Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова
“Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках”
Прикладная математика и информатика”
Специализация “Математическое моделирование”
Рецензент: Николаев Владимир Егорович
Глава I. Основные понятия разностных схем
1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций
1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов
Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами
Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами
3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием
Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.
В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).
Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:
1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.
2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.
От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.
Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.
Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.
Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
- рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;
- выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.
Глава
I
.
Основные понятия теории разностных схем
Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.
Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.
Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.
Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G h
-конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G={0≤x≤1}. Разобьем этот отрезок точками x i
=i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек x i
=i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим ={x i
=i∙h, i=0,n} , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками x i
, i=0,n можно производить произвольным образом - 00 в узле x i
w h
если , т.е.
В качестве следующего примера рассмотрим оператор .
Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).
Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.
Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.
Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде
и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу
Функция y h
(x), f h
(x), ц h
(x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций {y h
}, {f h
}, {ц h
}, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.
Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.
После этого имеем разностную схему:
Воспользуемся следующими аппроксимациями:
Пусть имеем дифференциальную задачу
(13) и на сетке аппроксимируем ее разностной схемой
Задача (12), (13) поставлена корректно, если выполнены условия:
1) задача однозначно разрешима при любых правых частях
2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей т.е.
Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (14), (15). Говорят, что разностная схема (14), (15) корректна, если при всех достаточно малых │h│< h 0
:
1) решение y h
разностной схемы существует и единственно для всех входных данных f h
H h
, ц h
H h
;
2) существуют постоянные M 1
>0, M 2
>0 не зависящие от h и такие, что при любых f h
H h
, ц h
H h
справедлива оценка
Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.
Точным решением задачи (17) является функция
Если ввести новую функцию то получим задачу
Решением задачи (18) является функция
Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке = {x i
=ih, i=0,n} схемой:
Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы = i 0
∙ h, т.е. является узлом сетки при h→0.
Вычислим значение у в этой точке y( ) = y i
0
=s i
0
y 0
. Так как │s│< 1 при б>0
и любых h, то│ y( )│≤│s i
0
│ ∙
│y 0
│< │y(0)│ при любом h. Из этого
неравенства видно, что решение разностной схемы (19) непрерывно зависит от вход€ных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).
Точным решением задачи (20) является функция
Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.
Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера
Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем
Неравенство (22) будет выполнено, если
Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.
Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера
Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.
Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом
т.е. схема (25) условно устойчива при
Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u h
значение функции u(x) на сеточной области , т.е. u h
H h
.
Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13).
где y h
– решение схемы (14), (15), u h
- решение задачи (12), (13) на сетке ͞w h
. Подставив y h
= z h
+u h
в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):
Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).
Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если
Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h 0
выполняется неравенство
Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если
Теорема
. Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.
Доказательство
. Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).
Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку
Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖z h
‖ Hh
→0 при h→0, если Hh
→0 и Hh
→0 при h→0.
Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(h n
), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.
Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера
которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.
Рассмотрим функцию погрешности решения
Разложим u i
+1
по формуле Тейлора в точке x i
, имеем
т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем
При имеем Выражая z i
через z 0
, получим:
Отсюда видно, что при h→0, │z i
│→0. Для точности схемы имеем
│z i
+1
│≤ h∙│ш s
│≤ h ∙ i ∙ O(h) = x i
∙O(h) ≤ M ∙ h,
т.е. схема имеет первый порядок точности.
Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера
которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения z i
= y i
–u i
получаем разностную схему:
Подставляя разложение (31) в ш i
, получим
т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z i
:
Множитель при л > 0. Выражая z i
через z 0
, имеем
Отсюда │z i
│≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом
имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.
Пусть исходная область ={ }. Ее аппроксимируем сеточной областью:
Тогда искомая сетка есть - неравномерная сетка.
На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:
- правая разностная производная по х; (1)
- левая разностная производная по х; (2)
- центральная разностная производная по х; (3)
Аппроксимация первой производной по t имеет вид:
- правая разностная производная по t; (5)
- левая разностная производная по t; (6)
- центральная разностная производная по t; (7)
Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:
Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.
Для этого введем функцию погрешности решения Найдем и подставим в (1).
Функцию разложим по формуле Тейлора
отсюда получаем аппроксимацию первого порядка .
a) , q<1 - убывающая геом. прогрессия n и q-задаем сами.
