Дипломная работа: Многомерные пространства понятие и виды

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Кафедра алгебры, геометрии и методик их преподавания.
1.1. Аффинное
n
-мерное пространство.

1.3. Квадрики в аффинном пространстве.

1.4. Классификация квадрик в аффинном пространстве.

1.5. Различные виды уравнений
k
-плоскостей.

1.6. Взаимное расположение
k
-плоскостей.

1.7. Расстояние между
k
-плоскостями.

1.1.
n-
мерное евклидово пространство.

1.2.
Расстояние между двумя точками. Угол между векторами.

1.3.
Движения евклидова пространства.

1.4.
Группы движений пространства
.
1.5.
Преобразование подобия. Группа подобий.

1.6.
Квадрики в евклидовом
n
-пространстве.

Многомерная геометрия- геометрия пространств размерности, большей трёх. Термин «Многомерная геометрия» применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, то есть прежде всего к евклидову пространству, а также к пространству Лобачевского, Римана, проективному, аффинному.
Исторически представление в более чем 3-мерном пространстве зарождалось постепенно; первоначально - на почве геометрического представления степеней: - «квадрат», - «куб», но и т.д. уже не имеет наглядного представления, и говорили - «биквадрат», - «кубоквадрат» и т.п. (еще у Диофанта в 3в. и далее ряда средневековых авторов). Мысль о многомерном пространстве выражал И.Кант (1746 г), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал Ж. Д´ Аламбер. Построение же евклидовой многомерной геометрии было осуществлено А.Кэли (1843г.), Г.Грассманом (1844г.) и Л.Шлефли(1852г.). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физическим пространством, были преодолены, и n
-мерное пространство как плодотворно формально-математическое понятие скоро полностью укрепилось в математике.
Евклидово пространство произвольного числа измерений n
(не исключая случая бесконечно - мерного) проще всего определить как такое , в котором выделены подмножества – прямые и плоскости, имеются обычные отношения : принадлежности порядка, конгруэнтности (либо определены расстояния или движения), и выполняются все обычные аксиомы, кроме следующей: две плоскости , имеющие общую точку, имеют по крайней мере еще одну. Если это выполнено, то пространство 3-мерно, если же не выполнено, так что есть две плоскости с единственной общей точкой, то пространство, как минимум , 4- мерно.
Совершенно аналогично евклидову пространству определяются пространство Лобачевского и аффинное . В пространстве выполняются все те же аксиомы, что в , с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в - все аксиомы за исключением аксиом конгруэнтности, вместе с которыми исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определить n
-мерное проективное пространство . Другой способ определения всех этих пространств состоит в том, что в них вводятся координаты, задается группа их преобразований и геометрическими считаются те и только те соотношения, которые инвариантны относительно этой группы. В случае – это группа подобий; для - это группа всех линейных (неоднородных) преобразований.
Пусть V
-векторное пространство над полем K
.Элементы из V
будем обозначать так: , ,…, , ,…. Множество E
называют аффинным пространством над векторным пространством V
над полем K
,если задано отображение : E
E
V
, удовлетворяющая двум условиям (аксиомам Вейля аффинного пространства):
1. Для каждого элемента
A
E
отображение
:
E
V
по закону
(
B
)=
(
A
,
B
),
B
является биекцией.

Каждой упорядоченной паре ( A
,
B
)
элементов A
,
B
E
отображение ставит в соответствие определенный вектор ( A
,
B
)=
V
.
Этот вектор обозначают через . По аксиоме 1 для каждых A
E
,
V
существует и притом единственный элемент X , такой, что =
Элементы
A
,
B
,
C
,...аффинного пространства
E
называются точками. Векторы
,…из
V
называются переносами (или свободными векторами) пространства
E
, а векторное пространство
V
-пространством переносов аффинного пространства
E
.

Отметим некоторые следствия из определения аффинного пространства:
Вычитая из обеих частей равенства вектор = , получим
2) вектор - нулевой вектор пространства переносов. Для любых A
,
B
имеем: + = = , где - нулевой вектор пространства V
.
Так как в векторном пространстве V
нулевой вектор единственный, то = A
,
B
E
;

3) =- По аксиоме 2 + = + = т.е. векторы и пространства V
противоположны один другому и, значит, =-
4) = A
=
B
.
По аксиоме 2 + = и так как по условию = то = . Значит, - = - и по следствию 3 = . Отсюда по аксиоме 1 A
=
B
.

