Дипломная работа: Функция Дирака

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
математического факультета Прокашева Е.В.


________________________________/подпись/
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Ончукова Л.В.


________________________________/

подпись/
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Фалелеева С.А.

________________________________/
подпись/
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Определение функции Дирака......................................................... 4
1.1. Основные понятия................................................................................ 4
1.2. Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака………...10
1.2.1. Задача об импульсе ……………………………………………….10
1.2.2.Задача о плотности материальной точки……………………........11
1.3. Математическое определение дельта-функции………………………..16
Глава 2. Применение функции Дирака…………………………………………19
2.1. Разрывные функции и их производные………………………………….19
2.2. Нахождение производных разрывных функций………………………...21
Заключение………………………………………………………………………25
Развитие науки требует для ее теоретического обоснования все более и более «высокой математики», одним из достижений которой являются обобщенные функции, в частности функция Дирака. В настоящее время теория обобщенных функций актуальна в физике и математике, так как обладает рядом замечательных свойств, расширяющих возможности классического математического анализа, расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям в вычислениях, автоматизируя элементарные операции.
2) рассмотреть физический и математический подходы к ее определению;
3) показать применение к нахождению производных разрывных функций.
Задачи работы: показать возможности использования дельта-функции в математике и физике.
В работе представлены различные способы определения и введения дельта-функции Дирака, ее применение при решении задач.
В разных вопросах математического анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные, но не дифференцируемые функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз и т.д. Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т.е. как произвольное правило, относящее каждому значению x из области определения этой функции некоторое число y=f(x),оказывается недостаточным.
Вот важный пример: применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, нам приходится сталкиваться с таким положением, когда те или иные операции анализа оказываются невыполнимыми; например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как элементарную функцию. Затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись рассмотрением одних только аналитических функций. Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой.
В 1930 году для решения задач теоретической физики крупнейшему английскому физику-теоретику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил далеко за рамки классического определения функции.
П. Дирак в книге «Принципы квантовой механики» [5] определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:
Наглядно можно представить график функции, похожей на δ(x), как показано на рисунке 1. Чем более у зкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия δ(
x
) = 0
при x
≠ 0
, функция приближается к дельта-функции.
Такое представление общепринято в физике.
Следует подчеркнуть, что δ(
x
)
не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:
В классическом анализе не существует функции, обладающей свойствами, предписанными Дираком. Лишь несколько лет спустя в работах С.Л. Соболева и Л. Шварца дельта-функция получила свое математическое оформление, но не как обычная, а как обобщенная функция.
Прежде чем переходить к рассмотрению функции Дирака, введем основные определения и теоремы, которые нам будут необходимы:
Определение 1.Изображением функцииf(t) или L - изображением заданной функции f(t) называют функцию комплексной переменной p,определяемую равенством:
При этом будем считать, что при t
<0
f
(
t
)=0
, а при t
>0
выполняется неравенство , где М
и а
– некоторые положительные постоянные.
Определение 2.
Функция f
(
t
)
, определенная так:
называется единичной функцией Хевисайда
и обозначается через . График этой функции изображен на рис.2
Найдем L
– изображение функции Хевисайда:
Пусть функция f(t) при t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0
) будет тождественно равна нулю при t0
существует такое ε 0
>0
, что , коль скоро . Отсюда при всех получаем
Так как (здесь dx
фактически равен dV
), то - объем шара радиуса ε
. Следовательно,
Формула (5) обозначает, что слабым пределом последовательности функций f ε

(
x
)
,
, является функционал φ(0)
(а не функция!), сопоставляющий каждой непрерывной функции φ(
x
)
число φ(0)
– ее значение в точке x
=0
. Этот функционал принимается за определение плотности δ(
x
)
– это и есть дельта-функция Дирака. Итак, можно записать
понимая под этим предельное соотношение (5). Значение функционала δ
на функции φ
– число φ(0)
– обозначается так:
Это равенство дает точный смысл дельта-функции, введенной Дираком, обладающей следующими свойствами:
Роль интеграла здесь играет величина
- значение функционала δ
на функции φ
.
Таким образом, дельта-функция - функционал, сопоставляющий по формуле =φ(0) каждой непрерывной функции φ число φ(0)- ее значение в нуле.

Проверим, что функционал δ
восстанавливает полную массу. Действительно, роль интеграла играет величина
, равная, в силу (6), значению функции, тождественно равной 1, в точке x=0, то есть =1(0)=1
.
Таким образом, плотность, соответствующая точечному распределению масс, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать линейные (непрерывные) функционалы.
1.3
. Математическое определение функции Дирака.

