Доклад: Цепочка Галилея
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
В книге Галилея «Беседы и математические доказательства…», напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: «Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находиласьот уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника (рис. 1). Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя».
Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры. Они видны на том же рис. 1, где соответствующая парабола обозначена сплошной линией.
Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли – Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба – Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа – производной и интегралом.
Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией
.
Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга – то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.
Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции. В XVIIIвеке она была ещё новинкой, а теперь её должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида y
=
a x
, где a
– какое-либо положительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построения цепной линии удобнее всего принять a
равным так называемому неперову числу
, обозначаемому буквой e
. Оно получило своё имя в честь шотландского математика Джона Непера – одного из изобретателей логарифмов. Число это почти столь же знаменито, как и число p
; его приближённое значение, взятое с точностью до 0,0005: e
»2,718.
На рис. 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=e x
, а пунктиром - график другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей.
Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно представить в виде y=e - x
. Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает рисунок.
Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки.Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забьём их, как советовал Галилей, в точках A
и B
на одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберём теперь тонкую цепочку, длина которой точно равна 2
l
– длине дуги AB
– и концы её закрепим в A
и B
. Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться.
Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее – с запасом, а потом подвешивать её за разные звенья в точках A
и B
, по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части, пока не произойдёт совпадения (рис. 5). Но можно поступить и иначе: зная d
(половину расстояния между гвоздями), найти путём вычисления l
(половину длины дуги AB
) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 2
l
. Такой подсчёт удаётся с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l
=1/2(
e d
-
e
-
d
)
.Отсюда следует, что если взять на графике функции y
=1/2(
e x
-
e
-
x
)
(рис. 4) x
=
d
, то соответствующая ордината у точки E
этого графика будет равна l
.
Так как l
=
1/2
(
e d
-
e
-
d
)<
r
=1/2(
e d
-
e
-
d
)
(см. рис. 5), то получается любопытное заключение: длина дуги CB
цепной линии, представленной на рис. 5 (половина длины всей цепочки) короче, чем ордината точки подвеса. С другой стороны, имеем: l
>
d
, т.е. эта длина больше, чем абсцисса точки подвеса.
Как отыскать уравнение линии в случае, когда для данных точек подвеса A
и
B
длина цепочки 2
l
`
не совпадает с длиной 2
l
дуги AB
, принадлежащей кривой y
=1/2(
e x
-
e
-
x
)
? В поисках ответа мы будем опираться на отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны между собой.
Пусть, например, l
`>
l
. Тогда цепочка провиснет по некоторой дуге AC
`
B
, расположеннойпод дугой ACB
(рис. 5). Мы покажем, что нужное уравнение цепной линии, которой принадлежит дуга AC
`
B
, можно найти в три приёма. Сначала перейти от кривой (1): y
=1/2(
e x
-
e
-
x
)
к некоторой кривой (2): y
=1/2(
e x
/
k
-
e
-
x
/
k
)
;эта кривая получается из (1) посредством преобразования подобия с центром в точке O
и коэффициентом подобия k
(
k
>0)
. Затем перейти от кривой (2) к кривой (3): y
=
b
+
k
/2
(
e x
/
k
-
e
-
x
/
k
)
посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат (в зависимости от знака b
вверх или вниз).
Вся хитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия k
. С этой целью отметим в плоскости вспомогательной кривой, изображённой на рис. 4, точку F
с координатами x
=
d
и y
=
l
`
. В силу того, что l
`>
l
, она не попадёт на кривую, а окажется выше неё.
Продолжим OF
до пересечения с кривой в некоторой точке G
(можно доказать, что точка пересечения найдётся, помимо точки O
, и притом только одна).Положим OF
/
OG
(в нашем случае 0<
k
<1
); тогда координатами точки G
будут числа x
=
d
/
k
, y
=
l
`/
k
. Поэтому они будут связаны уравнением кривой: l
`/
k
=1/2(
e d
/
k
-
e
-
d
/
k
)
. Отсюда следует, что если на кривой (1) (рис. 3) взять точки A
`
и B
`
с абсциссами –
d
/
k
и d
/
k
, то длина дуги A
`
B
`
, их соединяющей, будет равна 2
l
`/
k
.
Заметим, что точкам A
`
и B
`
кривой (1) с абсциссами –
d
/
k
и d
/
k
будут соответствовать точки A
``
и B
``
кривой (2) с абсциссами –
d
и d
(рис. 7). В силу подобия дуг A
`
B
`
и A
``
B
``
длина A
``
B
``
будет равна 2
l
`
, т. е. равна заданной длине цепочки.В этом и состоит преимущество кривой (2) перед исходной кривой (1). Недостаток её, однако, в том, что кривая (1) проходила через заданные точки подвеса A
и B
, а кривая (2) может через них и не проходить. Но этот недостаток легко устранить. Если ордината точки B
``
(или A
``
): k
/2(
e d
/
k
+
e
-
d
/
k
)
не равна r
, т. е. B
``
не совпадает с B
, то положим r
-
k
/2(
e d
/
k
+
e
-
d
/
k
)=
b
.
В результате сдвига кривой (2) в направлении оси ординат на величину b
она перейдёт в кривую (3): y=b+k/2(e d/k
+e -d/k
)
. Последняякривая, во-первых, подобна кривой (1) и, следовательно, являетсясама цепной линией. Во-вторых, она проходит через заданные точки подвеса: A
(-
d
,
r
)
и B
(
d
,
r
)
. И, в-третьих, длина дуги AB
равна длине данной цепочки 2
l
`
. Эти условия и обеспечивают, как это было доказано Бернулли, Гюйгенсом и Лейбницем, что цепочка провиснет как раз по дуге AB
.
На этом очерк о цепочке Галилея можно считать законченным.
Название: Цепочка Галилея
Раздел: Рефераты по математике
Тип: доклад
Добавлен 13:57:01 27 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 88
Комментариев: 16
Оценило: 1 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Доклад: Цепочка Галилея
Практическое задание по теме Лечение хронического колита
Зима Сочинение 3
Курсовая работа: ЭСН и ЭО цеха обработки корпусных деталей
Реферат по теме Открытие и ведение счетов юридических лиц в коммерческом банке
Реферат На Тему Economic System. Changes In Economic Situation Of Russia
Реферат по теме Амебиаз (амебная дизентерия)
Сочинение На Тему Футбол 4 Класс
Контрольная Работа На Тему Правовое Регулирования Рынка Земли В Республике Беларусь
Сочинение На Тему Новый Класс
Контрольная работа: по Контролю и ревизию
Контрольная Работа Дробно Рациональные Уравнения 8
Специфическая Профилактика Туберкулеза Реферат
Итоги Правления Петра 1 В Форме Эссе
Курсовая работа по теме Германия в мировой экономике
Курсовая работа по теме Феномен готики в истории культуры: традиционный и современный аспект
Транспортная Инфраструктура Реферат
Курсовая работа по теме Анализ использования трудовых ресурсов предприятия ОАО 'АЛНАС'
Реферат На Тему Разминка
Курсовая Работа На Тему Либеральное И Демократическое Государство: Сравнительная Характеристика
Реферат На Английском
Доклад: Использование занимательных материалов для развития познавательных интересов учащихся на уроках физики
Реферат: Особенности НДС по расходам на рекламу
Доклад: Тайские боевые исскуства