Декартовы координаты - Математика курсовая работа
Главная
Математика
Декартовы координаты
Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
координата декартовый плоскость геометрия
Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом (французский математик и философ, 1596-1650).
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии, плоскости) относятся к числу начальных понятий. Вводятся декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Из школьного курса геометрии эти понятия известны, как известны и некоторые сведения о векторах. Обобщим и дополним эти сведения. Векторная величина характеризуется не только своим численным значением, но и направлением. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, скорость и ускорение этой точки действующая на эту точку сила. В отличие от векторных величин рассматриваются скалярные величины, каждая из которых характеризуется только численным значением (площадь, объем, длина). Свойства векторов и операции над ними позволяют получить уравнения прямой, плоскости и изучить их взаимное положение.
Целью настоящей работы является исследование кривых второго порядка. Задачи работы:
1) изучение декартовых координат на прямой, на плоскости, в пространстве;
2) характеристика основных понятий векторов и действий над ними;
3) решение простейших задач методом координат;
4) выявление геометрического смысла линейных неравенств с двумя переменными;
5) анализ видов кривых второго порядка.
Д екартовы координаты на прямой, на плоскости и в простра н стве
Прямую линию с указанным на ней направлением, началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число, которое называется координатой данной точки.
х 3 , х 1 , х 2 , х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:
Q (х 3 ), F (x 1 ), N(x 2 ), M (x).
Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина FN = х 2 - х 1. Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.
Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.
x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).
В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают:
В ектор. Основные понятия. Действия над вект о рами
Вектором называется направленный отрезок
Будем обозначать вектор либо символом , где точки А и В - начало и конец направленного отрезка, либо символом (малая латинская буква с чертой).
Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:
Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: = 0.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и коллинеарны, то записывают: .
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: =.
Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
Рассмотрим векторы, совпадающие с ребрами куба.
Векторы и коллинеарны, но не равны.
Векторы , , , , компланарны, так как лежат в параллельных гранях.
В квадрате MNKZ векторы , , ,, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что = и =.
Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.
Здесь =, но , , хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой + двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Записывают:
Это правило называется "правилом треугольника" (рис. 1). Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма" (рис. 2): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой и этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов и .
Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.
На рис. 3 построена сумма четырех векторов +++.
Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах , ,, как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (рис. 4):
Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , одинаково с вектором направленный в случае 0 и противоположно с ним направленный в случае 0. Записывают:
Когда =0, для любого вектора произведение равно нуль-вектору:
Когда = 1, (-1)=- - вектор, противоположный вектору .
Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что =, где - число, имеем два коллинеарных вектора и. Иначе говоря, равенство = является условием коллинеарности векторов и.
Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: =, =.
Требуется выразить через векторы и вектор , где О - точка пересечения медиан треугольника.
Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому =2/3, где точка D - середина стороны СВ.
В треугольнике САD вектор =+= -1/2+.
Искомый вектор =-2/3(-1/2+)= 1/3-2/3.
Итак, =1/3-2/3. Заметим, что разность векторов и можно рассматривать как сумму вектора и вектора, противоположного вектору :
В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор =-=1/2-.
Если вектор умножить на число 1/, получим так называемый единичный вектор вектора (или орт вектора ), который обозначается 0 . Итак, орт вектора или единичный вектор вектора
Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать , , соответственно.
Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:
1) +=+ - перестановочный закон сложения;
2) +(+)=(+)+ - сочетательный закон сложения;
3) () = () - сочетательный закон умножения на число;
5) (+)=+ - распределительные законы.
Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора - точка М.
Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.
Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор задается двумя координатами.
В пространстве вектор задается тремя координатами х, у и z.
Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Если даны координаты векторов и =(х 1 , у 1 , z 1 ), =(х 2 , у 2 , z 2 ) и
то координаты векторов , , легко находятся:
=(х 1 +х 2 ; у 1 +у 2 ; z 1 +z 2 ),
На рис. 5 и рис. 6 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю.
Если вектор ограничен двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х 1 , у 1 , z 1 ), т. В (х 2 , у 2 , z 2 ), то легко найти координаты самого вектора .
На рис. 7 видно, что вектор можно получить как разность векторов и , где т. О - начало координат:
=(х 1 , у 1 , z 1 ) , = (х 2 , у 2, z 2 ).
Тогда координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:
=(х 2 -х 1 ; у 2 -у 1 ; z 2 -z 1 ).
Расстояние между точками А и В вычислим как длину вектора :
Углом между векторами и назовем наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с другим.
Покажем угол между вектором и координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через . Пусть =.
Обозначим через , , углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда
Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:
Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора
В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами - скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначают скалярное произведение векторов и символами
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
4. Если векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е. =0.
