дифференциальные уравнения для функций Якоби. Согласно (3.5) и (3.6), в случае положительного значения дискриминанта (D) характеристического уравнения, имеем следующее равенство
С другой стороны, непосредственное дифференцирование по переменной z обеих частей выражения (3.4) приводит к следующему равенству:
в котором, как следует из (3.3), u .
Дифференцируя далее по переменной u соотношения вида (3.6)
найдем всю систему искомых уравнений:
которую, если воспользоваться соотношениями (3.10) и (14), можно представить в виде
Покажем теперь, что выражения (1)-(4) оказываются справедливыми и для случая комплексных значений аргумента u = z . В самом деле, пусть комплексная величина ц определяется уравнением sn z = sinц, тогда, согласно дифференциальному уравнению для функции sn z , имеем
Таким образом, действительно определение функции амплитуды ц = am( z ; k ) в случае комплексных значений z совпадает с (2)-(3), так что из (3.6) приходим к определениям, аналогичным (4),
Дифференциальные уравнения (3.12) позволяют найти ряды Тейлора (Маклорена) и Лорана для функций Якоби. Действительно, из (3.11) следует, что производная любого порядка от функций Якоби может быть выражена в виде полинома от всех трех функций Якоби. Так, например,
Указанное обстоятельство с учетом того, что согласно (3.14) и (3.15), sn(0)=0, cn(0)=dn(0)=1, и позволяет получить следующие тейлоровские разложения):
каждое из которых, как следует из результатов, представленных в табл. 1, будет сходиться при | u |< K ( k ?).
На основании данных табл. 2, а также представлений (3.16), нетрудно получить лорановские разложения в окрестности полюсов функций Якоби. Так, для нечетной функции sn z в окрестности особой точки z = iK ( k ?) (которая в табл. 1 определяется условиями n =0, m =1) из табл. 2 следует равенство
подставляя в которое соответствующее тейлоровское разложение (3.16), будем иметь
Таким образом, точка z = iK ( k ?) является полюсом первого порядка функции sn z , причем, как и было показано в предыдущем разделе, вычет этой функции относительно указанной точки z равен 1/ k .
Рассмотрим теперь другую особую точку =2 K ( k )+ iK ( k ' ), также располагающуюся в основном параллелограмме периодов. Поскольку справедливо равенство
то, заменяя в выражении (3.17) переменную z на z ?2 K ( k ) и подставляя это выражение в последнее равенство, получим
так что точка является также простым (не кратным) полюсом функции sn z . Вычет относительно этого полюса равен (?1/ k ).
Аналогичным образом находятся лорановские ряды для функций Якоби cn z и dn z . Эти разложения в окрестности особых точек основного параллелограмма периодов (см. табл. 1), имеют вид
Из (3.17)-(3.19) следует, что для каждой из функций Якоби сумма вычетов относительно всех ее полюсов в основном параллелограмме периодов равна нулю.
Рассмотрим эллиптические функции от комплексной переменной u вида
S ( u ) = sn u sn( u + v ), C ( u ) = cn u cn( u + v ), D ( u ) = dn u dn( u + v ), (4.1)
в которых v -- некоторое произвольное комплексное число, но такое, что
Из результатов табл. 2 нетрудно видеть, что все функции (4.1), в отличии от функций Якоби sn u , cn u , dn u , будут уже обладать основными периодами, равными = 2 K ( k ) и = 2iK ( k ?). Кроме того, согласно данным табл. 1, в основном параллелограмме периодов (,) функции (4.1) имеют одни и те же полюсы Поэтому поскольку
то выберем постоянные A и A так, чтобы функции C ( u ) + A S ( u ) и D ( u ) + A S ( u ) вообще не имели полюсов, то есть формально определим эти постоянные в виде
Но, как следует из теоремы Лиувилля, эллиптические функции, не имеющие полюсов, должны быть тождественно постоянными, так что оказываются справедливыми следующие равенства:
Для определения постоянных A ? A учтем, что, согласно (3.14)-(3.15), cn0=dn0=1, sn0=0, поэтому при =0 из (4.3) будем иметь A =cn v , A =dn v . Дифференцируя затем по переменной u , с учетом (3.11), каждое из равенств (4.3) и полагая опять u =0, получим = dn v , = сn v . При этом ввиду предположения (9.5.2), величины A ? A отличны от тождественного нуля.
