Дифференциальные уравнения - Математика контрольная работа
Главная
Математика
Дифференциальные уравнения
Определение длины стороны треугольника, нахождение координаты вектора в заданном трехмерном базисе, решение системы уравнений с помощью обратной матрицы, вычисление предельных значений, исследование функции методами дифференциального исчисления.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
1. Расстояние d между точками M 1 (x 1 ;у 1 ) и М 2 (х 2 ;у 2 ) определяется по формуле:
Подставив в эту формулу координаты точек А и В имеем:
2. Уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (х 1 ;у 1 ) и М 2 (х 2 ;у 2 ), имеет вид:
Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
Для нахождения углового коэффициента k ab прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:
Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.
Для нахождения углового коэффициента k aс прямой АС разрешим полученное уравнение относительно у:
3. Угол б между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k 1 и k 2 , определяется по формуле:
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее
k 1 = k ab = -3/4, k 2 = k ac = 1/2.
4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М 1 (х 1 ;у 1 ) в заданном угловом коэффициенте k имеет вид:
Подставив в формулу (4) координаты точки С и k cd = 4/3, получим уравнение высоты CD:
у - 10 = 4/3(х - 3) , у - 10 = 4/3х - 4 , 4х - 3у + 18 = 0. (CD)
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):
Подставив в формулу (1) координаты точек C и D, находим:
СD= v(-3 -3) 2 + (2 -10) 2 = v36 + 64 = 10 .
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:
Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно E(0;6) и R = CD/2 = 5. Используя формулу (5), получим уравнение искомой окружности:
(х - 0) 2 + (у - 6) 2 = 25, х 2 + (у - 6) 2 = 25.
6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В. Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
поэтому искомое неравенство имеет вид:
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:
Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:
Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:
Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:
Даны векторы a 1 , a 2 , a 3 , b . Показать, что векторы a 1 , a 2 , a 3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.
a 1 (5;3;1) , а 2 (-2;-1;2) , а 3 (-2;1;4) , b(3;0;1)
1. Система векторов в пространстве R n линейно независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются координаты векторов системы:
Подставив в формулу (1) координаты векторов a 1 , a 2 , a 3 найдем определитель:
Так как определитель не равен нулю, то данные три вектора являются линейно независимыми. Соответственно они образуют базис трехмерного пространства.
2. Вычислим координаты вектора b в новом базисе. А - матрица перехода.
Нам необходимо определить координаты b new .
Для нахождения обратной матрицы применяется формула
Необходимо найти все элементы для составления обратной матрицы:
Подставляем полученные элементы в формулу (3) и найдем А -1 :
Подставив значения А -1 и вектора b в формулу (2), найдем координаты вектора b в новом базисе:
Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:
Обозначим через матрицу А - матрицу коэффициенты при неизвестных; Х - матрицу-столбец неизвестных Х, У, Z ; H - матрицу-столбец свободных членов:
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:
Если матрица А - невырожденная (ее определитель Д отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А -1 . Умножив обе части уравнения (1) на А -1 , получим:
Но А -1 * А = Е (Е- единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А -1 .
где А ij (i=1,2,3; j=1,2,3) - алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе матрицы А, которое является произведением (- 1) ij на минор (определитель) второго- порядка, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца в определителе матрицы А.
Вычислим определитель Д и алгебраические дополнения А ij элементов матрицы А.
Следовательно матрица А имеет обратную матрицу А -1 .
По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
а) Подстановка предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенному выражению вида .
Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на множитель (х - 3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х - 3) отличен от нуля при х >3:
б) При х>? выражение дает неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности применим правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения двух функций, бесконечно больших при х>?, можно рассматривать отношение их производных .Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределу стремится и отношение .
в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tg у и у>0 при х>0. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела lim sin б/ б = 1, имеем:
г)При х>? выражение является неопределенностью вида 1 ? . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при х>? величины и применим формулу второго замечательного предела:
Пусть 3х - 1 = - у . Тогда 6х + 4 = - 2у + 6 и у> -? при х>?. Переходя к переменной у, получим:
а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у? нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у? .
3у 2 у? + е ху (у + ху?) = 0, 3у 2 у? + уе ху + хе ху у? = 0,
Из последующего уравнения находим у?:
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на непрерывность;
3) определить, является ли данная функция четной, нечетной;
4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;
5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции.
1. Функция определена при всех значениях аргумента х.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (- ?; ?).
3. Для установления четности и нечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) - четная функция) или f(-x) = - f(х) (для нечетной функции) для любых х и - х из области определения функции:
Следовательно, f(-х) ? f(x) и f(-х) ? -f(х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
у? = 0 при х 1 = - 3, х 2 = 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать области определения функции.
Разобьем числовую ось на три интервала: (- ?; - 3), (- 3; 3), (3; ?).
В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале - положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:
При переходе через точку х = 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум:
На рис. 1 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у?, а стрелками - возрастание и убывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегиба графика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
у?? = 0 при х 1 = 0, х 2 = - 3v3 , х 3 = 3v3.
Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-?;-3v3), (-3v3 ;0), (0;3v3), (3v3 ; ?).
На первом, втором и четвертом интервалах вторая производная у?? положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у?? отрицательна - дуга выпукла.
При переходе через точки х = 0 у?? меняет свой знак, поэтому х= 0 - абсцисса точки перегиба.
Следовательно С(0;1) - точка перегиба графика функции.
При переходе через точку х = 3v3 у?? меняет свой знак, поэтому х= 3v3 - абсцисса точки перегиба.
Следовательно - точка перегиба графика функции.
6. Так как точек разрыва у данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:
При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.
Значит прямая у=1 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.
Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
а) Применяя свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:
Вычислить объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4; у=0. Сделать чертеж.
Объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:
Подставим в формулу (1) у = 4/х, х 1 = 1, х 2 = 4, получим:
Ответ: объем тела вращения равен 12р
Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления. контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса. контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009
Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей. контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010
Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости. контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015
Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника. контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014
Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро. курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015
Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции. контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Дифференциальные уравнения контрольная работа. Математика.
Курсовая работа по теме Особенности деятельности Министерства труда, занятости и социальной защиты Республики Татарстан
Контрольная работа: Побудова економіко-математичної моделі розробки асортименту швейних виробів
Доклад: Белый террор
Курсовая работа по теме Стратегия маркетинга предприятия ОАО 'Коминтерн'
Оказания Бесплатной Юридической Помощи Курсовые Работы
Доклад: Тема любви в литературе
Курсовая работа по теме Система чинопроизводства в XVIII веке
Сочинение: Что важнее - книга или компьютер
Реферат по теме Международные организации, их классификация и правовой статус
Курсовая работа по теме Зовнішня політика США у пост біполярний період
Контрольная работа: Организация взаимодействия и полномочия
Реферат: Позиционирование на рынке. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Організація позакласної роботи в загальноосвітній школі
Реферат: Государственный кредит 12
Отчет по практике по теме Обоснование процесса производства бесшовной трубы в условиях редукционно-растяжного стана
Как Написать Отчет По Учебной Практике Образец
Комплексы Гто Реферат
Курсовая Работа На Тему Ислам В Чечне
Курсовая работа: Толкование правовых норм
Реферат: Музеи Харькова
Душа в немецкой языковой картине мира - Иностранные языки и языкознание дипломная работа
Історія природознавства - Биология и естествознание курсовая работа
Субкультуры - Культура и искусство презентация