Функция δ(
x
)
применяется не только в механике, а во многих разделах математики, в частности при решении многих задач уравнений математической физики.
Пусть f
(
t
)
- функция, непрерывная на (
a
;
b
)
, а - иглообразная функция. Для дальнейшего введения определения дельта-функции Дирака рассмотрим поведение интеграла
Рассмотрим (
a
;
b
)
, содержащий внутри себя точку t
=0
, то есть a
<0<
b
и . Из определения иглообразной функции и обобщенной теоремы о среднемполучаем:
Если , то и , а в силу непрерывности функции f
(
t
)
и . Поэтому при a
<0<
b

Если же числа a
и b
одинаковых знаков ( a
<
b
<0
или 0<
a
<
b
), то есть (
a
;
b
)
не содержит внутри себя точки t
=0
, то
Если числа a
и b
имеют одинаковые знаки, то при , если a
>0
(рис.6), или при , если b
<0
(рис.7), интервал не будет пересекаться с (
a
;
b
)
, а поэтому для всех
Таким образом, δ(
t
)
– обобщенная функция, характеризующая предельное поведение иглообразной функции при и использующаяся при вычислении интегралов.
Дельта-функцию можно применять и формально, пользуясь лишь следующим ее основным свойством
, вытекающим из равенств (7) - (9) для любой непрерывной функции.
Свойство, описываемое соотношениями (10) и (11) называют фильтрующим свойством
дельта-функции.
При f
(
t
)≡1
соотношения (9) – (11) принимают вид
Если за интервал (
a
;
b
)
взять всю числовую ось, то .
2.1. Разрывные функции и их производные.

XX - XI век находит много конструктивных решений для того, что казалось невозможным в XIX веке. Так дельта-функция решает вопрос о производной в точке разрыва (в частности, для разрыва, имеющего вид конечного скачка).
Рассмотрим интеграл функции δ
(
x
)
в зависимости от его верхнего предела, то есть функцию
График этой функции имеет вид «ступеньки» (рис.8). Пока x
<0
, область интегрирования в формуле (12) целиком находится там, где δ
(
x
)=0
. Следовательно, θ
(
x
)=0
при x
<0
. Если же x
>0
, то при интегрировании включается окрестность начала координат, где . С другой стороны, так как при x
>0
также δ
(
x
)=0
, то значение интеграла не изменяется, когда верхний предел меняется от 0,1
до 1
, или до 10
, или до ∞
. Следовательно, при x
>0
имеем
Таким образом, с помощью дельта-функции сконструирована простейшая разрывная функция θ
(
x
)
такая, что при x
<0
, θ
(
x
)=0
, а в области x
>0
, θ
(
x
)=1
. При x=0
, θ
терпит разрыв от 0
до 1
.
Не зная дельта-функции, приходится говорить, что производную нельзя находить там, где функция разрывна. Мы построили разрывную функцию θ
(
x
)
. По теореме о существовании первообразной для ограниченной функции, имеющей конечное или счетное число точек разрыва, общее правило связи между интегралом и производной имеет вид:
Применим его к выражению (12), получим
Значит, для производной разрывной функции не надо делать исключений: просто в точке разрыва производная равна «особенной» функции – дельта-функции Дирака.
Производная разрывной функции определяется следующим образом:
f
’(
x
)={
f
’(
x
)}+[
f x

0

]
δ
(
x
–
x
0

)
,
где f x

0

– величина разрыва в точке x
0

,
{
f
’(
x
)}
– производная везде, кроме точки x
0

.
Благодаря дельта-функции Дирака можно найти производные в более сложных случаях.
2.2. Нахождение производных разрывных функций.

Пример 1: Найти производную функции
График функции рис.8. Разрыв имеет место при x
=1
. Величина разрыва y
(1+0)-
y
(1-0) =1-2-1= -2
, где
y
(1+0)
– это предельное значение y
при приближении x
к 1
справа (со стороны x
>1
), y
(1 - 0)
– то же слева. Отсюда получаем, что
Такая запись лучше утверждения, что везде, кроме точки x
=1
, где функция терпит разрыв и не имеет производной. В записи (13) в одной строчке содержится и факт разрыва (раз вошла δ
), и место его ( x
=1
), и величина (коэффициент (- 2) при δ
).
Разрыв в точке x
=1
. Величина разрыва: y
(1+0)-
y
(1 - 0)=2
. Теперь мы можем точку х=1
присоединить к левой области и тогда написать
Либо другой вариант – можно присоединить х=1
к правой области и тогда с равным правом запишем
Рассмотрим модель прохождения тока вдоль цепи, представленную в работе М.Н. Дубайловой «Применение рядов Фурье при решении задач Электродинамики» [7].
Найдем производную данной функции, представленной графиком зависимости силы тока от времени:
По графику видно, что сила тока в точках α/(2ω)
, 2π-α/(2ω)
, 2π+α/(2ω)
, 4π-α/(2ω)
,… мгновенно падает от А
до 0
или от 0
до –А
, то есть ток мгновенно становится равным 0
, и вновь появляется с отрицательным значением. Исчезновение тока в цепи означает, что цепь разрывается, поэтому в реальном процессе снова появится через какое-то время ток самопроизвольно не может. Такая модель прохождения тока вдоль цепи является противоречивой.
В действительности сила тока меняется не мгновенно, а в течение короткого конечного промежутка времени. Реальный процесс можно изобразить следующим графиком (рис.10).
В физике используется упрощенная модель, график которой представлен на рис.9, так как работа силы тока в коротком конечном промежутке времени Δ
t
равна нулю ( A
=