в) , q>1 – возрастающая геом. прогрессия.
Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:
3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии .
4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии .
5) Среднеарифметический метод 3) и 4) .
Глава
II
.
Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами
Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.
Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x,t) > 0, (p 0
>0, p N
>0) или p(x,t)<0, (p 0
<0, p N
<0). На практике часто используют схему бегущего счета. В зависимости от знака функции p(x,t) используют правую или левую разностные схемы.
Итак, рассмотрим схему бегущего счета
в обоих случаях.
Разностная схема (правая) имеет вид
В этом случае используется левая разностная схема
Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)
-------------kogda p0>0, pN>0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 2. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (левая разностная схема)
-------------kogda p0<0, pN<0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Текст программы смотри в приложении 1
В отличие от явной схемы неявные схемы используются для задачи (1) – (3) во всех случаях 1) p 0
>0, p N
>0; 2) p 0
<0, p N
<0; 3) p 0
>0, p N
<0; 4) p 0
<0, p N
>0.
Рассмотрим 2 различные разностные схемы:
Все эти схемы решаются методом прогонки и все эти разностные уравнения, т.е. полученные при аппроксимации схемы, вернее, уравнения сводятся к виду:
Коэффициенты A i
, B i
, C i
должны удовлетворять условиям:
Коэффициенты B 0
, C 0
, F 0
, A N
,C N
,F N
находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x,t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты. Рассмотрим все 4 случая:
1)
p
0
>0,
p N
>0,
u
(
l
,
t
)=м 2
(
t
),
(3′)
B 0
, C 0
, F 0
находятся из дополнительного условия, которая ставится на левом конце.
2)
p
0
<0,
p N
<0,
u
(0,
t
)=м 1
(
t
),
(3″) из уравнения (3″) B 0
, C 0
, F 0.
A N
,C N
,F N
находятся из дополнительного условия, которая ставится на правом конце.
3)
p
0
<0,
p N
>0,
u
(0,
t
)=м 1
(
t
),
u
(
l
,
t
)=м 2
(
t
),
(3″′)
4)
p
0
>0,
p N
<0, нет граничных условий.
Дополнительное условие ставится на левом и на правом концах. Находим B 0
, C 0
, F 0
, A N
,C N
,F N
.
При выполнении условий алгоритм правой прогонки устойчив.
Разностная схема имеет вид (задачи (1)-(3)):
Таблица 3. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки
-------------kogda p0>0, pN>0------------ 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 4. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки
-------------kogda p0<0, pN<0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 5. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки
-------------kogda p0<0, pN>0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 6. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки
-------------kogda p0>0, pN<0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Текст программы смотри в приложении 2
Разностная схема для нашей задачи ((1)-(3)) имеет вид:
Из уравнения (1) находим коэффициенты
1) P 0
>0, P N
>0
y N
j+1
= м 2
j+1
→ A N
=0, C N
=1, F N
=
м 2
j+1
2)
P
0
<0,
P N
<0
y 0
j
+1
= м 1
j
+1
→ B
0
=0,
C
0
=1,
F
0
=
м 1
j
+1
y 0
j
+1
= м 1
j
+1
→ B
0
=0 ,
C
0
=1,
F
0
= м 1
j
+1
,
y N
j+1
= м 2
j+1
→ A N
=0 ,C N
=1, F N
=
м 2
j+1
.
A N
=0,
C N
=1,
F N
=
м 2
j
+1
Таблица 7. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
-------------------kogda p0>0, pN>0---------------kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 8. Численное решение уравнения переноса на с переменнми коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
-------------------kogda p0>0, pN>0---------------kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 9. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
-------------------kogda p0<0, pN<0--------------- kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 10 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
-------------------kogda p0<0, pN<0---------------
kogda G=0,5 50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Текст программы смотри в приложении 3
Глава
III
.
Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами
1. P>0 p>0, нет на левой границе условий.
2. P<0 p<0, нет на правой границе условий. (3.3)
Рассмотрим схему бегущего счета
в обоих случаях.
