Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Визначення та властивості упорядкованих множин, приклади діаграм. Дистрибутивні ґрати як один з основних алгебраїчних об'єктів. Поняття нижньої і точної грані, їх властивості та приклади, доказ лем. Застосування та суть топологічних стоунових просторів.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Курсова робота: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
Визначення: Упорядкованою множиною називається непуста множина, на якої визначене бінарне відношення , що задовольняє для всіх наступним умовам:
2. Антисиметричність: якщо й , те .
Якщо й , то говорять, що менше або більше , і пишуть або .
Множина цілих позитивних чисел, а означає, що ділить .
Множина всіх дійсних функцій на відрізку й
Визначення: Ланцюгом називається впорядкована множина, на якої для має місце або .
Використовуючи відношення порядку, можна одержати графічне подання будь-якого кінцевого впорядковання множини . Зобразимо кожний елемент множини у вигляді невеликого кружка, розташовуючи вище , якщо . З'єднаємо й відрізком. Отримана фігура називається діаграмою впорядкованої множини .
Приклади діаграм упорядкованих множин:
Визначення: Верхньою гранню підмножини в упорядкованій множині називається елемент із , більший або рівний усіх з .
Визначення: Точна верхня грань підмножини впорядкованої множини - це така іі верхня грань, що менше будь-який інший іі верхньої грані. Позначається символом і читається «супремум X».
Відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вона єдина.
Поняття нижньої грані й точної грані (яка позначається й читається «інфинум»). Також, відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна нижня грань існує, то вона єдина.
Визначення: Ґратами називається впорядкована множина , у якому будь-які два елементи й мають точну нижню грань, позначувану , і точну верхню грань, позначувану .
1. Будь-який ланцюг є ґратами, тому що збігається з меншим, а з більшим з елементів .
Найбільший елемент, тобто елемент, більшого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають , а найменший елемент, тобто меншого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають .
На ґратах можна розглядати дві бінарні операції:
Ці операції мають наступні властивості:
Теорема . Нехай - множина із двома бінарними операціями , що володіють властивостями (1) - (4). Тоді відношення (або ) є порядком на , а виникаюча впорядкована множина виявляється ґратами, причому:
Рефлективність відносини випливає із властивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):
Якщо й , тобто й , те в силу властивості (2), одержимо . Це означає, що відношення антисиметричне.
Якщо й , то застосовуючи властивість (3), одержимо: , що доводить транзитивність відносини .
Застосовуючи властивості (3), (1), (2), одержимо:
Якщо й , то використовуючи властивості (1) - (3), маємо:
По визначенню верхньої грані переконаємося, що
Із властивостей (2), (4) випливає, що й
Якщо й , то по властивостях (3), (4) одержимо:
Звідси по властивостях (2) і (4) треба, що
Нехай ґрати, тоді її найбільший елемент характеризуються одним із властивостей:
Аналогічно характеризується найменший елемент :
Визначення: Ґрати називаються дистрибутивної , якщо для виконується:
У будь-яких ґратах тотожності (1) і (2) рівносильні. Доказ цього факту втримується в книзі [1], стор. 24.
Теорема: Ґрати з 0 і 1 є дистрибутивною тоді й тільки тоді, коли вона не містить у
Доказ цього факту можна знайти в книзі [2].
Далі під словом “ґрати” розуміється довільні дистрибутивні ґрати з 0 і 1 (причому ).
Визначення: Непуста множина називається ідеалом у ґратах , якщо виконуються умови:
Визначення: Ідеал у ґратах називається простим , якщо
Ідеал, породжений множиною Н (тобто найменший ідеал, що містить H ), буде позначатися (Н]. Якщо Н = {a} , то замість ({a}] будемо писати (a] і називати (a] головним ідеалом.
Позначимо через I(L) множина всіх ідеалів ґрати L. I(L) будемо називати ґратами ідеалів.
Визначення: Ґрати й називаються ізоморфними (позначення: ), якщо існує взаємно однозначне відображення , називане ізоморфізмом, множини на множину , таке, що
Визначення: Топологічний простір - це непуста множина з деякою системою виділених його підмножин, що задовольняє аксіомам:
Порожня множина й сам простір належить системі : .
Перетинання будь-якого кінцевого числа множин з належить , тобто .
Об'єднання будь-якого сімейства множин з належить , тобто .
Таким чином, топологічний простір - це пари < , >, де - така множина підмножин в , що й замкнуто щодо кінцевих перетинань і довільних об'єднань. Множини з називають відкритими, а їхнього доповнення в замкнутими.
