Эквивалентность двух определений выпуклости

Покажем, что два следующих определения выпуклости многоугольников эквивалентны:

Определение 1 Многоугольник называется выпуклым, если любой отрезок, соединяющий две точки многоугольника лежит внутри этого многоугольника.

Определение 2 Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону относительно всех прямых, проходящих через стороны.

Определение 1 => Определение 2:

От противного. Пусть есть сторона такая, что относительно прямой, проведенной через эту сторону, многоугольник лежит с обеих сторон.

Эта прямая на рисунке обозначена черным цветом, многоугольник обозначен коричневым (сторона, где находится его внутренность, заштрихована). Тогда видно, что найдутся две красные точки, такие, что соединяющий их синий отрезок будет частично лежать вне многоугольника, что противоречит первому определению выпуклости.

Определение 2 => Определение 1:

Опять от противного. Пусть нашелся отрезок, соединяющий две точки многоугольника, который не полностью лежит внутри него.

На рисунке опять коричневым обозначен многоугольник (его внутренность заштрихована). Нашлись две красные точки внутри многоугольника, такие, что соединяющий их синий отрезок не полностью лежит внутри многоугольника. Это означает, что на синем отрезке найдется зелёная точка вне многоугольника. Рассмотрим отрезок, соединяющий зелёную точку и верхнюю красную точку. Зелёная точка находится вне многоугольника, а красная внутри, значит этот отрезок обязан пересесть многоугольник по некоторой стороне. Но тогда понятно, что прямая, проходящая через эту сторону делит плоскость на две части, причем с обеих сторон найдутся точки внутри многоугольника (например две красные точки). Это противоречит второму определению выпуклости.