Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел. Цілком упорядковані множини і їхні властивості. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи. Загальні властивості ординальних чисел.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.


Курсова робота: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
Розділ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел
§1. Цілком упорядковані множини і їхні властивості
§2. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи
§5. Простір ординальних чисел W( 1) і його властивості
ординарний число упорядкований множина
Ідеї топології були висловлені ще видатними математиками 19 століття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом і Бауером. Однак загальна топологія, як неї розуміють зараз, бере початок від Хаусдорфа («Теорія множин», 1914).
Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем лежать у геометрії, функціональному аналізі й алгебрі.
Лінійно впорядковані простори, у тому числі й лінійно впорядкований простір ординальних чисел, поєднують у собі дві структури: порядкову й топологічну. Систематичного викладу теорії простору ординальних чисел не існує. Цим пояснюється актуальність обраної теми.
Ціль курсової роботи - дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей.
РОЗДІЛ 1. Вихідні визначення й теореми
Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називається непуста множина Х разом із заданим на ньому бінарним відношенням порядку , що:
антисиметричне: a b a a = b ( для будь-яких a, b, c X ).
Елементи впорядкованої множини називаються порівнянними, якщо
Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a b і a b.
Визначення 1.2. Упорядкована множина називається лінійно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-які його два елементи порівнянні.
Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називається найменшим (найбільшим) елементом множини А Х, якщо а А и а х
Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називається мінімальним (максимальним) елементом множини А Х, якщо в А немає елементів, менших (більших) а, тобто якщо х а (а х) для деякого х , те х = а.
Визначення 1.5. Нехай А - непуста підмножина лінійно впорядкованої множини Х. Елемент а з Х називається верхньої (нижньої) гранню множини А, якщо він більше (менше) будь-якого елемента з А.
Визначення 1.6. Якщо множина А має хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називається обмеженим зверху (обмеженим знизу).
Визначення 1.7. Множина А називається обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.
Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називається найменший елемент множини всіх верхніх граней множини А. Позначається sup A.
Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називається найбільший елемент множини всіх нижніх граней множини А. Позначається inf A.
Визначення 1.10. Нехай - лінійно впорядкована множина, що містить, принаймні, два елементи. Для а, b X, a < b покладемо
(a, b) = {x X: a < x < b}. Такі множини будемо називати інтервалами в Х. Множина [a, b] = { x X : a x b} називається відрізком у Х.
Визначення 1.11. Упорядкована множина називається цілком упорядкованим, якщо кожне його непуста підмножина має найменший елемент.
Визначення 1.12. Нехай М и М1 - упорядковані множини й нехай f - взаємно однозначне відображення М на М1. Відображення зберігає порядок, якщо з того, що a b ( a, b M ), треба, що f (a) f (b) (у М1). Відображення f називається ізоморфізмом упорядкованих множин М и М1, якщо співвідношення f (a) f (b) виконано в тім і тільки в тому випадку, якщо a b. При цьому множини М и М1 називаються ізоморфними між собою.
Визначення 1.13. Топологічним простором називається пара (Х, ), що складається із множини Х и деякого сімейства підмножин множини Х, що задовольняє наступним умовам:
перетинання кінцевого числа множин з належать ;
об'єднання будь-якого числа множин з належить .
Умови 1 - 3 називаються аксіомами топологічного простору, його елементи - крапками простору. Підмножини множини Х, що належать сімейству , називаються відкритими в Х. Сімейство відкритих підмножин простору Х називається також топологією на Х.
Визначення 1.14. Замкнутою множиною називається множина, що є доповненням до відкритого.
Визначення 1.15. Околицею крапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, що містить х.
Визначення 1.16. Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриття відкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.
Визначення 1.17. Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х має непусте перетинання.
Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ([5]).
Визначення 1.18. Простір Х називається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якої компактно.
Визначення 1.19. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового відкритого покриття простору Х можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення 1.20. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо кожне його нескінченна підмножина містить хоча б одну граничну крапку.
Визначення 1.19 і 1.20 рівносильні ([5]).
Визначення 1.21. Простір називається компактификацією топологічного простору Х, якщо:
Визначення 1.22. Топологічний простір Х називається Т 1-простором, якщо для кожної пари різних крапок х1, х2 існує відкрита множина , таке, що х1 і х2 .
Визначення 1.23. Якщо будь-які дві різні крапки х и в топологічного простору Х мають непересічні околиці, то простір Х називається хаусдорфовим простором або Т 2-простором.