Пусть Е
n
-
мерное аффинное пространство над полем К,
V
–пространство переносов. Аффинной системой координат,
или аффинным репером
в пространстве Е
, называется упорядоченное множество R
из n
+1
точек О,
,
…,
таких, что векторы = ( =1,2,…, n
) образуют базис пространства V
. Точки будут определены , если задать точку О
и базис { } в V
.
Поэтому вместо R
={
O
,
…,
}
обычно пишут: R
=
…,
}.
Точку O
называют началом репера R
,
векторы -координатными векторами.
Зададим в аффинном пространстве Е
какой-либо репер R
={
O
,
,
,…
}.
Для каждой точки M
E
определен вектор , который называется радиус – вектор точки M
.
Вектор разложим по векторам базиса {
где , ,…, - элементы поля К;
они называются координатами точки M
в репере R
.
Индекс у буквы x
показывает номер координаты.
Кроме выбранного репера R
, в аффинном пространстве существуют и другие аффинные реперы. Возьмем еще один репер R
´={
O
´,
…,
}.
Пусть - координаты точки O
´
в репере R
:

Вектор ´= ( разложен по векторам старого базиса { }, причем определитель det матрицы C
= отличен от нуля ,так как векторы ´, …, образуют базис пространства V
.
Матрица С
называется матрицей перехода от старого базиса { } к новому базису { ´}.
Пусть – координаты точки М
в репере R
и – координаты этой же точки в репере R
´.
Учитывая (5), запишем равенство (6) в виде: = + .
= + Отсюда в силу линейной независимости векторов :
Равенства (7) выражают старые координаты точки М
через ее новые координаты и представляют собой формулы преобразования координат точки М
Е.

Пусть Е-
n
-мерное аффинное пространство над полем К,
V
-
пространство переносов. Если взять точку О
, то по первой аксиоме Вейля отображение : E
V
по закону ( М
)= является биекцией.
С помощью этой биекции можно отождествить аффинное пространство E
и векторное пространство V
(отождествить каждую точку М
Е
с ее радиус-вектором V
).
Квадрикой
(или поверхностью второго порядка) Q
в аффинном пространстве называется место точек этого пространства, координаты которых в каком–либо аффинном репере R
={
O
,
}
удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:
Перенесем начало координат в точку ( , т.е. перейдем к реперу R
´={
}. Формулы преобразования координат при этом имеют вид:
где -старые, а - новые координаты точки M
.
Уравнение квадрики в новых координатах примет вид: ( + )( + )+2 ( + )+ =0 или
Центром квадрики
Q
называется ее центр симметрии.
Если в уравнении (2) =0 ( i
=1,2,…,
n
)
и М(
то и М´(-
) Q и ,значит, - центр квадрики Q
.

Верно и обратно: если - центр квадрики Q
, то в уравнении(2) не будет членов с первыми степенями : =0.
Пусть - центр квадрики Q
и M
(
и, следовательно, координаты точки M
удовлетворяют уравнению (2). Тогда и M
´(- ) : -2 + =0 . (4)
Вычитая равенство (4) из равенства (2), находим
Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M
.

Теорема
. Точка
является центром квадрики (1) тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений:
+ =0. (6)
При решении системы (6) встречаются три случая.
1. det 0,т.е. ранг = n
. Система (6) имеет единственное решение, и, значит, квадрика Q
–единственный центр. Такая квадрика называется центральной.

