Діафантові рівняння - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Діафантові рівняння

Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Міністерство освіти і науки України
Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова
Приблуди Ірини Андріївни Науковий керівник:
Канд. фізико-математичних них наук
Розділ І. Загальні теоретичні відомості
2. Невизначені рівняння вищих порядків.
2.3 Невизначене рівняння третього порядку
Розділ ІІ. Приклади розв'язання діофантових рівнянь
1. Розв'язування лінійних діофантових рівнянь.
2. Розв'язування діофантових рівнянь вищих порядків.
Діофант представляє одну із найцікавіших особистостей в історії математики. Ми не знаємо, ким був Діофант, точні роки його життя, не відомі його попередники, які працювали у тій же сфері, що й він.
Дуже цікавою є діяльність Діофанта. До нас дійшло 7 книг із 13, які були об'єднані в «Арифметику». Стиль і зміст цих книг дуже відрізняється від класичних книг з теорії чисел та алгебри, зразки яких ми знаємо з «Начал» Евкліда, лем Архімеда і Аполлонія. «Арифметика», безсумнівно, є результатом багаточисленних досліджень, велика кількість з яких залишилась нам невідомою.
«Арифметика» Діофанта - це збірник задач (їх всього 189), кожна з яких має розв'язок і необхідні пояснення. В збірник входять різноманітні задачі, і їх розв'язки дуже часто не так просто зрозуміти. Діофант практикувався у знаходженні розв'язків невизначених рівнянь вигляду ?? , або систем таких рівнянь. Його цікавили тільки додатні цілі числа і раціональні розв'язки. Ірраціональні розв'язки він називав «неможливими» і ретельно підбирав коефіцієнти так, щоб отримати шукані додатні, раціональні розв'язки.
Тому ,зазвичай, довільне невизначене рівняння (але, як правило, з цілими коефіцієнтами)називають «діофантовим», якщо хочуть наголосити на тому, що рівняння слід розв'язувати в цілих числах.
Невизначені рівняння першого степеня почали розглядати математики, приблизно в V столітті. Деякі такі рівняння з двома, трьома невідомими з'явились у зв'язку з проблемами, які виникли в астрономії, наприклад, при розгляді питань, пов'язаних з визначенням періодичного повторення небесних явищ.
В 1624 році була опублікована книга французького математика Баше де Мезирьяка , у якій для розв'язку рівняння ????+????=?? фактично застосовується процес, що зводиться до послідовного визначення неповних часткових підхідних дробів.
Після Баше в XVII і XVIII століттях різні алгоритми для розв'язку невизначеного рівняння першого степеня з двома невідомими давали Роль, Ейлер та інші математики.
Ланцюгові дроби для розв'язку таких рівнянь були застосовані вперше Лагранжем. Пізніше діофантові рівняння стали записувати і розв'язувати у формі конгруенцій.
У серпні 1900 року в Парижі відбувся ІІ міжнародний конгрес математиків. 8 серпня Д. Гільберт прочитав на цьому конгресі доповідь «Математичні проблеми». Серед 23 проблем, розв'язок яких, як вважав Гільберт, було необхідно отримати в наступному XX столітті , десяту проблему він сформулював наступним чином:
«Нехай задано діофантове рівняння з довільним числом невідомих і раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можна після скінченного числа операцій встановити, чи розв'язне це рівняння в цілих числах ».
Гіпотезу, що такого способу не існує, першим сформулював (з вагомими на те доказами) американський математик М. Девіс у 1949 році. Доведення цієї гіпотези затягнулося на 20 років - останній крок був зроблений в 1970 році Юрієм Володимировичем Мятиясеєвичем , на першому році аспірантури він показав алгоритмічну нерозв'язність 10 -ї проблеми Гільберта.
Проте, якщо про довільне діофантове рівняння не можна сказати чи має воно цілі корені, чи не має, то проблема існування цілих коренів лінійного діофантового рівняння розв'язана.