Визначення 1.24. Топологічний простір Х називається регулярним простором, або Т 3-простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого й кожного замкнутої множини , такого, що , існують відкриті множини U1 і U2, такі, що 1, 2 і U1 U2 = .
Визначення 1.25. Топологічний простір Х називається тихоновським простором, або Т3 - простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого й будь-якого замкнутої множини , такого, що , існує безперервна функція f: , така, що f(x)=0 і f(y)=1 для .
Визначення 1.26. Топологічний простір Х називається нормальним, або Т 4-простором, якщо для кожної пари непересічних замкнутих множин А и В існують непересічні відкриті множини U і V такі, що А U, B V.
РОЗДІЛ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел
§1. ЦІЛКОМ УПОРЯДКОВАНІ МНОЖИНИ І ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ
Розглянемо цілком упорядковані множини і їхні властивості.
Пропозиція 1.1. Усяка підмножина цілком упорядкованої множини саме є цілком упорядкована множина (очевидно).
Пропозиція 1.2. Якщо f - ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в себе, то для будь-якого елемента х А виконується нерівність f (x) x. (1)
Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в А є елементи х, не задовольняючій нерівності (1). Тоді серед цих елементів є найменший, тому що А є цілком упорядкованим. Позначимо його через х1 : f (x1) а}. За пропозицією 1.1 воно має найменший елемент а', що є точною нижньою гранню розглянутої множини. Отже, а' треба за а. :
§2. КІНЦЕВІ ЛАНЦЮГИ І ЇХНІ ПОРЯДКОВІ ТИПИ
Пропозиція 2.1. Множина з n елементів можна лінійно впорядкувати n! способами.
Для доказу досить застосувати формулу числа перестановок для n-елементної множини: Рn=n! :
Пропозиція 2.2. Будь-яке кінцеве лінійно впорядкована множина є цілком упорядкованою множиною.
Нехай є множина А - кінцеве лінійно впорядкована множина. Треба довести, що А є цілком упорядкованим, тобто будь-яку його підмножину має найменший елемент. Розглянемо довільну множину В, що є підмножиною множини А. Припустимо, що воно не має найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В. Позначимо його через b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то в ньому є елемент b2, такий, що b2 < b1. Елемент b2 не є найменшим елементом в В, тому є елемент b3 2 > 3 >…
Пропозиція 3.2. упорядкована множина є цілком упорядкованим тоді й тільки тоді, коли воно не містить підмножину типу *.
Припустимо, що цілком упорядкована множина А містить підмножину Х типу *. Тоді в Х немає найменшого елемента, що суперечить цілком упорядкованості множини А. Отже, в А немає підмножин типу *.
Нехай множина А не містить підмножина типу *. Доведемо, що А є цілком упорядкованою множиною. Припустимо, що це не так, тобто А містить підмножина В, у якому немає найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В, позначимо його b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то існує елемент b2 , для якого b2 < b1. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного n N елемент bn+1 B, причому:
Одержали множину {b1, b2, … , bn, ... . .} яке є підмножиною множини А и має тип * - протиріччя. :
Про ізоморфні між собою лінійно впорядковані множини ми будемо говорити, що вони мають той самий порядковий тип.
Із часів Кантора порядкові типи цілком упорядкованих множин називаються порядковими або ординальними числами (ординалами). Порядкові типи нескінченних цілком упорядкованих множин називаються трансфинитными числами (трансфинитами).
Визначення 2.6. Порядкове число менше порядкового числа ( ), якщо яке-небудь цілком упорядкована множина типу ізоморфно деякому відрізку якого-небудь цілком упорядкованої множини типу .
Нехай - деяке ординальне число. Позначимо W( ) - множина всіх ординальних чисел, менших .
Теорема 4.1. Відношення < , установлене для ординальних чисел, перетворює множина W( ) всіх ординальних чисел, менших даного ординального числа , у цілком упорядковану множину типу .
З визначення 2.6 треба, що множина W ( ) перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною всіх відрізків Ах довільно обраної множини А типу ; тому що відрізки Ах взаємно однозначно відповідають елементам х А, те маємо взаємно однозначна відповідність = f (х), х А, W( ) між множиною W( ) і множиною А типу . При цьому відповідності з х < x' в А треба, що Ах є відрізок множини Ах' , виходить, = f (x) < = f (x') в W ( ), і обернено. :
Визначення 2.7. Пари (А, В) непустих підмножин лінійно впорядкованої множини Х називається перетином множини Х, якщо:
3) для будь-яких х А и в У виконується нерівність х < в.