В этом случае используется правая разностная схема
Таблица 11. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)
-------------kogda p>0-------------------------------------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 12. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (левая разностная схема)
-------------kogda p<0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Текст программы смотри в приложении 4
Рассмотрим две различные разностные схемы:
Все эти схемы сводятся к стандартному виду (3.4) и решаются методом прогонки
Коэффициенты A i
, B i
, C i
должны удовлетворять условиям:
Коэффициенты B 0
, C 0
, F 0
, A N
,C N
,F N
находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x,t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты.
1) Когда р>0 задается правое граничное условие:
Используя уравнения (3.3′) находим коэффициенты A N
,C N
,F N
. Коэффициенты B 0
, C 0
, F 0
находятся из дополнительного условия, которое ставится на левом конце.
2) Когда р<0 задается граничное условие на левом конце
Используя уравнения (3.3″) находим коэффициенты B 0
, C 0
, F 0
Коэффициенты A N
,C N
,F N
находятся из дополнительного условия, которое ставится на правом конце.
Разностная схема задачи (3.1)-(3.3) имеет следующий вид:
1) р>0. В этом случае граничное условие задается на правом конце:
Используя уравнение (3.6) находим коэффициенты A N
=0, C N
=1,
Дополнительное условие на левом конце имеет вид:
2) В случае, когда р<0, граничное условие ставится на левом конце
Используя уравнение (3.8) находим коэффициенты B 0,
=0, C 0
=1,
Дополнительное условие на правом конце имеет вид:
Таблица 13. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки
-------------kogda p>0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 14. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки
-------------kogda p<0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Текст программы смотри в приложении 5
На левом конце ставится дополнительное условие
На правом конце ставится дополнительное условие
Разностные уравнения и дополнительные условия сводятся к стандартному виду (3.4) и решаются методом прогонки.
Таблица 15. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
-------------------kogda p>0---------------kogda G=1
Таблица 16. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
-------------------kogda p>0---------------kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 17. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
-------------------kogda p<0--------------- kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Таблица 18. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки
-------------------kogda p<0--------------- kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
Текст программы смотри в приложении 6
1. p>0 разностная схема правая имеет вид
2. p<0 разностная схема левая имеет вид
Схема сводится к стандартному виду и решается методом прогонки.
3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием
Параметр управляет реализацией схемы. При =0 и
(i+j)- четном решаем по явной схеме, при =1 и
(i+j)- нечетном решаем по неявной схеме явно. В целом схема реализуется явно.
Теория разностных схем является самостоятельным разделом вычислительной математики, где изучаются методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем замены их конечно –разностными уравнениями (разностными схемами).
Конечно –разностный метод (метод сеток) –один из мощных достаточно универсальных методов современной вычислительной математики. Этот метод относится к классу машинных методов решения широкого круга задач для дифференциальных уравнений.
В дипломной работе рассмотрены “явные” и неявные разностные методы решения для одномерного уравнения переноса с переменными коэффициентами и для одномерного уравнения переноса с постоянными коэффициентами на неравномерных сетках. Использованы такие разностные схемы, как схема бегущего счета, трехточечная схема с весом, центрально –разностная схема, схема “прямоугольник”, схема со сглаживанием, схема прямоугольник со сглаживанием, “шахматная ” схема.
Произведены некоторые расчеты для одномерного уравнения переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках, с целью определения наиболее устойчивой разностной схемы.
Исследование показало, что наиболее устойчивым методом для одномерного уравнения переноса с переменными коэффициентами является:
1) При p0>0, pN>0 трехточечная схема с весом при G=1, абсолютная погрешность аппроксимации на 50-м слое составляет 0,00007549.
2) При p0<0, pN<0 неявная схема с центральной разностью, абсолютная погрешность аппроксимации на 50-м слое составляет 0,00007574.
3) При p0<0, pN>0 так же схема с центральной разностью, абсолютная погрешность составляет 0,00009042.
Так же произведены расчеты некоторых методов одномерного уравнения переноса с постоянными коэффициентами.
Исследование показало, что наиболее устойчивым методом для одномерного уравнения переноса с постоянными коэффициентами является:
1) При p>0 трехточечная схема с весом при G=1, абсолютная погрешность аппроксимации на 50-м слое составляет 0,00000755.