В самом деле, с учетом того, что один из периодов функций (9.5.1) равен = i 2 K ( k ?), а функции Якоби cn z , dn z -- четные, в то время как sn z -- нечетная функция, то, обозначая для упрощения записи K ( k ?) через K ?, имеем:
C (? v + iK ?)=cn(? v + iK ?)cn( iK ?)=cn(? v ? iK ?)cn(? iK ?)=cn( iK ?)cn( iK ?+ v )= ( iK ?),
S (? v + iK ?=sn(? v + iK ?)sn( iK ?)=sn(? v ? iK ?)sn(? iK ?)=sn( iK ?)sn( iK ?+ v )= S ( iK ?),
D (? v + iK ?)=dn(? v + iK ?)dn( iK ?)=dn(? v ? iK ?)dn(? iK ?)= D ( iK ?).
Таким образом, выражения (4.3) можно представить в следующем виде:
Если теперь заменить в (4.4) переменную u на (? u ), а затем v на v + u , то будем иметь:
cn u cn v ? dn( u + v ) sn u sn v = cn( u + v ),
dn u dn v ? k 2cn( u + v ) sn u sn v = dn( u + v ).
Разрешая последнюю систему относительно cn( u + v ) и dn( u + v ) и учитывая (3.10) и первое из соотношений (4.4), получим искомые формулы (теоремы) сложения для эллиптических функций Якоби:
При k =0, как нетрудно видеть, первые два соотношения (4.5), согласно (3.14), (3.15), представляют собой формулы сложения для тригонометрических функций
Из соотношений (4.5) при v = u непосредственно следуют формулы удвоения:
В свою очередь, из (4.6) и (3.10) имеем
и, заменяя переменную u на u /2, получаем формулу для “половинного аргумента”:
Следовательно, согласно (3.10), имеем
Так что при u = K ( k ) на основании данных табл. 2 получим
где k и k ? -- соответственно модуль и дополнительный модуль полного эллиптического интеграла K ( k ).
Если же воспользоваться первым соотношением (3.5) и учесть, что основной полупериод (для случая положительного значения дискриминанта характеристического уравнения ?-функции Вейерштрасса определяется выражением
то сразу получим следующее весьма важное для приложений выражение:
Аналогично из (3.4), учитывая, что согласно
или, поскольку, как следует из (26), (4.9) и (21),
Из теорем (формул) сложения для функций Якоби непосредственно следует формула сложения для эллиптических интегралов первого рода (3.15). Действительно, определим, согласно (3.13)-(3.14), функции амплитуды в виде
являются эллиптическими интегралами первого рода в форме Якоби. Тогда, определяя величину так, чтобы
sn( u + v ) = sin, cn( u + v ) = cos, (4.14) то есть, согласно (3.13)-(3.14), = am( u + v ; k ), для эллиптического интеграла
на основании (4.13) с точностью до линейной комбинации периодов 4 K ( k ) и i 2 K ( k ?), поскольку, как следует из (4.14) и данных, приведенных в табл. 1, величина инвариантна относительно указанных периодов, будем иметь
F (ч; k ) = F (ц; k ) + F (ш; k ). (4.15)
При этом, согласно (3.14), а также формулам сложения (4.5), величина должна удовлетворять равенствам:
В частности, если ч = ц + i ш ( i 21=?; ц и ш -- вещественные величины), так что
и учитывая, что, согласно (4.17) (см. также (3.13)-(3.15)),
Здесь ch ш =cos( i ш ), sh ш =? i sin( i ш ) ( i =-1) -- соответствующие гиперболические функции.