Курсова робота складається з двох розділів. У першому розділі розглядаються лінійні діофантові рівняння, основні теореми, що дають можливість знаходити розв'язки цих рівнянь або визначати їх кількість, а також деякі невизначені рівняння вищих порядків , що розв'язуються в цілих додатних числах за відомими алгоритмами.
У другому розділі наведені приклади лінійних діофантових рівнянь, рівнянь другого і третього порядку, показані різні методи їх розв'язання. Застосовується техніка від розгляду елементарних конгруенцій до використання більш тонких результатів теорії алгебраїчних чисел. В додаток до доведень існування чи не існування розв'язків ми отримуємо також результати про їх кількість.
Розділ І . Загальні теоретичні відомості
Д іофантовим рівнянням першого степеня з ?? невідомими називається рівняння вигляду
де всі коефіцієнти і невідомі - цілі числа і хоча б одне
Розв'язком діофантового рівняння (1) називається комплекс цілих чисел , які задовольняють це рівняння.
Якщо рівняння (1) однорідне, то відмінний від (0, … ,0) розв'язок називається нетривіальним. Розв'язок рівняння (1) в раціональних числах називається раціональним.
При взаємно простих коефіцієнтах діофантове рівняння
Позначимо через М множину тих додатних цілих чисел ??, для яких рівняння
Має розв'язки в цілих числах. Множина М, очевидно, не порожня, оскільки при заданих можна підібрати цілі значення, так щоб було додатним числом.
В множині М існує найменше число, яке ми позначимо через ?? (??). позначимо через , цілі числа такі, що
Ми підібрали цілі значення: , такі, що = ??, але , а ?? - найменше додатне число в М, тобто ?? не може бути додатним, ??.
Ми бачимо, що ?? - спільний дільник чисел . Отже, оскільки () = 1, 1, ?? = 1, 1, то рівняння (2) розв'язне в цілих числах. Теорему доведено.
Нехай ?? - найбільший спільний дільник коефіцієнтів . Діофантове рівняння
має розв'язки тоді і тільки тоді, коли ?? . Кількість розв'язків такого рівняння дорівнює нулю, або нескінченності.
Доведемо послідовно три твердження теореми.
існують цілі числа: , які задовольняють його, тобто такі, що
2) Нехай тепер . Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких цілих значеннях ділиться на ??, а права частина на ?? не ділиться, так, що рівність (2) при цілих значеннях неможлива.
3) Якщо - набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то, наприклад, всі набори при також задовольняють дане рівняння і, таким чином, у нас або взагалі не буде розв'язків , або їх буде безліч.
Якщо хоча б одна пара коефіцієнтів взаємно прості числа, то ?? = 1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв'язків.
1. Діофантове рівняння не має розв'язків , бо у даному випадку ?? = 3 і 100 не ділиться на 3.
2. Діофантове рівняння має нескінченну кількість розв'язків, оскільки ?? = 1.
то є розв'язком діофантового рівняння
Із випливає, що - ціле число, і безпосередня підстановка показує, що
Нехай ?? - найбільший спільний дільник чисел ?? і ?? , де і - деякий розв'язок діофантового рівняння:
Тоді множина розв'язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел ( ), де , а ?? - будь-яке ціле число.
Нехай - довільний розв'язок діофантового рівняння (4), тобто (5)
за умовою задовольняють рівняння (4), тобто
віднявши від рівності (5) останню рівність і поділивши все на ??, отримаємо:
де і - цілі числа. Тоді , причому, маємо , , , де ?? - деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення в (5), отримаємо:
Таким чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:
Обернене твердження також правильне. Нехай такий набір пар чисел, що
Тобто - розв'язок діофантового рівняння (4).
Теорема правильна і тоді, коли ?? і ?? дорівнюють нулю. Наприклад, при , тобто у випадку рівняння , отримуємо і при для ?? існує єдине значення , а ?? - довільне ціле. Будь-який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді , , і при будь-якому ?? такі задовольняють рівняння .