2) При p<0 также трехточечная схема с весом при G=1, абсолютная погрешность на 50-м слое составляет 0,00022000
1. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977, с. 616.
2. Самарский А.А., Гулин А.В.Численные методы. М.Наука, 1989, с. 315.
3. Охлопков Н.М. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Якутск: Изд-во Ягу, 1993, с. 38.
4. Охлопков Н.М., Охлопков Г.Н. Введение в специальность “Прикладная математика” часть 1,2 Якутск: Изд-во Ягу, 1997, с. 93, с. 85.
5. Охлопков Н.М., Иванов Ф.В. Вычислительные алгоритмы решения задач для дифференциальных уравнений Якутск: Изд-воЯгу, 1992, с.65.
6. Охлопков Н.М.,Иванов Ф.В. Пакет программ численного решения задач математической физики ч.2, Якутск: Изд-во Ягу, 1989, с 15.
7. Охлопков Н.М. Об экономичных методах решения задач математической физики. Якутск: Изд-во Ягу, 1982, с. 39.
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=20;tt=1;l=1;A=0.01;a1=1;q=2;
begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p+1)+r*(r+1)+7); end;
writeln ( 'sxema begushego scheta');
writeln(' levaya raznostnaya sxema');
g[i]:=tau[j+1]*p1(x[i],t[j+1])/h[i+1];
u11[i]:=(-g[i]*u1[i+1])+(ro(x[i],t[j+1])*u[i]);
u1[i]:=(u11[i]+u12[i])/(ro(x[i],t[j+1])+g[i]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=0.5;A=0.5;a1=2;q=2;
begin ut:= A*exp(p+r);end; {to4noe reshenie}
begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p-1)+r*(r-1)+3);end;
writeln ( 'sxema begushego scheta');
writeln(' pravaya raznostnaya sxema');
g[i]:=(tau[j+1]*p1(x[i],t[j+1])/h[i+1]); {R[i,j+1]}
u11[i]:=(g[i]*u1[i+1])+ro(x[i],t[j+1])*u[i];
u1[i]:=(u11[i]+u12[i])/(ro(x[i],t[j+1])+g[i]); {y
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------'
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;g1=1;
begin fi:= begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p-1)+r*(r-1)+3);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
c[0]:=1+(p1(x[i],t[j])*tau[j])/h[i]+tau[j]*q;
f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1; q=3;g1=1;
begin fi:=A1*exp(p+r)*(p*(p+1)+r*(r+1)+7);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;
f[n]:= (tau[j]*fi(x[n],t[j])+u[n]);
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;a2=1;
begin fi:=A1*exp(p+r)*((p+r+10)-(2*p-1)*exp(2*r);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f[i]:=ro*u[i]+tau[j+1]*fi(x[i],t[j]);end;
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1; a2=1;q=3;
begin fi:=A1*exp(p+r)*((p+r+10)-(2*p-1)*exp(2*r);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;
f[0]:=tau[j+1]*fi(x[0],t[j])+ro*u[0];
f[n]:=-(tau[j+1]*fi(x[n],t[j])+ro*u[n]);
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;a2=1;
begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p-1)+r*(r-1)+3);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema begushego scheta');
writeln(' ------------------------------' );
writeln('-------------kogda p0>0,pN>0------------');
writeln('----------------------------------------');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f4[i]:=(1-G)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);
f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];
f5[i]:=(1-G)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];
f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+G*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);
f[0]:=f6[j]+(1-G)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с переменными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;q=3;a2=1;
begin fi:=A*exp(p+r)*(p*(p+1)+r*(r+1)+7); end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'trextochechnaya sxema');
writeln('----------------------------------------------------');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f4[i]:=(1-g)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);
f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];end;
f5[i]:=(1-g)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];
f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+g*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);
f[n]:=f6[j]+(1-g)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с постоянными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A=1;B=1;p1=1;q=3;
begin fi:=A*B*exp(B*(p+r))*(1-p1+q/B); end;
writeln ( 'sxema begushego scheta');
writeln(' pravaya raznostnaya sxema');
u1[i]:=(u11+u12)/(1+g[i]+tau[j+1]*q);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с постоянными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A=1;B=-1;p1=-3;q=3;
begin fi:=A*B*exp(B*(p+r))*(1-p1+q/B); end;