Визначення: Простір називається компактним , якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення: Підмножина простору називається компактним , якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення: Топологічний простір називається - простором , якщо для будь-яких двох різних його крапок існує відкрита множина, що містить рівно одну із цих крапок.
Визначення: множина називається верхніми напівґратами , якщо sup{a,b} існує для будь-яких елементів a і b.
Визначення: Непуста множина I верхніх напівґрат L називається ідеалом , якщо для будь-яких включення має місце тоді й тільки тоді, коли .
Визначення : Верхні напівґрати називаються дистрибутивної , якщо нерівність ? ( , , L) спричиняє існування елементів , таких, що , , і = .(мал.1). Помітимо, що елементи й не обов'язково єдині.
Деякі найпростіші властивості дистрибутивних верхніх напівґрат дає:
(*). Якщо < , > - довільні напівґрати, то верхні напівґрати дистрибутивна тоді й тільки тоді, коли ґрати дистрибутивна.
(**). Якщо верхні напівґрати дистрибутивна, то для будь-яких існує елемент , такий, що й . Отже, множина є ґратами.
(***). Верхні напівґрати дистрибутивна тоді й тільки тоді, коли множина є дистрибутивними ґратами.
(*). < , > - дистрибутивна й , те для елементів , , справедлива рівність :
виходить, напівґрати < , > - дистрибутивна.
< , > - дистрибутивна. Нехай ґрати містять діамант або пентагон (мал.2).
1) Нехай ґрати містять пентагон, . Потрібно знайти такі елементи й , щоб виконувалася рівність . Але множина елементів менших b або c складається з елементів {0,b,c} і їхня нижня границя не дасть a. Одержали протиріччя з тим, що < , > - дистрибутивна. Виходить, наше припущення невірно й ґрати не містять пентагона.
2) Нехай ґрати містять діамант, . Аналогічно, множина елементів менших b або c складається з елементів {0,b,c}, їхня нижня границя не дасть a. Виходить, ґрати не містять діаманта.
Можна зробити висновок, що ґрати дистрибутивна.
(**). Маємо , тому , де (по визначенню дистрибутивних напівґрат). Крім того, є нижньою границею елементів і .
Розглянемо ідеали, що містять елемент і - і . Тоді Ш ,тому що , нижня границя елементів a і b , утримується там.
Покажемо, що I(L) - ґрати, тобто існують точні нижня й верхня грані для будь-яких A і B.
Покажемо, що збігається з перетинанням ідеалів A і B. По-перше, - ідеал. Дійсно, і й По-друге, нехай ідеал і . Тоді , тобто - точна нижня грань ідеалів A і B, тобто .
Тепер покажемо, що збігається з перетинанням всіх ідеалів , що містять A і B. Позначимо . Оскільки для для , те C ідеал. По визначенню C він буде найменшим ідеалом, що містить A і B.
(***). Нехай - верхні дистрибутивні напівґрати. Покажемо, що
Зрозуміло, що . По дистрибутивності, існують такі, що . Т.к. A - ідеал, те, тому що . Аналогічно, . Т.е. . Точно також, . Якщо , то легко показати, що .
Довели, що - ідеал. Очевидно, він є верхньою гранню ідеалів A і B. Якщо C містить A і B , то C буде містити елементи для будь-яких , тобто Тому , оскільки є верхньою гранню ідеалів A і B і втримується в будь-який верхній грані.
Тепер покажемо, що виконується рівність:
. Нехай , де , . , те, звідки й отже . Аналогічно, , виходить,
Звідси треба дистрибутивність ґрати .
- дистрибутивні ґрати, . Тепер розглянемо ідеали, утворені цими елементами:
( ,буде нижньою границею для ). Тому , що й доводить дистрибутивність напівґрат . :
Визначення : Підмножина верхніх напівґрат називається коідеалом , якщо з нерівності треба й існує нижня границя множини , така, що .
Визначення: Ідеал напівґрати називаються простим , якщо й множина є коідеалом.
Надалі нам буде потрібно лема Цорна, що є еквівалентним твердженням аксіомі вибору.
Лема Цорна. Нехай A - множина й X - непуста підмножина множини P(A). Припустимо, що X має наступну властивість: якщо C - ланцюг в < >, те . Тоді X має максимальний елемент.
Лема 2 : Нехай - довільний ідеал і - непустий коідеал дистрибутивних верхніх напівґрат . Якщо , то в напівґратах існує простий ідеал такий, що й .
