Доклад: Системы линейных уравнений

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Система линейных уравнений имеет вид:
a 11
x 1
+ a 12
x 2
+ ... + a 1n
x n
= b 1

a 21
x 1
+ a 22
x 2
+ ... + a 2n
x n
= b 2
(5.1)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a m1
x 2
+ a m2
x 2
+... + a mn
x n
= b m

Здесь а ij
и b i
(i = ; j = ) - заданные, а x j
- неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а ij
) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x 1
, x 2
,..., x n
) T
,
B = (b 1
, b 2
,..., b m
) T
- векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j
и из свободных членов b i
.
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1
, c 2
,..., c n
) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1
, x 2
,..., x n
каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1
, c 2
,..., c n
) T
такой, что AC ≡ B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и Ã совпадают, т.е.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = Ø (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ≥ n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 < r < n, то система является неопределенной.
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:
a 11
x 1
+ a 12
x 2
+ ... + a 1n
x n
= b 1

a 21
x 1
+ a 22
x 2
+ ... + a 2n
x n
= b 2
(5.3)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a n1
x 2
+ a n2
x 2
+ ... + a nn
x n
= b n

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;3) матричным методом.
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А
и n вспомогательных определителей Δ i
(i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δ i
= 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A -1
B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A -1
B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Название: Системы линейных уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: доклад
Добавлен 10:06:38 19 марта 2005 Похожие работы
Просмотров: 4531
Комментариев: 26
Оценило: 41 человек
Средний балл: 3.3
Оценка: 3   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Доклад: Системы линейных уравнений
Реферат по теме История Харькова
Дипломная работа по теме Прoцeсс фoрмирoвaния кoмaнды прoeктa
Легко Ли Человеку Во Время Перемен Сочинение
Сочинение Зачем Нужна Профессия
Дипломная работа по теме Компенсационный менеджмент на примере АНО 'Центр Развития Современного Дизайна'
Курсовая работа по теме Организация финансов предприятия
Реферат по теме Героическая оборона Севастополя
Контрольная работа по теме Формы основных финансовых отчетов. Сравнение международных и российских стандартов
Мини Сочинение На Тему Красная Площадь
Дипломная работа по теме Конструкторское решение двухсекционного бескаркасного здания пятиэтажного жилого дома
Реферат по теме Женщина в политике
Контрольная работа: Компьютерные технологии MS EXEL
Написать Сочинение По Дубровскому 6 Класс Краткое
Курсовая Работа На Тему Гамма-Гамма Каротаж В Плотностной И Селективной Модификациях
Реферат: Политические элиты 2
Реферат На Тему Расчеты Платежными Требованиями
Сочетание Видов Массажа С Физическими Упражнениями Реферат
Курсовая работа по теме Исследование обеспечивающей подсистемы в системе управления МБУ КЦСОН 'Забота'
Дипломная работа: Позиция педагога в профессиональной деятельности
Кто Вы Господин Базаров Сочинение Кратко
Доклад: О проблемах среднего образования в нашей стране
Доклад: Школьные неврозы и причины их возникновения
Реферат: Deep Purple