2. det =0,но ранг = ранг = r
. Система (6) совместна,
и в ней можно оставить лишь r
n
линейно независимых уравнений. Они определяют ( n
-
r
)-плоскость ( плоскость центров),
каждая точка которой служит центром квадрики.
3.det =0,но ранг ранг . Система (6) несовместна,- квадрика Q
не имеет центра.
В случае 2 и 3 квадрика называется нецентральной
.
Классификация квадрик в аффинном пространстве
.
Пусть относительно репера R
={
O
,
квадрика Q
определяется уравнением:
Переход к другой аффинной системе координат (к другому реперу R
´={
O
´,
) можно выполнить в два приема:
а) перенос начала: от репера R
переходим к реперу ={O´, с теми же координатными векторами . При этом коэффициенты квадратичной формы не изменяются ,тогда как коэффициенты и свободный член вообще изменяются;
б) замена базиса { на базис { } в пространстве переносов V
: =
При этом старые координаты любой точки M
выражаются через ее новые координаты с помощью системы уравнений : = Внесем эти выражения в уравнение (1), получим уравнение квадрики Q
в новых координатах :
Следовательно, при замене базиса { изменяются коэффициенты квадратичной формы и коэффициенты но не меняется свободный член . При любом преобразовании аффинной системы координат ранг и индекс квадратичной формы не меняются.
Уравнение квадрики, имеющей хотя бы один центр имеет вид: ( + +…+ + =0 . (
Уравнение квадрики, не имеющей центра ( +…+ ( +2b =0 . ( )
Рассмотрим уравнение ( . Возможны следующие частные случаи:
1. r
=
n
. Уравнение определяет центральную квадрику (с центром в точке =0).
А) - центр не лежит на квадрике. Пусть =- , приведем уравнение ( ) к каноническому виду:
Если в уравнении (3) все коэффициенты положительны, , то, обозначив = , получим нормальное уравнение эллипсоида:

) В уравнении (3) все . Обозначив = , получим нормальное уравнение мнимого эллипсоида
(не содержит ни одной точки из ):
) В уравнении (3): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…n). Такая квадрика называется гиперболоидом индекса
l
.
Полагая , , найдем нормальное уравнение
этой квадрики: + +…+ -…- =1.
Б) =0- центр лежит на квадрике. Ее каноническое уравнение: =0 ( = ). (4)
Квадрика называется конусом
с вершиной в точке О
.
) Все имеют одинаковые знаки. Квадрика называется мнимым конусом
(квадрика содержит лишь одну точку О
)
. В этом случае уравнение (4) приводится к виду:
В уравнении (4): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…,n). Квадрика Q
называется конусом индекса
l
,если l
n-l,т.е. l .
2. r
n.Система уравнений, определяющих центр: =0 (t=1,2,…,r); учитывая что ). Значит, множество центров – (
n
-
r
)
-мерная координатная плоскость .
А) . Обозначив =- , запишем уравнение (1) в каноническом виде:
=1 (t=1,2,…,r). (5). Квадрика называется цилиндром.

Все виды квадрик аффинно различны. Это значит, что не существует аффинного преобразования, которое переводило бы квадрику одного вида в квадрику другого вида. Квадрики, не принадлежащие одному виду, имеют различные нормальные уравнения.
Выпишем канонические уравнения квадрик в трехмерном аффинном пространстве.
3) + - =1 ( ) - однополостный гиперболоид (гиперболоид индекса 1);
4) - - =1 ( ) - двуполостный гиперболоид;
6) + - =0 ( ) - конус с вершиной в точке O.
10) + =0 пара мнимых плоскостей, пересекающихся по прямой ( O
, ) (мнимый конус с одномерной вершиной);
11) - =0 пара пересекающихся плоскостей (конус индекса 1 с одномерной вершиной);
12) =1 -пара параллельных плоскостей;
13) =-1 пара мнимых параллельных плоскостей;
15) + =2 - эллиптический параболоид;
16) - =2 -гиперболический параболоид;
Таким образом, в аффинном пространстве существует семнадцать различных видов квадрик.
Различные виды уравнений
k
-плоскостей
.