У цьому рівнянні (50, 42) = 2. 34. Розглянувши конгруенцію знаходимо:
Будь-який розв'язок даного діофантового рівняння має вигляд:
§2. Невизначені рівняння вищих порядків
Розв'язок невизначеного рівняння в цілих числах.
Можна взяти ??, ??, ?? такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна було б одразу скоротити обидві частини рівняння на квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що ??, ??, ?? є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад ??, ?? ділились на , то і ?? ділилось би на ??. Таким чином, одне з чисел ??, ?? повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в протилежному випадку, якщо б , то ділилось на 2, але не ділилось би на 4 і тому не було б квадратом.(Якщо . Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).
Нехай ?? - парне, ?? - непарне, тоді ?? - непарне. Візьмемо
?? і ?? - взаємно прості. Дійсно, якщо ?? і ?? мали спільний множник , то ?? містився б в , а це неможливо, бо ?? та ?? є взаємно простими.
Тому ?? та ?? повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо
Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо
Але так як ?? та ?? взаємно прості, то для кожного ?? одне із чисел дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел ?? та ?? парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:
Таким чином кожен розв'язок рівняння у взаємно простих цілих числах повинен представлятись у вигляді (5), де - взаємно прості цілі числа, із яких одне парне, а інше не парне (інакше ?? і були б парними одночасно). І навпаки, якими не були б взаємно прості цілі числа
різної парності, числа ??, ??, ?? - складені з них по формулам (5) і дають розв'язки рівняння у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все
Крім того , якщо б ?? та ділились на просте число ??, то також ділись би на ??, і так, як ?? не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності чисел , ?? і ?? непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов'язково ділиться на цей простий дільник, випливає ,що повинні ділитися на ??, а це суперечить тому, що числа є взаємно простими. Отже, ?? та ??, а також і вся трійка ??, ??,?? - взаємно прості.
Таким чином формули (5) при взаємно простих різної парності, дають всі розв'язки рівняння у взаємно простих цілих числах.
Доведення теореми Ферма для четвертих степенів.
Рівняння не має розв'язків у цілих числах, відмінних від нуля, і більше того: рівняння не має відмінних від нуля цілих розв'язків.
Припустимо, що існує система відмінних від нуля розв'язків останнього рівняння. Тоді серед цих систем розв'язків повинна існувати така, для якої ?? приймає найменше можливе значення. Покажемо, що ?? та ?? при цьому взаємно прості. Дійсно, якби ?? і ?? мали спільний дільник ??, то ?? ділилось би на ?? і цілі числа давали б систему розв'язків з меншим ??.
Як і в попередньому дослідженні рівняння , впевнюємось в тому, що із пари чисел ??, ?? одне повинне бути парним, а друге непарним.
Нехай ?? - парне. На основі виведених вище формул (5) маємо
Причому ?? і ?? - взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо ?? було парним, ?? - непарним, то мало б вигляд , що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд 4??+1. Тому , і так як і ?? та ?? взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що
де ?? і ?? взаємно прості, причому ?? непарне.
Рівність , перепишемо тепер у вигляді
де та ?? взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що
а це в поєднанні з іншою рівністю дає .
Але очевидно, , таким чином ми прийшли до рівняння того ж вигляду , але з меншим ??, що суперечить припущенню про мінімальність ??.
Кожний трикутник , сторонни сторони якого відносяться, як 3 : 4 : 5, згідно із загальновідомою теоремою Піфагора - прямокутний, оскільки .
Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел ??, ??, ??, які задовольняють відношення:
Числа ??, ??, ?? називаються піфагоровими числами . Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому ?? і ?? називають катетерами, ?? - гіпотенузою.
Зрозуміло, що якщо ??, ??, ?? є трійкою піфагорових чисел, то і ????, ????, ????, де ?? - цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.
Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник ??).