Но так как из результатов, приведенных для Q -преобразования в табл. 3 следует, что
то на основании (4.19) с учетом формул сложения (4.5), будем иметь
из (4.17)-(4.18), а также (4.21) и (3.14) получим искомое равенство
в котором по-прежнему через F (...) обозначены эллиптические интегралы первого рода, а величины л и м определяются из следующих уравнений:
Приравнивая вещественные и мнимые части каждого из уравнений (4.23), окончательно находим
а = ctg -- положительный корень уравнения
При интегрировании эллиптических функций возникает проблема, связанная с определением значения аргумента -функции Вейерштрасса по величине этой функции. Аналогичная ситуация также возникает и при нахождении постоянных интегрирования по заданным начальным условиям.
Поэтому рассмотрим задачу определения значения z из уравнения
(то есть проблему обращения ?-функции Вейерштрасса). Здесь б и в -- произвольные вещественные величины.
Из свойств ?-функции следует, что решение данной задачи неоднозначно, так что для выбора единственного решения будем также считать, что задана производная ?-функции:
и пусть дискриминант D характеристического уравнения положителен, то есть D > 0. В этом случае, согласно (3.4), для ?-функции Вейерштрасса справедливо следующее представление:
а аргументы s и н связаны с переменными (5.3) v , u соотношениями
Используя затем функцию амплитуды (вида (3.15)), определим вещественные величины ц и ш следующим образом:
Тогда из (5.4) с учетом (5.1) и (3.14) после несложных преобразований будем иметь
Следовательно, вводя, как и в предыдущем разделе, обозначения
из (5.7) получим для x и y следующую систему уравнений:
Если теперь воспользоваться формулой (теоремой) сложения (4.22) для эллиптических интегралов первого рода
то, согласно (5.6) и (4.17)-(4.18), будем иметь
s = F ( ; k ), v = F ( ; k ' ) (5.10)
а следовательно, с учетом (5.5), получим
где л, м определяются выражениями (4.24), (4.25), в которых величины x и y находятся из (5.9).
Решение z = u + iv , определяемое (5.11), является (если оно располагается в основном параллелограмме периодов) одним из двух возможных решений уравнения (5.1) в основном параллелограмме периодов ?-функции Вейерштрасса. Другое решение, имеет вид z = 2(щ + щ) ? z , или
Займемся теперь поиском того решения, которое отвечает условию (5.2). Для этого, учитывая, что, согласно (26),
вычислим на основании выражений (5.4)-(5.5), (5.11), а также определений (3.14) и (3.15), значения ?( u ) и ?( iv ), которые будем обозначать соответственно через p и q :
Затем воспользуемся формулой сложения для ?-функций Вейерштрасса, согласно которой
Дифференцируя по переменной z = u + iv обе части этого уравнения, после несложных преобразований будем иметь
а ?( u 2) и ?( iv 2) также определяются соответствующими выражениями (5.13), то из (5.14) и условия (5.2) следует, что
причем при разу находим =, а в случае получим
Заключаем, что в случае отрицательного знака b при sign( b ) = + из двух возможных решений (5.11) и (5.12) реализуется то, которое располагается в области , , а при sign( b ) = ? следует выбирать решение, для которого , . Если же sign( b ) = +, то при sign( b ) = + искомое решение располагается в области , , а при отрицательном знаке b истинное решение находится в области , .
Пусть теперь дискриминант D характеристического уравнения отрицателен D < 0. Для нахождения в этом случае взаимосвязи ?-функции Вейерштрасса с эллиптическими функциями Якоби обратимся к эллиптическому интегралу первого рода в форме Вейерштрасса
Из (6.16), в частности, следует, что абсолютное значение z приведенного эллиптического интеграла является результатом обращения ?-функции Вейерштрасса w = ?( z ).
