Дипломная работа: Сингулярные интегралы

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
кандидат физико-математических наук, доцент
Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.
Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.
Введение………………………………………………………………………...с. 3
§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11
§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18
§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23
Литература……………………………………………………………………...с. 27
Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.
Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f
( t
) в точке x
. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.
Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой
, если существует конечный интеграл от этой функции.
В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.
Определение.

Если в точке x
будет и , то точка x
называется точкой Лебега
функции f
( t
).
Теорема (Н. Н. Лузин).

Пусть
f
( x
) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на
[ a
, b
] . Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция , что .

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение.

Пусть дано измеримое множество E
. Взяв произвольную точку x
и число h
>0, положим E
( , h
)= E
∙[ - h
, + h
]. Это тоже измеримое множество.
Предел отношения при h→0 называется плотностью
множества E в точке и обозначается через .
Определение.

Пусть функция f
( x
) задана на сегменте [ a
, b
] и . Если существует такое измеримое множество E
, лежащее на [ a
, b
] и имеющее точку точкой плотности, что f
( x
) вдоль E
непрерывна в точке , то говорят, что f
( x
) аппроксимативно непрерывна
в точке .
Определение.

Измеримая функция f
( x
) называется функцией с суммируемым квадратом
, или функцией, суммируемой с квадратом
, если
Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .
Определение.

Пусть на сегменте [ a
, b
] задана конечная функция f
( x
). Если всякому ε
>0 отвечает такое δ
>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой оказывается
то говорят, что функция f
( x
) абсолютно непрерывна
.
Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .
Определение.

Две функции f
( x
) и g(x), заданные на сегменте [ a
, b
], называются взаимно ортогональными
, если .
Определение.

Функция f
( x
), заданная на [ a
, b
], называется нормальной
, если .
Определение.

Система функций , , , …, заданных на сегменте [ a
, b
], называется ортонормальной системой
, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.
Определение.

Пусть есть ортонормальная система и f
( x
) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье
функции f
( x
) в системе .
Ряд называется рядом Фурье
функции f
( x
) в системе .
Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.
Если n
и x
фиксированы, а t
меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t
. Значит, для всякой суммируемой f
( t
) ( ) можно образовать величину
Докажем, что во всякой точке x
(0< x
<1), в которой функция f
(
t
)
непрерывна, будет
Для этого прежде всего отметим, что при
Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность
Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме
Интеграл оценивается следующим образом:
где не зависит от n
. Аналогично и, следовательно, ,
так что при достаточно больших n
будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием n
, что и требовалось доказать.
Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n
те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x
значениям t
, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x
. Но около точки x
функция f
( t
) почти равна f
( x
) (т. к. она непрерывна при t
=
x
). Значит, если n
велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f
( t
) на f
( x
), т. е. он почти равен интегралу
и, в силу (4), почти равен f
( x
).
Функция , обладающая подобными свойствами, носит название ядра
.
Определение.

Пусть функция ( n
=1, 2, …), заданная в квадрате ( , ), суммируема по t
при каждом фиксированном x
.
Она называется ядром
, если при условии, что .
Определение.

Интеграл вида , где есть ядро, называется сингулярным интегралом
.
В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции
f
( t
) в точке x
. Так как изменение значения функции f
( t
) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение f
( x
)
функции f
( t
) в точке x
было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f
( t
) в точке t
=
x
. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x
была точкой Лебега функции f
( t
), и т. п.
Теорема 1 (А. Лебег).

Пусть на [
a
,
b
] задана последовательность измеримых функций , , , … Если существует такая постоянная
K
, что при всех
n
и
t
будет

то, какова бы ни была суммируемая на [
a
,
b
] функция
f
( t
) , справедливо равенство

Доказательство.
Если есть сегмент, содержащийся в [
a
,
b
]
, то из (6) следует, что
Рассмотрим непрерывную
функцию f
( t
), и для наперед заданного разложим [
a
,
b
]
точками
на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f
( t
)было меньше, чем ε
.
Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем Kε
(
b
-
a
).
Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n
и для окажется меньшей, чем ε
. Для этих n
будет
так что (7) доказано для непрерывной функции f
(
t
).