Покажемо, що в кожній із таких трійок ??, ??, ?? один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.
Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета ?? та ?? парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза ??. Це, суперечить тому, що числа ??, ??, ?? не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2??+1 та 2??+1, то сума їх квадратів рівна
тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.
Отже із катетів ??, ?? один парний, а інший непарний. Тому число непарне, а значить непарна і гіпотенуза ??.
Припустимо, для визначеності, що непарним є катет ??, а парним ??. Із рівності
Множники , правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума
Тобто числа 2??, 2??, і ?? мали б спільний множник. Так як ?? непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа ??, ??, ??, чого бути не може.
Отримана суперечність показує, що числа взаємно прості.
Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто
Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд
Де ?? та ?? - деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких ??, ?? ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях ?? та ??:
Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.
Розглянемо тепер рівняння вигляду (6).
Рівняння (6) називають невизначеним рівнянням Ферма , яке має велике значення у всій теорії діофантових рівнянь. Ми доведемо, що при кожному натуральному значенні ??, відмінному від повного квадрата, це рівняння має нескінченно багато розв'язків в цілих числах, і знайдемо загальний метод знаходження всіх його розв'язків.
Нехай ?? - ціле додатне, вільне від квадратів число і ( ) - розв'язок діофантового рівняння (6), тоді є чисельником і знаменником відповідно одного із підхідних дробів до .
Тобто - однин із підхідних дробів до . Оскільки , що задовольняють рівняння (6) є взаємно простими числами, то із рівності
Розклад в ланцюговий дріб в загальному виглядає так:
Виявляється, що розв'язками рівняння (6) можуть бути чисельники і знаменники тільки тих підхідних дробів до у яких індекс ?? має вид .
Якщо ( ) - розв'язок діофантового рівняння (6), то , де - підхідний дріб до .
Доведення. В попередній теоремі було доведено, що якщо пара цілих додатних чисел є розв'язком рівняння (6), то = , де - підхідний дріб до . Число є коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами
Повний частковий розклад в ланцюговий дріб є коренем деякого квадратного рівняння
з тим же дискримінантом, як у рівнянні (8) (при ) маємо:
- парне число, яке позначимо - 2. Розв'язуючи квадратне рівняння для ,отримаємо , тобто розклад в ланцюговий дріб повинен мати той же період, як і в розкладі (7) числа і відрізняється від нього тільки на перший член розладу. Це може бути тільки при , , . Тепер залишається тільки вияснити, які саме з чисел є розв'язками рівняння (6).
Нехай ?? - ціле додатне, вільне від квадратів число, ?? - довжина періоду розкладу в ланцюговий дріб. Ми отримаємо всі розв'язки рівняння (6) в цілих додатних числах ?? та ??, якщо візьмемо:
де ?? - довільне натуральне число, таке, що ???? парне.
В попередній теоремі було встановлено, що всі цілі додатні розв'язки рівняння (6) знаходяться серед пар вигляду . Залишається тільки вияснити, при яких ?? числа задовольняють рівняння (6).
врозкладі в ланцюговий дріб має вигляд:
Так, що підставляючи значення із формули (8), отримаємо:
Оскільки - ірраціональне, із рівності (9) випливає:
Помноживши першу з цих рівностей на , а другу на і віднявши їх, отримаємо:
Пара , буде розв'язком рівняння (6) тоді і тільки тоді, коли , тобто при парних значеннях ????. Найменшими додатними значеннями , які задовольняють рівняння Ферма (6) є:
Приклад. 1) знайти найменші цілі додатні значення ??, ??, які задовольняють рівняння
Розкладаючи в ланцюговий дріб, отримуємо:
У даному прикладі ?? = 6 - парне число, тому , - шукані значення ?? та ??. Обчислюючи , знаходимо , .
2) знайти найменші цілі, додатні значення ??, ??, які задовольняють рівняння
Розкладаючи в ланцюговий дріб отримуємо:
У цьому прикладі ??=5, найменше парне ???? дорівнює 10, тому шукані значення , . Обраховуючи, отримуємо , .