Пусть – некоторая точка пространства и – k-мерное векторное подпространство, где ks>0 (0 s
>
0 (0< J
<1). и не пересекаются. В силу условия р
Î
W
4

они полностью параллельны.
В ортонормированном базисе q
1

,
q
2

,...,
q n

заданы векторы:
a{a 1
, a 2
, ..., a n
}
и b
{b 1
, b 2
,..., b n
}.
Вычислить их скалярное произведение.
Решение

:
По определению координат векторов имеем:
Используя распределительный закон скалярного произведения, а также принимая во внимание, что базис g
1

,...,
g n

ортонормированный, получаем:
ab=(a 1
g 1
+a 2
g 2
+...+a n
g n
)(b 1
g 1
+b 2
g 2
+...+b n
g n
)=a 1
b 1
+a 2
b 2
+...+a n
b n

. Таким образом, мы пришли к следующей формуле:
ab
=
a
1

b
1

+
a
2

b
2

+...+
a n
b n

. (1)
В ортонормированном базисе даны два ненулевых вектора a
{
a
1

,
a
2

, ...,
a n

}
и b
{
b
1

,
b
2

,...,
b n

}
. Найти косинус угла образованного данными векторами.
Решение

:
Пользуясь формулами: ab
=
a
1

b
1

+
a
2

b
2

+...+
a n
b n

и (2), выразим ab
, и через координаты векторов и . Подставив эти выражения в соотношение: получим: (3)
Пусть в ПДСК Оg i
даны две точки со своими координатами А( х 1
,…, х
n

) и В( у 1
,…, у
n

). Вычислить расстояние между этими точками.
Решение

:
По определению АВ= . Прежде всего, вычислим координаты вектора . Так как координаты точек А и В совпадают с координатами их радиус-векторов, то из соотношения в силу теоремы ( ) получаем: . Теперь легко вычислить длину вектора применяя формулу (2): (4)
В ПДСК задана гиперплоскость уравнением: a
1

х 1
+
a
2

х 2
+...+
a n

х
n

+а о
=0
и точка М о
( х 01
,х 02
,…,х 0

n

).
Вычислить расстояние d
от точки М о
до .
Решение

:
Обозначим через N j
проекцию точки М о
на . Из теоремы *Þ a
{
a
1

,
a
2

, ...,
a n

}
ортогонален каждому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен . Отсюда: , поэтому:
Записав это соотношение в координатах, и учитывая, что N 0
принадлежит плоскости , после элементарных преобразований, получили:
В системе координат даны две точки М(х i
) и N(y i
). Найти координаты вектора .
Решение

:
По аксиоме треугольника . Отсюда получаем: . Векторы и являются радиус-векторами точек M и N, поэтому их координаты нам известны: . Вектор имеет координаты: (у 1
-х 1
, у 2
-х 2
, …, у n
-x n
).
Написать уравнения 2-плоскости пространства А 4
, проходящей через точку М о
(0, 1, -2, 5) и имеющей направляющее подпространство L 2
, заданное системой уравнений
Подставив значения координат точки М о
, после элементарных преобразований получим:
Написать параметрические уравнения прямой d, проходящей через точку
М о
(1, 3, 0, 0, ) и параллельно вектору в пространстве А 5
.
Решение

:
Вектор является базисом направляющего подпространства прямой a, поэтому уравнения в данном случае имеют вид:
В каждом из следующих случаев выяснить взаимное расположение двух гиперплоскостей, заданных в А 4
уравнениями:
Решение

:
а) В данном случае и , поэтому гиперплоскости пересекаются по двумерной плоскости, которая задаётся уравнениями:
б) Вычислением находим, что и , поэтому гиперплоскости параллельны.
Вычислить координаты ортогональной проекции М 1
точки М на гиперплоскость :
Решение