Пусть f
( t
)измеримая ограниченная
функция .
Возьмем ε>0
и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g
( t
), что , .
Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n
становится меньше ε
. Значит, для этих n
будет
что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.
Пусть f
( t
) произвольная суммируемая
функция.
Возьмем ε
>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ
>0, чтобы для любого измеримого множества с мерой me
< δ
было .
Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g
( t
), чтобы было . Это возможно по
Теореме.

Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция
f
( x
) . Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция
g
( x
) такая, что
.
Можно считать, что на множестве функция g
( t
) равна нулю.
Интеграл же при достаточно больших n
будет меньше ε
, и при этих n
окажется , что и доказывает теорему.
Пример.

Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана
Теорема 2 (Риман-Лебег).

Для любой суммируемой на
[
a
,
b
] функции

В частности, коэффициенты Фурье
, произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при
.
Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [
a
,
b
]
функции f
( t
), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю
.
Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n
и x
ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f
( t
).
Теорема 1 (А. Лебег).

Если при фиксированном
x
(
a
<
x
<
b
) и любом δ>0 ядро
слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [
a
,
x
-
δ
],

[
x
+
δ
,
b
] и , где
H
( x
) не зависит от
n
, то, какова бы ни была суммируемая функция
f
( t
) , непрерывная в точке
x
, справедливо равенство

Доказательство.
Так как есть ядро, то
,
С этой целью, взяв ε
>0, найдем такое δ
>0, что при будет
Это возможно в силу непрерывности функции f
в точке x
.
Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [
a
,
x
-
δ
]
, [
x
+
δ
,
b
]
. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.
И для этих n
окажется , что и требовалось доказать.
Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.
Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.
Лемма (И. П. Натансон).

Пусть на сегменте [
a
,
b
] дана суммируемая функция
f
( t
) , обладающая тем свойством, что

Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция
g
( t
) , заданная и суммируемая на [
a
,
b
], интеграл

существует (может быть как несобственный при
t
=
a
) и справедливо неравенство

В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g
( t
) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.
Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g
( b
) =
0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g
( t
) функцию g
*
( t
), определив ее равенствами
Доказав теорему для g
*
( t
), мы затем смогли бы всюду заменить g
*
( t
) на g
( t
), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g
( b
) =0
.
Пусть a
<
α
<
b
. На сегменте [
α, b
]
функция g
( t
) ограничена, и интеграл
заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса
откуда, после интегрирования по частям, находим
Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h
из интервала [
0, t
- a
]
выполняется неравенство и следовательно
Значит . С другой стороны, функция –
g
(
t
)
возрастает. Отсюда и из (5) следует, что
Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:
Сопоставляя все сказанное, получаем:
Хотя это неравенство установлено при предположении, что g
( b
) =
0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b
на β
, где α <
β
<
b
. Но тогда, устремляя α
и β
к a
, получим ,
чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M
уменьшить нельзя, так как при f
( t
) =
1 в (3) достигается равенство.)
Теорема 2 (П. И. Романовский).

Пусть ядро
положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных
n
и
x
ядро , как функция одного лишь
t
, возрастает в сегменте [
a
,
x
] и убывает в сегменте

Тогда для любой суммируемой функции
f
( t
) , которая в точке
x
является производной своего неопределенного интеграла, будет .

Доказательство.
Так как есть ядро, то и достаточно проверить, что
.
Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте
[
a
,
x
]
и [
x
,
b
]
, рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.
Возьмем ε>0
и найдем такое δ>0
, что при будет
что возможно, так как f
( t
) в точке t
=
x
есть производная своего неопределенного интеграла. То есть и .
Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K
( x
) такая, что
.
Значит функции на сегменте [
x
+
δ
,
b
]
равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [
x
+
δ
,
b
]
слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n
будет .
В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса
.
Функция есть ядро, т. к. при α0 и найдем такое δ
>0, что при будет
С другой стороны, в сегменте [
x
+
δ
,
b
]
последовательность слабо сходится к нулю, т. к. при будет
Следовательно для достаточно больших n
будет
Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f
( x
) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе
то рядом Фурье функции f
( x
) служит ряд
Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье функции f
( x
) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.
Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .
Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства
Это дает , откуда следует равенство
Пользуясь этой формулой, придадим сумме вид
Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле
.
Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n
сумм :
В случае сходимости ряда (2) в точке x
последовательность сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.
Для исследования преобразуем ее с помощью формулы (5)
Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера
. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.
Для этого рассмотрим функцию f
( t
)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим ( k
=1, 2, …).
Значит, для этой функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .
Но выражая интегралом Фейера, получим, что
Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A
(
x
,
α
)
не зависит от n
.
Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [ β
, π
]. Сопоставляя это с (9), находим, что
Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .
С другой стороны, когда , то , так что
Так как , , то может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом
при возрастании n
стремится к нулю (т. к., например, при будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла .
Функция есть горбатая мажоранта ядра Фейера.
Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n
.
Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы
Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег).