Аналогічно до рівняння (6) можна розв'язати рівняння
Теореми доведені для рівняння (6) справедливі і для рівняння (10), але замість умови парності ???? , треба поставити умову ???? не ділиться на 2. Таким чином, при парних значеннях ?? діофантове рівняння (10) не має розв'язків.
2.3 Невизначене рівняння третього степеня
Сума кубів трьох цілих чисел може бути кубом четвертого числа. Наприклад,
Це означає, що куб ребро якого дорівнює 6 см, рівновеликий сумі трьох кубів, ребра яких дорівнюють 3см, 4см, 5см.
Спробуємо знайти таке ж відношення, тобто поставимо задачу: знайти розв'язки рівняння . Зручніше позначити невідоме ?? через . Тоді рівняння буде мати більш простий вигляд
Розглянемо прийом, що дозволяє знайти безліч розв'язків цього рівняння в цілих (додатних та від'ємних)числах. Нехай ??, ??, ??, ?? та ??, ??, ??, ?? - дві четвірки чисел, що задовольняють рівняння. Додамо до чисел першої четвірки числа другої четвірки, помноженої на деяке число ??, і спробуємо підібрати число ?? так, щоб отримані числа
також задовольняють наше рівняння. Інакше кажучи, підберемо ?? таким чином, щоб виконувалась рівність
Розкривши дужки і знаючи, що ??, ??, ??, ?? та ??, ??, ??, ?? задовольняють рівняння, тобто мають місце рівності
Добуто може бути нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для ??. Перше значення, ??=0, нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа ??, ??, ??, ??, які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для ??:
Отже, знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої четвірки, помножені на ??, де ?? має вище вказане значення.
Для того щоб застосувати цей прийом, треба знати дві четвірки, що задовольняють початкове рівняння. Одну таку четвірку ми вже знаємо - (3, 4, 5, ). За другу четвірку можна взяти числа , які очевидно, що задовольняють початкове рівняння. Інакше кажучи, покладемо:
Тоді для ?? ми отримаємо наступне значення:
Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння
Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких ?? та ?? ) наступні числа:
В цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши їх. Надаючи ?? та ?? різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв'язків нашого рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на нього ці числа можна поділити. Наприклад, при ??=1, ??=1 отримуємо для ??, ??, ??, ?? наступні значення: 36, 6, 48, , або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8, . Таким чином,
Розглянемо невизначене рівняння (11). Вперше знайшов розв'язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:
Якщо ?? , ?? і ?? - попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння
Має нетривіальні розв'язки в цілих числах ?? , ?? і ?? , тоді і тільки тоді, коли мають розв'язки конгруенції
Необхідність умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.
Нехай ?? - довільний непарний простий дільник числа ??. Тоді із (12) випливає, що конгруенція маж нетривіальний розв'язок, наприклад, . В такому випадку форма розкладається по модулю ?? на лінійні множники:
Такий же розклад правильний для форми , тобто має місце рівність
де - цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних простих дільників ?? коефіцієнтів ?? і ??, а також ?? = 2, так, як
Знайдемо тепер такі лінійні форми , щоб виконувались рівності
Для всіх простих дільників ?? коефіцієнтів ??, ?? і ??. Тоді із рівності (13) отримаємо
Будемо надавати змінним цілі значення, які задовольняють умови
Якщо виключити із розгляду тривіальний випадок (для нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа ??, ?? і ?? є взаємно простими, випливає що не всі числа , , будуть цілими. Значить, число наборів (??, ??, ??), що задовольняють умови (15), строго більше, ніж . Розглянемо значення, які приймає лінійна форма при цих значеннях змінних. Так, як число наборів (??, ??, ??) з умовою (15) більше числа лишків по модулю ??????, то для двох різних наборів (, , ) і (, , ) маємо
Звідси, в силу лінійності форми , отримаємо, що при , , виконується конгруенція
Оскільки для наборів (, , ) і (, , ) виконується (15), то
Остання нерівність сумісна із конгруенцією (16) лише в тому випадку, коли
Перший випадок дає нетривіальний розв'язок, (, , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11) випливає із тотожності
Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11).