Нехай X - множина всіх ідеалів в L, що містять I і не пересічних з D . Покажемо, що X задовольняє лемі Цорна.
Нехай C - довільний ланцюг в X і Якщо , те для деяких Нехай для визначеності . Тоді й , тому що - ідеал. Тому . Обернено, нехай , тоді , для якогось Одержуємо , звідки .
Довели, що M - ідеал, мабуть, що містить I і не пересічний з D , тобто . По лемі Цорна X має максимальний елемент, тобто максимальним ідеалом P серед утримуючих I і не пересічних з D.
Покажемо, що P - простій. Для цього досить довести, що L\P є коідеалом. Нехай L\P і . Оскільки , те, інакше в противному випадку по визначенню ідеалу. Отже, . Якщо , то й пересічних з D у силу максимальності P. Одержуємо й для деяких елементів . Існує елемент такий, що й , по визначенню коідеала, отже й для деяких Помітимо, що й не лежать в P, тому що в противному випадку .
Далі, , тому для деяких і . Як і колись . Крім того , тому - нижня грань елементів a і b, що не лежить в P . :
Надалі, через будемо позначати дистрибутивні верхні напівґрати з нулем, через множину всіх простих ідеалів напівґрати .
Множини виду представляють елементи напівґрат у ч.в. множині (тобто ). Зробимо всі такі множини відкритими в деякій топології.
Позначимо через топологічний простір, певний на множині . Простір SpecL будемо називати стоуновим простором напівґрат L.
Лема 3 : Для будь-якого ідеалу I напівґрати L покладемо:
Тоді множини виду вичерпують всі відкриті множини в стоуновом просторі SpecL.
Потрібно перевірити виконання аксіом топологічного простору.
1) Розглянемо ідеал, утворений 0. Тоді
але 0 лежить у будь-якому ідеалі, а значить .
2) Візьмемо довільні ідеали й напівґрати й розглянемо
Нехай . Тоді існують елементи a і Звідси треба, що , де L\P - коідеал. По визначенню коідеала існує елемент d такий, що й , виходить, . Так як. , отже, . Одержуємо, що .
2) Нехай - довільне сімейство ідеалів. Через позначимо множину всіх точних верхніх граней кінцевого числа елементів, що є представниками сімейства . Покажемо, що - ідеал. Нехай , тоді , де для деякого ідеалу . Тоді лежить в ідеалі , отже, і , тобто . Обернено очевидно.
Довели, що - ідеал. Тепер розглянемо довільне об'єднання.
Лема 4 : Підмножини виду простору можна охарактеризувати як компактні відкриті множини.
Дійсно, якщо сімейство відкритих множин покриває множина , тобто , те Звідси треба, що для деякої кінцевої підмножини , тому . Таким чином, множина компактно.
Нехай відкрита множина r(I) компактно, тоді й можна виділити кінцеве під покриття для деяких .
Покажемо, що I породжується елементом .
Припустимо, що це не так, і в ідеалі I найдеться елемент b не лежачий в. Тоді [b) - коідеал, не пересічний с. По лемі 2 найдеться простий ідеал P утримуючий і не пересічний з [b). Одержуємо, , тому що (тобто ), але , тому що , протиріччя. Отже, компактною відкритою множиною r(I) буде тільки у випадку, якщо - головний ідеал.
Пропозиція 5: Простір є - простором.
Розглянемо два різних простих ідеали й Q . Хоча б один не втримується в іншому. Допустимо для визначеності, що . Тоді r(P) містить Q , але не містить P, тобто SpecL є - простором. :
Теорема 6 : Стоуновий простір визначає напівґрати з точністю до ізоморфізму.
Потрібно показати, що двоє напівґрат і ізоморфні тоді й тільки тоді, коли простори й гомеоморфни.
Очевидно, якщо ґрати ізоморфні, то простору, утворені цими напівґратами будуть збігатися.
Нехай і гомеоморфни ( ) і . Тоді a визначає компактна відкрита множина r(a) . Множині r(a) відповідає компактна відкрита множина , з однозначно певним елементом по лемі 4. У такий спосіб одержуємо відображення : , при якому . Покажемо, що - ізоморфізм ґрат. Якщо a,b - різні елементи з , те, отже, , тому й - ін'єкція.
Для довільного відкритій множині відповідає й очевидно, що показує сюрективність .