Почти везде на [-
π
, +
π
] будет

Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции
f
( t
) , лежащих внутри [-
π
, +
π
].

Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f
( x
) суммируема с квадратом. Справедлива следующая
Теорема 2.

Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции

f
( x
) равны нулю, то
f
( x
) эквивалентна нулю.

В самом деле, в этом случае и, следовательно, f
( x
)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.
Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что
Пусть точка x
есть точка
d
суммируемой функции f
( t
), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f
( t
) равна f
( x
) (причем ).
Интеграл (0< r
<1) есть сингулярный интеграл Пуассона. Если x
(- π
< x
< π
) есть точка d
суммируемой функции f
( t
), то (П. Фату).
1) Докажем, что - ядро. Т. к. ядро является 2π-периодической функцией, то интеграл от этой функции, рассматриваемый на периоде, не зависит от x
. Рассмотрим при x
=0.
Для вычисления интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим
Тогда . Следовательно достаточно проверить, что .
Найдем такое, что на интервале [ x
- , x
] ядро возрастает, а на [ x
, x
+ ] убывает. Это возможно, т. к. производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x
: .
Возьмем ε
>0 и найдем такое δ
(0< δ
< ), что при будет , что возможно, так как x
есть точка d
, т.е. f
( t
) в точке t
=
x
есть производная своего неопределенного интеграла.
Таким образом, на интервале [ x
, x
+ δ
] справедливо неравенство . На [ x
- δ
, x
] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности ядра на интервале [ x
- δ
, x
+ δ
] относительно точки x
.
Рассмотрим за пределами [ x
- δ
, x
+ δ
], т.е. на
[- π,
x
-
δ
,
] и на [ x
+ δ
, π
].
В этих случаях выполняются неравенства
Следовательно , т. к. , и знаменатель дроби не равен нулю.
То есть на интервалах [- π,
x
-
δ
,
] и [ x
+ δ
, π
].
При r
, достаточно близких к 1, получим
Таким образом, доказано, что (0< r
<1) есть сингулярный интеграл.
1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.
2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. –
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.

Название: Сингулярные интегралы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа
Добавлен 22:30:43 06 августа 2007 Похожие работы
Просмотров: 127
Комментариев: 21
Оценило: 4 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Дипломная работа: Сингулярные интегралы
Реферат: Cоциальные ситуации благоприятствующие развитию социальных движений. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Хищничество и паразитизм
Эссе Казакша Туган Жер
Реферат: Семантичні мережі
Реферат: Виды конфликтов в организации 2
Курсовая Работа На Тему Развитие Творческих Способностей Младших Школьников
Реферат На Тему Христианство. Католичество
Краткое Сочинение Васнецова Баян
Курсовая работа: Воздействие ОАО Волгоградский алюминий на состояние окружающей среды
Курсовая работа: Анализ финансовых результатов от реализации продукции, работ и услуг
Льготы по налогу на прибыль, динамика их изменений
Курсовая Работа Государственный Бюджет Доходы И Расходы
Иcследование возрастно-половых особенностей физического развития и двигательной подготовленности детей 7-9 лет, занимающихся спортивной акробатикой
Реферат: Организация производства. Определение, элементы и задачи
Сочинение На Тему Leisure Time
Курсовая работа по теме Техническое обслуживание автомобилей
Курсовая работа: Брачно-семейное право мусульман. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Fyodor Essay Research Paper The author by
Правовой статус сословий в удельно-вечевой руси
Контрольная Работа На Тему Українська Спеціальна Лексика
Доклад: Логотерапия (В.Э.Франкл)
Доклад: Труд быть человеком
Контрольная работа: Виды виз, их значение и содержание