writeln ( 'sxema begushego scheta');
writeln(' levaya raznostnaya sxema');
u1[i]:=(u11+u12)/(1-g[i]+tau[j]*q);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[j]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с постоянными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=1;p1=1;q=3;g1=1;
begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p+q/B);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
c[0]:=1+(p1*tau[j+1])/h[1]+tau[j+1]*q;
f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с постоянными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=-1;p1=-1; q=3;g1=1;
begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p1+q/B);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema s sentralnoy raznostju');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f[i]:=ro*u[i]+tau[j]*fi(x[i],t[j]);end;
f[n]:= (tau[j]*fi(x[n],t[j])+u[n]);
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с постоянными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=1;p1=1;q=3;
begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p1+q/B1);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'sxema begushego scheta');
writeln(' ------------------------------' );
writeln('-------------kogda p0>0,pN>0------------');
writeln('----------------------------------------');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f4[i]:=(1-G)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);
f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];
f5[i]:=(1-G)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];
f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+G*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);
f[0]:=f6[j]+(1-G)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Уравнение с постоянными коэффициентами
const n=15;j0=50;tt=1;l=1;A1=1;B1=-1;p1=-1;q=3;
begin fi:=A1*B1*exp(B1*(p+r))*(1-p1+q/B1);end;
writeln (' chislennoe reshenie uravneniya perenosa');
writeln ( 'trextochechnaya sxema');
writeln('----------------------------------------------------');
writeln('------------------------------------------------------');
writeln('-------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnost ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,'',d[i]:6:8,'');
writeln('-------------------------------------------------------');
f4[i]:=(1-g)*tau[j]*fi(x[i],t[j]-tau[j]);
f[i]:=f1[i]*(u[i+1]-u[i-1])+f2[i]+f3[i]+f4[i];end;
f5[i]:=(1-g)*p1*(u[1]-u[0])*tau[j]/h[i];
f6[i]:=ro*u[0]+f5[i]+g*tau[j]*fi(x[0],t[j]+tau[j]);
f[n]:=f6[j]+(1-g)*tau[j]*fi(x[0],t[j]);
betta[i]:=(f[i]+a[i]*betta[i-1])/z[i]; end;
u1[n]:=(f[n]+a[n]*betta[n-1])/(c[n]-alfa[n-1]*a[n]);
writeln('----------------------------------------------------------');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln('N priblijennoe tochnoe pogreshnosti ');
writeln('--------------------------------------------------------');
writeln(ut(x[i],t[j]):6:8,' ',d[i]:6:8,' '); end;
writeln('--------------------------------------------------------------');
Название: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: дипломная работа
Добавлен 06:44:11 13 ноября 2009 Похожие работы
Просмотров: 1664
Комментариев: 15
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках
Контрольные Работы Физика 11 Мякишев
Босова Информатика 7 Контрольные Работы
Контрольная работа по теме Мониторинг земельных участков г. Самары и Самарской области
Сочинение 9.3 Дружба По Тексту Улицкой
Сочинение О Листике 3 Класс
Курсовая работа по теме Отношение женщин к менструации и влияние менструации на положение женщин в обществе
Реферат по теме Церковь и мир - Основы социальной концепции Русской Православной Церкви
Сочинение Великое Искусство
Контрольная Работа 5 5 Класс Беларусь
Пиво Эссе Сколько Калорий В Бутылке
Реферат: Государственное управление и административное право. Скачать бесплатно и без регистрации
Отчет по практике по теме Аппарат деятельности гостиницы 'Жамбыл' и аудит операций с основными средствами
Эссе На Тему Педагогическое Мастерство
Сочинение Полтавский Бой 7 Класс
Курсовая работа по теме Педагогические условия развития эмпатии у детей дошкольного возраста
Курсовая работа по теме Влияние объединенного пенсионного фонда на народное IPO
Курсовая работа: Финансово-экономический анализ деятельности предприятия
Эссе Жайлы
Реферат Екатерина Вторая
Реферат: Основні методи боротьби з інфляцією
Реферат: Кровяное давление
Контрольная работа: Особенности маркетинга на промышленных предприятиях
Дипломная работа: Психолого-педагогические основы использования дидактических игр