Условие =0 поэтому и называют условием перпендикулярности векторов.
5. =. Отсюда получают правило для вычисления длины вектора:
Если известны координаты векторов и , то легко показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов, т. е. если =(х 1 , у 1 , z 1 ) и =(х 2 , у 2 , z 2 ), то
Условие перпендикулярности тогда примет вид:
Пусть, например, даны векторы = (2, -1, 2), = (1, 0, 4), = (3, 4, -1).
Мы обнаружили, что векторы и образуют прямой угол.
Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле
П ростейшие задачи метода координат
При решении чисто геометрических задач используются формулы и правила, позволяющие вычислить длину отрезка или вектора, расстояние между точками, угол между векторами или осями, найти точку, делящую данный отрезок.
А (х 1 , у 1 , z 1 ) и В(х 2 , y 2 , z 2 ):
Эта же формула позволяет вычислить длину вектора.
2. Деление отрезка в данном отношении
Пусть в пространстве даны две точки М 1 и М 2 . Говорят, что точка М делит отрезок М 1 М 2 . в отношении , если
Точка М делит отрезок М 1 М 2 в отношении .
Точка N делит тот же отрезок М 1 М 2 в отношении .
Видимо, при мы получим середину отрезка.
Если известны координаты начала М 1 и конца М 2 отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М 1 М 2 в отношении , находят по формулам:
где т. М 1 (х 1 , у 1 , z 1 ), т. М 2 (х 2 , у 2 , z 2 ), т. М(х, у, z).
Координаты середины отрезка получают при :
Например, если т. А(-2, 3, 4), т. В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:
Итак, точка С(-1, 2, 1) является серединой отрезка АВ.
3. Угол между векторами вычисляется по формуле
4. Условие перпендикулярности двух векторов: х 1 х 2 +у 1 у 2 +z 1 z 2 =0.
5. Условие коллинеарности двух векторов:
Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.
Даны три вершины параллелограмма: А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В.
Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.
Пусть точка М - точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.
Тогда точка М - середина отрезка АС; координаты точки М найдем из формул:
Но точка М является серединой и отрезка ВD. Поэтому верны равенства:
Из этих равенств находим координаты вершины D(-4, -1).
Проверить правильность решения можно, построив все вершины параллелограмма.
Найти центр тяжести треугольника, зная координаты его вершин: А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1). Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой медианы в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка М делит отрезок СD в отношении =2, а точка D - середина стороны АВ. ;
Середина стороны АВ - точка D(-2;2). Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD.
Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке М(-2,1).
Построим все точки и убедимся, что решение верно.
Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D (3; 1; 4), есть квадрат.
Квадратом является четырехугольник, у которого стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.
Запишем координаты векторов, совпадающих со сторонами:
Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.
=1(-2)+2(-1)+(-2)(-2)=-2-2+4=0, что и доказывает, что .
=(-2)(-1)+(-1)(-2)+(-2)2=2+2-4=0, т. е. .
Мы установили, что стороны четырехугольника взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.
Итак, АВСD - квадрат. Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на плоскости, а в пространстве.
У равнение линии. Прямая на плоскости
Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.
Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.
Определение. Уравнение F(х, у)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
В этом случае говорят: уравнение F(х, у)=0 определяет эту линию.
Показать, что уравнение х 2 +у 2 =r 2 определяет окружность.
Окружностью называется множество точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки постоянно. Пусть М(х, у) - любая точка плоскости. Расстояние этой точки от начала координат
Тогда уравнению х 2 +у 2 =r 2 удовлетворяют только те точки, для которых r, т. е. точки, лежащие на окружности радиуса r с центром в начале координат. Если же точка не лежит на окружности, то расстояние r.
Итак, уравнению х 2 +у 2 =r 2 удовлетворяют координаты любой точки окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Значит, уравнение х 2 +у 2 =r 2 определяет окружность при любом r0.
Очевидно, уравнение (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 =r 2 определяет окружность с центром в точке С(х 0 , у 0 ) радиуса r0.
Например, уравнение х 2 +(у+1) 2 =1 определяет окружность радиуса r=1 с центром в точке С(0; -1).
Простейшей линией является прямая на плоскости. Рассмотрим различные виды уравнения прямой.
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М 0 (х 0 ,у 0 ) перпендикулярно данному вектору = (А; В).
Чтобы вывести уравнение прямой, возьмем на ней любую точку М(х, у), которая может по прямой перемещаться.
В любом случае вектор , ограниченный данной точкой М 0 (х 0 ,у 0 ) и произвольной точкой М(х, у), всегда лежит на прямой и поэтому перпендикулярен данному вектору (А; В). Найдем координаты вектора и запишем условие перпендикулярности векторов и .
