Доклад: Сопряженная однородная задача

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Обозначим через дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
где представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через , т.е. (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
Если же , то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:
Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда .
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию .
Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа:
Правая часть этой формулы может быть записана как:
и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
Введем следующее невырожденное линейное преобразование в вектор :
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам . Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и получить:
При этом (11) можно переписать как:
Билинейная форма в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты и принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19)
где и связаны с компонентами вектора соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент и является линейной комбинацией и , т.е. пропорциональна .
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что . Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы.
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из компонент и являлась линейной комбинацией и . Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20) принимают вид:
Разрешая равенства относительно и при и заменяя на , получаем:
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:
Краевая задача при самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь и с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:
При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.

Название: Сопряженная однородная задача
Раздел: Рефераты по математике
Тип: доклад
Добавлен 06:14:04 23 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 76
Комментариев: 16
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Доклад: Сопряженная однородная задача
Курсовая работа по теме Управление энергохозяйством завода 'Полимер'
Доклад по теме Пленочные абсорберы
Курсовая работа по теме Проблемы перевода рекламных текстов
Книги Про Совесть Для Сочинения
Знаменитые Люди Казахстана Эссе
Реферат: Абрахам Маслоу и психология самоактуализации. Скачать бесплатно и без регистрации
Доклад по теме Толстой А.Н.
Гражданское Общество Это Союз Индивидуальностей Коллектив Эссе
Курсовая работа по теме Ассемблер
Реферат: Криминалистическое почерковедение и автороведение
Реферат: Организация бухгалтерского учета на совместном предприятии с образованием юридического лица — субъекта внешнеэкономической деятельности
Лекция 5. Межмолекулярные взаимодействия. Водородная связь
Реферат: Пилотные установки и особенности их работы
Реферат по теме Характеристика топливно-энергетической базы Китая
Дипломная работа по теме Развитие системы ипотечного кредитования в ОАО 'СКБ-Банк'
Реферат по теме Финансовые ресурсы. Финансовая система страны
Реферат: Friar Lawrence In Romeo And Juliet Essay
Сочинение На Тему Язык И Общение
Пример Правильно Оформленной Курсовой
Сочинение по теме Юрій Яновський
Доклад: Сестринское дело в России
Доклад: Охрана труда в образовании
Сочинение: Роль злого начала в судьбе человека (По трагедии "Фауст" И. В. Гете)