Розділ ІІ . Приклади розв'язання діофантових рівнянь
§1. Приклади розв'язання лінійних діофантових рівнянь
Задача1. Розв'язати лінійне діофантове рівняння:
Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розв'язків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними ?? та ??.
Знаючи, що ?? та ?? є цілими і додатними розв'яжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:
Оскільки ??, 6 і ?? - цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що є цілим числом. Позначимо його буквою ??. Тоді
Із останнього рівняння визначаємо ??:
Оскільки ?? та ?? - цілі числа, то і повинно бути деяким цілим числом . Тоді,
Значення +1 підставимо в попередні рівності:
І так, для ?? та ?? ми знайшли представлення:
Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розв'язок рівняння , має вигляд , , де - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому ми отримаємо деякий цілочисельний розв'язок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення ?? та ?? в початкове рівняння.
Цим самим величина обмежується; вона більша за (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:
Тоді відповідні значення для ?? та ?? будуть такими:
Формули для визначають розв'язки даного рівняння у цілих невідємниних числах.
Задача2. Розв'язати систему лінійних діофантових рівнянь:
Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:
Очевидно, - ціле число. Позначимо його через ??. Маємо:
Підставляємо вирази для ?? та ?? у друге із початкових рівнянь:
Так як неважко встановити межі для ??:
З цього можемо зробити висновок, що для ?? можливі тільки два цілих значення: ??=0, ??=1.
Відповідні значення ??, ?? і ?? будуть такими:
Вміння розв'язувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.
Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.
Якщо, наприклад, задумана дата - 9 лютого, то наступні дії будуть такими:
За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.
Задача зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими
у цілих, додатних числах, причому число місяця ?? не більше 31, а номер місяця ?? не більше 12.
Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.
Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:
Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.
Якщо більше число ??, а менше число ??, то
Якщо рівняння помножити на ??, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:
Щоб ?? було цілим числом, знаменник повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що ?? не може мати спільні множники із ??+1). Знаючи, що 243=, можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо ?? (додатне), що дорівнює 8 або 2.
Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.
Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто
Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?
Позначимо цифри шуканих чисел через ?? і ??, ?? і ??, отримаємо рівняння:
Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:
де ??, ??, ??, ?? - цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв'язки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:
Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності саємо один розв'язок:
Із рівності знаходимо два розв'язки:
Аналогічно знаходимо наступні 14 розв'язків:
§2. Знаходження всіх цілих розв'язків діофантових рівнянь вищих порядків
Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:
оскільки розв'язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа та також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:
Отже, для знаходження всіх цілих розв'язків даного рівняння треба розв'язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний трьом.
Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв'яжемо його.
Знаючи, що числа , цілі і в добутку дають , очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:
Розв'язати в цілих числах рівняння:
Тепер розв'яжемо дане рівняння, як квадратне відносно ??:
Дискримінант набуватиме від'ємних значень при , тому ?? належить проміжку. Враховуючи те, що ?? є числом цілим, то він може набувати таких значень:
Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Знайти всі розв'язки рівняння в цілих числах:
Нехай , де ??, ??, ?? - цілі числа. Тоді число ?? парне. Після заміни отримаємо рівняння
Очевидно, що ?? парне число. Після заміни отримаємо рівняння:
З останнього рівняння бачимо, що ?? парне число. Після заміни , отримаємо рівняння:
Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли .
Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок .
Знайти всі розв'язки рівняння в раціональних числах.
Очевидним є розв'язок , тому достатньо розглянути випадок, коли (випадок розглядується аналогічно).