Теорема 4.2. Для будь-яких двох ординальних чисел і завжди здійснюється одне й тільки одне із трьох випадків: або < , або = , або > .
Нехай дані два ординальних числа й . З визначення 2.6 і пропозиції 1.4 треба, що й можуть задовольняти не більш, ніж одному із трьох відносин: = , < , > .
Позначимо через D множина W ( ) W ( ). Ця множина є цілком упорядкованим. Позначимо його порядковий тип через . Доведемо нерівності , . Досить довести одне з них. Доведемо, наприклад, перше. Маємо D W ( ). Якщо D = W ( ), тобто порядковий тип множини W ( ), тобто = . Нехай D W ( ). Розбивка W ( ) = D (W( )\D) є перетин у цілком упорядкованій множині W ( ). Справді, нехай х D, в W ( )\D. Тому що W ( ) лінійно впорядковане, те або х < y, або в < х. Покажемо, що другий випадок неможливий. Дійсно, тому що х W ( ), х W ( ), те одночасно х < і х < . Якби було в < х, то було б в < , в < , тобто в D. Отже, доведено, що х < у для будь-яких х D, в W ( )\D, а це й означає, що (D, W ( )\D) є перетин в W ( ). Нехай < є перший елемент в W ( )\D. Тоді відрізок, що відтинається в W ( ) елементом , збігається з D, тобто є порядковий тип множини D, = і < .
Однак, нерівності < і < не можуть бути виконані одночасно, тому що в цьому випадку ми мали б D, так що було б типом відрізка множини D і не могло б бути типом усього D.
Таким чином, є лише наступні можливості:
Теорема 4.3. Будь-яка множина А, що складається з ординальних чисел, цілком упорядковано.
Лінійна впорядкованість множини А треба з теореми 4.2. Залишається довести, що будь-яка непуста множина A' А має найменший елемент.
Візьмемо який-небудь елемент а' A'. Якщо а' - найменший із чисел
х А', те все доведено. Якщо ж ні, то перетинання W (a') A' непорожньо й, будучи підмножиною цілком упорядкованої множини W (a'), містить перший елемент а. Ординальне число а і є найменшим елементом в A'. :
Визначення 2.8. Нехай є дві впорядкованих множини А и В, що не мають загальних елементів. Розглянемо множину А В, що складається із всіх елементів а А и b B. Перетворимо множину А В у впорядкована множина А+В, увівши в нього порядок у такий спосіб: якщо а 0 множина всіх відкрита-замкнутих інтервалів [ +1; ] = ={x: < x < +1}, де утворить фундаментальну систему околиць крапки .
Лема 5.3. W( ) компактно тоді й тільки тоді, коли не є граничним ординальним числом.
Необхідність. Будемо доводити методом від противного й припустимо, що - граничне ординальне число. Розглянемо множину «хвостів», тобто множина виду W( )\W( ) = {x W( ):
x }, де - деяке ординальне число: . Це замкнуті множини. Очевидно, що перетинання кінцевого числа «хвостів» є «хвостом», тобто не порожньо. Таким чином, «хвости» утворять центровану систему замкнутих множин. Тому що - граничне ординальне число, то перетинання всіх множин цього сімейства порожньо й, отже, W( ) не компактно - протиріччя. Отже, - не є граничним ординальним числом.
Достатність. Проведемо доказ по індукції:
2. Індукційне припущення: нехай ' = +1 - не граничне ординальне число. Припустимо, що W( ) компактно для будь-якого < +1.
Нехай - сімейство відкритих множин, що утворять покриття простору W( +1). Тому що крапка покрита, то існує U , < : [ +1; ] U . По індукційному припущенню простір W( +1), що є підпростором W( +1), компактно, тому що +1< +1. Тому кінцева підродина F з покриває W( +1). Тоді F {U} - це кінцеве підпокриття з , що покриває W( +1). Отже, W( +1) компактно. :
Із цієї леми треба, що простір W( 1) не є компактним, тому що 1 - граничне ординальне число.
Пропозиція 5.4. Простір W( 1) локально компактно.
Візьмемо довільну крапку з W( 1). Тому що W( 1), те < 1 і +1< 1 (тому що 1 - граничне ординальне число). Отже, +1 не є граничним ординальним числом. Як околиця крапки візьмемо відкрито-замкнуту множину U( ) = { |
< +1} = { | } = W( +1) - компактно (по лемі 5.3) і містить крапку . Отже, W( 1) локально компактно. :
Визначення 2.11. Множина А називається кофинальним в W( ), якщо воно не обмежено зверху, тобто ( ) ( ).