Поскольку при D < 0 (когда г= a ± ib , г= ?2 a )
то, переходя в (5.16) от w к новой переменной ф, так что
причем , после очевидных преобразований получим
где k =, Следовательно, согласно (3.13)-(3.15) и (5.17), будем иметь
Здесь аргументы s и связаны с переменными (5.3) v , u соотношениями (5.5), в которых следует считать h =2. Вводя далее, как и ранее, вещественные величины ц и соотношением (5.6), из выражений (5.1) и (5.18) получим
cos(ц + i ш) = r + if ( i 21=?), (), (5.19)
Тогда величины x =sinц, y =shш, согласно (5.19), будут определяться системой уравнений
Аналогично случаю положительного дискриминанта, на основании (5.11), с учетом (5.20), могут быть затем определены аргументы u 1 и v , представляющие собой одно из решений ( z = u + iv ) уравнения (5.1). И, наконец, определяя значения p = ?( u ) и q = ?( iv ), согласно (5.18), (5.11), из выражений
и используя соотношение (5.14) для знаков величин ?' и ??, мы получим представление (5.15).
Так как в рассматриваемом случае D < 0, основной параллелограмм периодов можно представить в виде четырех треугольников
из которого при z = iv и вещественных значениях инвариантов g , g следует, что
Таким образом, для нахождения однозначного решения уравнения (5.1) достаточна лишь информация о знаках величин и . Более того, из теоремы (формулы) сложения и свойств однородности для ?-функций Вейерштрасса следует, что
Поэтому, поскольку то, согласно (5.1)-(5.3) и (5.15), имеем
и, значит, учитывая (5.15), заключаем, что для однозначного обращения ?-функции Вейерштрасса достаточно установить только один знак -- либо , либо
Основным результатом данной курсовой работы является введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье. Так была же их связь с -функцией Вейерштрасса.
Представляется перспективным тщательное численное изучение введенных здесь функций.
1. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций., М., Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948. _ 292 с.
2. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра: Пер. с англ. Н.Я. Виленкина., М.:Наука, 1965. - 286 с.
3. Гурвиц А., Курант З. Теория функций / Пер. с нем. М.А.Евграфова., М.: Наука, 1968. _ 648 с.
4. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стигана / Пер. с англ. под ред. В.А. Диткина и Л.Н. Кармазиной., М.: Наука, 1979. _ 832 с.
5. http://www-groups.dcs.st-and-ac.uk/history/HistTopics/Elliptic_functions.html
6. http://www.amazon.com/gp/product/0521658179/102-7179032-3651324
7. http://www.du.edu/ jcalvert/math/jacobi.html

Общие свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. Параллелограммы периодов, основные теоремы. Эллиптические функции второго порядка. Вычисление длины дуги эллипса, эллиптические координаты, сумма вычетов эллиптической функции. курсовая работа [289,0 K], добавлен 26.04.2011
Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013
Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x). презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013
Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные си
Эллиптические функции Якоби курсовая работа. Математика.
Контрольная работа: Основы агрохимии и почвоведения
Реферат: Физические процессы в магнитных материалах
Реферат: Лон Нон
Характеристика Госпожи Простаковой Из Комедии Недоросль Сочинение
Курсовая работа по теме Проектирование приводной станции к кормораздатчику
Виды Конструкционных Материалов Реферат
Отчет По Преддипломной Практике Бухгалтера Основные Средства
Дипломная работа по теме Динамика движения крови в кровеносных сосудах
Беременность и лекарственные препараты
Моделирование загрязнения атмосферы выбросами из низких источников
Реферат: Межкультурные различия и способы адаптации к ним. Скачать бесплатно и без регистрации
Шпаргалка: Финансы, деньги и налоги
Реферат На Тему European Monetary Union: Theory, History And Consequences
Дипломная работа по теме Разработка стратегии развития бизнес-инкубаторов (на примере Новошахтинского зонального бизнес-инкубатора)
Реферат: Эллино-римский период античной философии. Скептицизм. Стоицизм
Отчет По Практике Ферма Крс
Эссе по теме Что такое лень и как с ней бороться
Как Писать Сочинение Огэ 9.3
Сочинение Миниатюра 5 Класс По Русскому Языку
Сочинение Рассуждение По Рассказу Радуга
Денди и дендизм в русской культуре XIX века - Литература курсовая работа
Учет расчетов с покупателями и заказчиками за товары и услуги - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа
Наноэлектроника - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника реферат