Нехай a,b - довільні елементи з . Помітимо, що . Відкритій множині при гомеоморфізмі відповідає відкрита множина , а відповідає . Отже, = . Оскільки = , те, тобто
алгебра множина грань грата топологічний
Дистрибутивні ґрати є одним з основних алгебраїчних об'єктів. У даній роботі розглянута частково впорядкована множина P(L) простих ідеалів. Вона дає нам багато інформації про дистрибутивні ґрати L, але вона не може її повністю охарактеризувати. Тому, для того, щоб множина P(L) характеризувало ґрати L, необхідно наділити іі більше складною структурою. Стоун [1937] задав на множині P(L) топологію. У цій роботі метод розглянутий у трохи більш загальному виді.
1. Биргкоф Г. Теорія ґрат. - К., 2003.
2. Гретцер Г. Загальна теорія ґрат. - К., 2005
3. Чермних В.В. Півкільця. - К., 1997.
Математичний аналіз властивостей геометричних об'єктів, відкритих і замкнених множин. Основні приклади, спеціальні метрики та топологія повних метричних просторів. Теорема Бера про вкладені кулі. Визначення границі числової послідовності та повноти. дипломная работа [2,3 M], добавлен 28.05.2019
Теорія формацій алгебраїчних систем. Основні визначення, позначення й використовувані результати. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр. Формаційні властивості нильпотентних алгебр. Класи абелевих алгебр і їхні властивості. дипломная работа [179,2 K], добавлен 20.01.2011
Означення теорії множин. Дії над множинами. Алгебра множин. Вектори і прямий добуток множин. Властивості відношень. Способи задання функції. Сукупність підстановок множини. Алгебраїчні операції та системи. Властивості рефлексивності та симетричності. конспект урока [263,1 K], добавлен 28.06.2012
Визначення метричного простору. Границя функції у точці. Властивості границь дійсних функцій. Властивості компактних множин. Розв’язок системи лiнiйних рівнянь. Теорема про існування i єдність розв’язку диференціального рівняння. Нумерація формул. методичка [461,1 K], добавлен 25.04.2014
Історія виникнення математичних рядів. Монотонна послідовність, сума ряду і властивості гармонійного ряду. Поняття числа "e", властивості рядів Фур'є і Діріхле. Приклади розгортання і збіжності рядів Фур'є. Індивідуальна побудова математичних рядів. контрольная работа [502,5 K], добавлен 08.10.2014
Модуль неперервності (першого порядку), приклади та властивості. Необхідна і достатня умова рівномірної неперервності. Класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності. Властивості і означення модуля неперервності. Аналіз класів функцій. курсовая работа [396,9 K], добавлен 22.01.2013
Поняття кільця в математиці, обов'язкові умови та основні властивості, приклади, що підтверджують несуперечливість системи аксіом кільця. Сутність ідеалу по відношенню до кільця, операції над ними. Факторіальність евклідових кілець. Кільце поліномів. курсовая работа [123,6 K], добавлен 26.04.2010
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат курсовая работа. Математика.
Историческое Сочинение Темы 2022
Правовая система россии
Реферат: Ideology And Politics Essay Research Paper Ideology
Реферат по теме Оптимизация методики изучения техники коньковых ходов
Контрольные Работы По Русскому 2
Доклад по теме О прекрасном в теорфизике: дуальность
Реферат по теме Семь смертных грехов Антонио Сальери
Курсовая работа: Формы внеурочной воспитательной работы с детьми в школе
Курсовая работа: Эффективность инвестиций в человеческий капитал в Ставропольском крае. Концепция эффективности труда. Скачать бесплатно и без регистрации
Конституция Реферат
Қазақстан Республикасындағы Саяси Партияларға Шолу Реферат
Планирование Карьеры Эссе
Контрольная Работа По Геометрии Тема Движение
Сочинение: Драматические судьбы личности в условиях тоталитарного общественного устройства (по роману Е.Замятина "Мы")
Сочинение По Русскому Языку Егэ Требования
Функции И Механизм Государства Эссе
Курсовая Работа На Тему Организация Личного Трудового Процесса Руководителя
Реферат По Натуральные Волокна Животного Происхождения
Песня Про Реферат
Курсовая По Юриспруденции Теплоснабжение Жилых Зданий
Основы планирования и разработки рекламной кампании - Маркетинг, реклама и торговля дипломная работа
Народи доколумбової Америки - История и исторические личности реферат
Организация работы администрации муниципального образования - Государство и право контрольная работа