Пропозиція 5.5. Жодне рахункова множина в W( 1) не кофинальне.
Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в W( 1) існує рахункове кофинальна множина S.
Очевидно, що W( ) W( 1) для будь-якого S W( 1).
Нехай W( 1). Тому що S кофинальне, то існує S: . Отже, W( ) .
Помітимо, що |W( 1)| = 1. Тоді 1 |S| 0. Отже, |S|= 1, чого бути не може, тому що S - рахункова множина. :
Пропозиція 5.6. Будь-яка рахункова множина з W( 1) утримується в компактному підпросторі простору W( 1).
Нехай А - рахункова підмножина в W( 1). За пропозицією 5.5 воно не є кофинальним, тобто А обмежено зверху в W( 1). Нехай = supA. Тоді W( 1) і А W( +1), де W( +1) на підставі леми 5.3 компактно, тому що +1 не граничне ординальне число. Таким чином, найшовся компактний підпростір простору W( 1), у якому втримується множина А. ¦
Наслідок 5.7. Будь-яка рахункова замкнута множина в W( 1) компактно.
Нехай А - рахункова замкнута множина в W( 1). Тому що замкнута підмножина компактного простору компактно ([8]), а множина А за умовою замкнуто, і за пропозицією 5.6 воно втримується в компактному підпросторі простору W( 1), те А компактно. :
Пропозиція 5.8. Простір W( 1) розрахункове компактно.
Нехай S - довільна нескінченна підмножина в W( 1), а ( n) - його строго зростаюча послідовність. За пропозицією 5.5 множина { n} не є кофинальним, тобто воно обмежено зверху. Нехай =sup n. У будь-якій околиці ( ) крапки , де , є крапки послідовності n множини S. Тоді - гранична крапка множини S. :
7. Простір W( 1) не метризуемо, тому що воно не компактно, але розрахункове компактно, а в метричних просторах будь-яке розрахункове компактний простір компактно.
Лема 5.9. З будь-яких двох не пересічних замкнутих множин в W( 1) хоча б одне обмежене.
Будемо доводити методом від противного й припустимо, що H і K - кофинальні замкнуті не пересічні множини. Ми можемо вибрати зростаючу послідовність ( n), n N, де n H для n - непарних, і n До для n - парних. Тому що множини Н и К замкнуті, те граничні крапки їм належать, тобто = sup n , чого бути не може, оскільки множини Н и К не перетинаються. :
Пропозиція 5.10. Будь-яка функція f З (W( 1)) постійна на «хвості» W( 1)\W( ) ( залежить від f ).
Помітимо, що будь-який «хвіст» W( 1)\W( ), де W( 1), розрахункове компактний, тому що він є замкнутим підпростором розрахункове компактного простору W( 1) ([3]). Отже, кожна множина образів f [W( 1)\W( )] - це розрахункове компактна підмножина R (оскільки функція f безперервна, а безперервний образ розрахункове компактної множини розрахункове компактний ([3]) ) і, отже, компактно, тому перетинання [W( 1)\W( )] центрованого сімейства замкнутих множин не порожньо. Виберемо довільне число r із цього перетинання. Доведемо, що f -1(r) кофинальне в W( 1). Тому що r [W( 1)\W( )], те r f [W( 1)\W( )] для будь-якого W( 1). Отже, f -1(r) W( 1)\W( ) для кожного .
Розглянемо для кожного n N замкнута множина Аn = {x W( 1):
| f (x) - r | }. Воно не перетинається з f -1(r), а f -1(r) кофинальне, тому по лемі 5.9 Аn має точну верхню грань в W( 1). Позначимо n = sup An. Візьмемо довільне ординальне число >sup n. Нехай W( 1)\W( ), тоді > . Припустимо, що f ( ) r, тоді |f ( ) - r| для деякого n. Отже, Аn і n< , тобто , але > - протиріччя.
Таким чином, f ( ) = r для будь-якого W( 1)\W( ), > . :
Визначення 2.12. Нехай сХ - довільна компактификация тихоновського простору Х. Множина сХ\Х, тобто множина всіх крапок, який сХ відрізняється від Х, називається наростом компактификації сХ.
Визначимо впорядкування на сімействі ж(Х) всіх компактификацій простору Х.
Визначення 2.13. Нехай з1Х и с2Х - компактификації простору Х. Покладемо з2Х с1Х, якщо існує безперервне відображення f: з1Х с2Х таке, що f (х) = х для всіх х з1Х.