=
A
1

+
A
2

=
A
1

+(-
A
1

)=0
, геометрически числа A
1

и A
2

выражают площади заштрихованных фигур, см. рис.10).
В математике рис.9 не является графиком функции (одному значению t
соответствует бесконечное множество значений I
). Поэтому математика рассматривает упрощенную модель, абстрагированную от реального процесса, разрывая функцию, график этой модели представлен на рис.11.
Для этого функцию зададим следующим образом:
Величины разрывов равны –
A
, -
A
,
A
,
A
соответственно. Отсюда получаем, что
В выпускной квалификационной работе поставленные цели достигнуты, то есть были достаточно подробно рассмотрены математический и физический подходы к определению функции Дирака, причем физический подход к определению осуществлен через решение физических задач об импульсе и плотности материальной точки. Применение функции Дирака для нахождения производных разрывных функций было проиллюстрировано с помощью математических и физических примеров, выявлена целесообразность применения дельта-функции для нахождения производных разрывных функций. Теоретический материал подтверждается решением различных примеров.
Таким образом, функция Дирака – одно из наиболее необходимых и широко применяемых понятий, как в физике, так и в математическом анализе.
1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу [Текст]: учебник для университетов и пед. вузов / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Под ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк., 1999.
2. Большая советская энциклопедия [Текст] / Гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1972.
3. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1967.
4. Владимиров, В.С. Обобщенные функции и их применение [Текст] / В.С. Владимиров. – М.: Знание, 1990.
5. Владимиров, В.С. Обобщенные функции в математической физике[Текст] / В.С. Владимиров. – М.: Наука, 1981.
6. Дирак, П. Принципы квантовой механики [Текст]/ П.Дирак. - М.: Наука, 1979.
7. Дубайлова, М.Н. Применение рядов Фурье при решении задач Электродинамики [Текст] / Выпускная квалификационная работа. – Киров, ВГГУ 2003.
8. Ершова, В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление [Текст] / В.В. Ершова. Под ред. В.И. Азаматовой. - Минск: Вышэйш. школа, 1976.
9. Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих [Текст] / Я.Б. Зельдович. – М.: Наука, 1970.
10. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1972.
11. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] / Н.С. Пискунов // учеб. для втузов. В 2-х т. Т. II: - М.: Интеграл-Пресс, 2001.
12. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968.

Название: Функция Дирака
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа
Добавлен 02:18:03 05 августа 2010 Похожие работы
Просмотров: 145
Комментариев: 15
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Дипломная работа: Функция Дирака
Реферат: Платежная система "Золотая Корона". Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Школьный 'рэкет'
Реферат: Проект системы очистки отходящих газов дуговой печи емкостью 100т электросталеплавильного произв
Реферат: Методы сбора эмпирической информации
Реферат Причины Агрессивности Дошкольника
Реферат: Збереження документа програма Провідник робота з програмою-архіватором WinRAR
Курсовая работа по теме Моделирование работы системы и определение ее оптимальной структуры
Призеры Всероссийский Конкурс Конкурс Сочинений Результаты Посмотреть
Доклад: Бажов Павел Петрович
Обязанность Доказывания И Последствия Ее Невыполнения Реферат
Занина Темы И Аргументы Эссе Егэ
Сочинение На Произведение Детство Темы
Сочинение по теме Пословицы советского народа
Реферат по теме Мусульманская диаспора в Голландии
Реферат: Коммуникаций банка в условиях кризиса 2008 2010 гг
Дипломная работа по теме Возрождение либерализма в России
Пример Доклада Диссертации
Курсовая работа по теме Финансово – правовая ответственность
Контрольная работа по теме Нарушение памяти и внимания у больных с церебральным атеросклерозом
Пиво Эсса С Грейпфрутом Фото
Билеты: Развитие государственных внебюджетных фондов в России в современных условиях
Реферат: Сущность и методические аспекты учета кассовых операций
Дипломная работа: Организация финансов государственного некоммерческого предприятия на примере ГОУ Профессиональное