:
М 1
проекция точки М на гиперплоскости . Из теоремы Þ а{
a
1

,
a
2

,
a
3

,
a
4

}
ортогонален каждому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен вектору : расстояние . Записав это соотношение в координатах и учитывая, что М 1
Î после элементарных преобразований, получим:
В течение весьма продолжительного времени и математики и физики были убеждены, что геометрия Евклида дает единственно правильное описание свойств реального пространства. Первым выступил с сообщением в печати об открытии новой – неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевский.
Начиная со второй половины XIX столетия, исследования крупнейших учёных того времени показали, что неевклидова геометрия является системой логически столь же безупречной и внутренне непротиворечивой, как и система Евклида.
Евклидова геометрия возникла как отражение фактов действительности. Геометрия n- мерного евклидова пространства можно рассматривать в качестве примера абстрактной геометрической теории. Она строится путём простого обобщения основных положений обычной геометрии.
Применение евклидовой геометрии представляет самое обычное явление всюду, где определяются площади, объемы. Вся техника, поскольку в ней играют роль формы и размеры тел, пользуется евклидовой геометрией. Картография, геодезия, астрономия, все графические методы, механика немыслимы без геометрии. Глубокое применение евклидовой геометрии представляет геометрическая кристаллография, послужившая источником и областью приложения теории правильных систем фигур.
1) Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. «Геометрия» ч.1. М. Просвещение, 1973г.
2) Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. «Геометрия» ч.2. М. Просвещение, 1976г.
3) Атанасян Л.С., Базылев В.Т. «Геометрия» ч.1. М. Просвещение, 1986г.
4) Атанасян Л.С., Базылев В.Т. «Геометрия» ч.2. М. Просвещение, 1987г.
5) Атанасян Л.С., Атанасян В.А. «Сборник задач по геометрии» ч.1. М. Просвещение, 1973г.
6) Атанасян Л.С. «Сборник задач по геометрии» ч.2. М. Просвещение, 1975г.
7) Базылев В.Т. «Сборник задач по геометрии», М. Просвещение, 1980г.
8) Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», М. 1962г.
9) Строик Д.Я. «Краткий очерк истории математики», М. Просвещение, 1975г.
10) Фетисов Л.И. «Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии», М. Просвещение, 1965г.
11) Математический энциклопедический словарь, М. Советская энциклопедия, 1988г.

Название: Многомерные пространства понятие и виды
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа
Добавлен 17:20:10 05 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 95
Комментариев: 7
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Мне с моими работами постоянно помогают на FAST-REFERAT.RU - можете просто зайти узнать стоимость, никто вас ни к чему не обязывает, там впринципе всё могут сделать, вне зависимости от уровня сложности) у меня просто парень электронщик там какой то, тоже там бывает заказывает))
Спасибо, Оксаночка, за совет))) Заказал курсач, отчет по практике, 2 реферата и дипломную на REFERAT.GQ , все сдал на отлично, и нервы не пришлось тратить)
Я обычно любые готовые работы покупаю на сайте shop-referat.tk , и свои все там же на продажу выставляю, неплохой доп.заработок. А если там не нахожу то уже на referat.gq заказываю и мне быстро делают.
Хватит париться. На сайте REFERAT.GQ вам сделают любой реферат, курсовую или дипломную. Сам пользуюсь, и вам советую.
Да, но только в случае крайней необходимости.

Дипломная работа: Многомерные пространства понятие и виды
Домашнее Сочинение Краткое
Реферат: Учебный план школы. Режим обучения. Кадровое обеспечение образовательного процесса. Финансовое обеспечение функционирования и развития
Реферат по теме Москва Патриаршая
Реферат по теме Вера Засулич
Учебное пособие: Методические указания 6 Уважаемый(ая) слушатель(ница) программы миго, Вашему вниманию предлагается эмпирический кейс для проведения самостоятельного междисциплинарного исследования. 6 Каким образом мы предлагаем Вам работать с данным кейсом? 6
Реферат: Понятие и порядок выборов России
Контрольная работа: Разработка технологического процесса термической обработки стальной детали. Болт шатунный
Эссе Что Значит Быть Человеком По Сократу
Контрольная работа: Музеи Владимирской области
Курсовая работа: Психическое развитие ребенка в младенчестве
Конспект Как И Реферат Должен Представлять
Реферат: Союзническая война 91 88 до н. э.
Метод Магистерская Диссертация
Клише На Итоговое Сочинение 11 Класс
Реферат Особенности Воспитания В Семье Близнецов
Дипломная работа по теме Методики учета амортизации основных средств и анализа их технического состояния
Дипломная работа: Повышение эффективности использования машинно-тракторного парка ЗАО СПФ "Агротон" отделение Штормово
Сочинение Про Историю Любви Марии Троекуровой Дубровского
Понятие интегрированных маркетинговых коммуникаций
Дипломная работа по теме Психология девиантного поведения
Контрольная работа: Понятие и сущность внутренней предпринимательской среды
Реферат: Самостоятельная работа по Юридической деонтология
Реферат: Gender And Nonverbal Communication Essay Research Paper