Відомо, що кожне некомпактне локально компактне хаусдорфово простір Х володіє компактификацією Х с однокрапковим наростом. Ця компактификація є найменшим елементом сімейства ж(Х) всіх компактификацій простору Х стосовно впорядкування й називається однокрапкової компактификацією (александровськой компактификацієй) ([3]). Звідси треба, що простір W( 1) { 1} є александровськой компактификацією простору W( 1).
Визначення 2.14. Нехай Х. - довільний тихоновський простір. Найбільший елемент сімейства ж(Х) всіх компактификаций простору Х називається стоун-чеховської компактификацією (або стоун-чеховським розширенням) простору Х.
Пропозиція 5.12. Простір W( 1) має єдине компактне хаусдорфово розширення (а саме W( 1) { 1}).
Доведемо, що W( 1) { 1} є стоун-чеховської компактификацією простору W( 1). Відомо, що якщо кожне безперервне відображення тихоновского простору Х у компактний хаусдорфовий простір можна безупинно продовжити на деяку компактификацію Х простору Х, те Х є стоун-чеховської компактификацією простору Х ([3]). Таким чином, досить довести, що будь-яка безперервна функція, певна на W( 1), триває по безперервності на W( 1) { 1}.
Кожна безперервна речовинна функція, фінальне постійна, тобто для деякого а W( 1) і всіх х, в > a маємо f (x) = f (y) (за пропозицією 5.10). Отже, якщо f продовжити на простір W( 1) { 1}, що є однокрапкової компактификацією простору W( 1), поклавши ( 1) = f (х), де х >a, |W( 1) = f , то ми одержимо безперервну функцію на W( 1) { 1}. Виходить, W( 1) { 1} - розширення Стоуна-Чеховського простору W( 1). :
Метою курсової роботи було дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей. У першому розділі були дані основні поняття теорії множин і загальної топології, а в другому розділі було уведене поняття порядкового типу, установлені властивості порядкових чисел, а також проведене дослідження простору ординальних чисел, що має важливе значення для даної роботи. Були доведені хаусдорфовость, нормальність, локальна компактність, рахункова компактність і деякі інші властивості лінійно впорядкованого простору ординальних чисел.
1. Чиркова Н. В. Випускна кваліфікаційна робота «Лінійно впорядковані простори. - К., 2002.
2. Александров П. С. Введення в теорію множин і загальну топологію. К., 2007
3. Енгелькинг Р. Загальна топологія. - К., 2003
4. Келли Дж. Л. Загальна топологія. - К., 2001
5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомін Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. К., 2007.
6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова Задачі по теорії множин, математичній логіці й теорії алгоритмів. - К., 2004
Вивчення властивостей натуральних чисел. Нескінченість множини простих чисел. Решето Ератосфена. Дослідження основної теореми арифметики. Асимптотичний закон розподілу простих чисел. Характеристика алгоритму пошуку кількості простих чисел на проміжку. курсовая работа [79,8 K], добавлен 27.07.2015
Теорія формацій алгебраїчних систем. Основні визначення, позначення й використовувані результати. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр. Формаційні властивості нильпотентних алгебр. Класи абелевих алгебр і їхні властивості. дипломная работа [179,2 K], добавлен 20.01.2011
Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией. научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006
Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа
Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел курсовая работа. Математика.
Контрольная Работа На Тему Характеристика Електродвигуна
Дипломная работа по теме Пути улучшения финансовых результатов деятельности предприятия ООО 'ЦАПП'
Сочинение Петербург Пушкина И Гоголя
Сочинение По Русскому 2022 Образец
Отчет О Прохождении Практики Журналиста
Реферат: Правила работы на компьютере
Развитие Самосознания У Детей И Подростков Эссе
Отчет По Производственной Практике Готовый На Предприятии
Реферат: Жизнь и творчество Гайто Газданова. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение Чацкий И Софья Краткое
Написание Рефератов За Деньги
Курсовая работа: Розвиток обдарованих дітей
Методичка По Курсовой Работе Ранхигс
Курсовая работа по теме Опалення та вентиляція цивільного будинку
Экологические Требования Охраны Земель Реферат
Эссе На Тему Денежное Обращение
Задание К Контрольной Работе По Русскому
Функции Управления В Таможенных Органах Курсовая
Реферат: Романтизм в Германии XIX века. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Эволюция Вселенной. Скачать бесплатно и без регистрации
Обеспечение органами внутренних дел соблюдения правил охоты и рыболовства - Государство и право контрольная работа
Сущность и классификация услуг. Маркетинг в сфере услуг - Маркетинг, реклама и торговля реферат
Leaders of the world - История и исторические личности реферат