Нехай , де - раціональне число. Тоді
Числа ?? і ??+?? взаємно прості, тому число ?? може бути раціональним тільки тому випадку, коли ??= і ??+??= для деяких натуральних ?? та ??. Припустимо, що Тоді
Приходимо, до суперечності, так, як між числами та не може знаходитись число . Тому ??=1. Для будь-якого натурального ?? числа
та раціональні і являються розв'язками рівняння . Ці числа будуть цілими лише при . В цьому випадку
Перепишемо дане рівняння у вигляді :
Таким чином дане рівняння розпадається на два :
Так як , то в (1) невідомий корінь ?? може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) - лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення ?? такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв'язків в цілих числах.
Очевидно, що ?? та ?? не можуть бути від'ємними числами, так як при
а тому має вигляд що можливо лише при парних значеннях ??. Але з умови випливає, що ?? не може бути парним числом, якщо .
Оскільки і оскільки ?? - непарне число, то ?? - парне число або .
Якщо ж , то ?? довільне, ?? ??. І так, при ми маємо, крім тривіального розв'язку , де ?? - будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:
При . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв'язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:
Отже, рівняння має тривіальний розв'язок де ?? - будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв'язки:
Розв'язати в натуральних числах рівняння
Перепишемо дане рівняння у вигляді:
Оскільки дільниками числа 7 є лише числа то шукані числа ?? та ?? треба шукати серед розв'язків наступних чотирьох систем:
Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах Друга та четверта системи не мають розв'язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв'язки в натуральних числах: .
Розв'язати в цілих числах рівняння:
Ні одне із невідомих не може бути цілим від'ємним числом, так як рівності
неможливі при натуральних ??, ??, ??, ??.
Легко перевірити, що . Отже, ??, ?? - натуральні. Із умови випливає:
Таким чином, - розв'язок даного рівняння.
Якщо ж повинно містити парну кількість доданків, а тому ?? - парне число; нехай . Тоді
Якщо ?? - непарне число, то - непарне число, що можливо лише при тобто .
тому - другий розв'язок даного рівняння.
Якщо ж ?? - парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:
останнє рівняння не має розв'язків, так як ділиться на 5, а не ділиться на 5.
Розв'язати в натуральних числах рівняння:
Перепишемо рівняння у такому вигляді:
Якщо то , а тому , тобто ; відповідно, при має місце нерівність
Якщо , то , а тому ; значить, п
Діафантові рівняння курсовая работа. Математика.
Курсовая работа по теме Содержание и составляющие управления социально-психологическим климатом в трудовом коллективе
Курсовая работа по теме Анализ документов как метод социологического исследования
Система Здравоохранения В Китае Реферат
Человечность Сочинение Егэ
Реферат: Литография высокого разрешения в технологии полупроводников
Курсовая работа по теме Самозащита трудовых прав работников
Дипломная Презентация Пример
Небольшое Сочинение На Тему Профессия Пекарь
Курсовая Работа На Тему Применение Налога На Добавленную Стоимость В Рф
Практическое задание по теме Функциональное и логическое программирование
Трансплантация Органов Реферат
Сочинение Про Ивана Урганта 7 Класс
Доклад: Финляндские войска Его Величества
Дипломная Работа На Тему Учет И Анализ Товарных Ресурсов Организаций Розничной Торговли
Реферат На Тему Растения Хищники
Реферат по теме Причины внезапных смертей среди спортсменов
Курсовая Работа На Тему Расчет Информационных Характеристик Источников Сообщений, Сигналов И Каналов
Сочинение Описание 6 Класс Русский
Дипломная работа по теме Бульдозер ДЗ-109
Лабораторная Работа По Определению Влажности Воздуха
Разработка маркетинговой программы на предприятии ООО "Дельта Групп" - Маркетинг, реклама и торговля контрольная работа
Характеристика емоцій і почуттів, їх вплив на діяльність юриста - Государство и право контрольная работа
Характеристика Магаданской области - География и экономическая география реферат