Полученному уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не могут удовлетворять координаты точки, не лежащей на прямой (тогда условие перпендикулярности не будет выполняться).
А (х - х о ) + В (у - у 0 ) = 0 (1)
- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор (А; В) называют нормальным вектором.
А х + В у + (-А х 0 - В у о ) = 0
Обозначим число - А х 0 - В у 0 = С. Уравнение прямой примет вид:
Его называют общим уравнением прямой, а коэффициенты при х и у задают нормальный вектор .
Заметим, что уравнение прямой - уравнение первой степени с двумя переменными. Поэтому в аналитической геометрии прямую линию называют линией первого порядка.
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М 0 (х 0 , у 0 ) параллельно данному вектору =(m; n).
Пусть М(х, у) - любая точка прямой. Тогда векторы и всегда коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов ; у-у 0 ) и =(m; n):
уравнение прямой, параллельной вектору =(m; n).
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1 (х 1 , у 1 ) и М 2 (х 2 , у 2 )
Для любой точки М(х, у) прямой векторы =(х - х 1 ; у - у 1 ) и = (х 2 - х 1; у 2 -у 1 ) всегда коллинеарны, а потому
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Выведем уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0, у 0 ) под углом к оси абсцисс Ох.
Угол между прямой и осью Ох называют углом наклона прямой, а угловым коэффициентом k прямой называют тангенс угла наклона этой прямой, т. е. k =tg.
Для любой точки М(х, у) прямой отношение равно , поэтому или у-у 0 =k(х-х 0 ).
Получили уравнение прямой, проходящей через данную точку М 0 (х 0 , у 0 ) в заданном направлении
Здесь - угловой коэффициент прямой. Угол наклона
Если точка М 0 - точка пересечения прямой с осью ординат Оу, то ее координаты х 0 = 0, у 0 = b. Уравнение принимает вид: у-b=kx, или
- уравнение прямой с угловым коэффициентом, b - начальная ордината прямой.
Пусть даны две прямые своими общими уравнениями:
А 1 х+В 1 у+С 1 =0 и А 2 х+В 2 у+С 2 =0
Так как = (А 1 ; В 1 ) и - нормальные векторы данных прямых, то угол между прямыми равен углу между нормальными векторами и .
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: и , то угол между ними удобнее вычислять по формуле:
доказательство которой легко усматривается из рисунка:
Если прямые перпендикулярны, то 1 + k 1 k 2 = 0 и .
Проверить, что четыре точки А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение высоты, опущенной из вершины А.
В трапеции две стороны параллельны, а две - нет. Составим уравнения каждой из четырех сторон по формуле (4).
Сравним угловые коэффициенты полученных прямых; они равны для прямых ВС и DA: .
ВС и DA - основания трапеции, АВ и СD - боковые стороны ее.
Высота трапеции перпендикулярна основанию, и угловой коэффициент прямой, совпадающей с высотой, равен . Составим уравнение прямой, проходящей через точку А(-2,-2) с угловым коэффициентом k= по формуле (5):
Построением убедимся в правильности решения.
Прямая на плоскости является линией первого порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными. Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
В п. 4 было получено уравнение окружности с центром С(х 0 , у 0 ) и радиусом r:
(х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 = r 2 (7)
Из этого уравнения можно получить так называемое общее уравнение окружности: x 2 +y 2 +mx+ny+p=0. Заметим, что коэффициенты при х 2 и у 2 в уравнении окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х 2 и у 2 будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять эллипс.
Простейшее (каноническое) уравнение эллипса имеет вид:
Чтобы построить такой эллипс, отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А 1 (a, 0), А 2 (-а, 0), В 1 (0, b), В 2 (0, -b), называемые вершинами эллипса. Расстояние между вершинами А 1 А 2 =2а и В 1 В 2 =2b называют осями, а числа а и b - полуосями эллипса (а0, b0). Из уравнения (8) эллипса видно, что эллипс - фигура, симметричная относительно обеих осей и начала координат. Для точного построения эллипса используем определение:
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F 1 и F 2 , называемых фокусами, есть величина постоянная.
Фокусы F 1 (c, 0) и F 2 (-c, 0) построим, учитывая,
По определению сумма остается постоянной для любой точки М(х, у) эллипса.
Если центр симметрии эллипса расположен в точке С(х 0 , у 0 ) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение эллипса:
В школьном курсе гипербола рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости .
Рассмотрим более общий случай гиперболы, начав с ее определения:
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:
Как видно, коэффициенты при х 2 и у 2 имеют разные знаки.
Числа а и b (а0 и b0) называются полуосями гиперболы.
Точки А 1 (а,0), А 2 (-а,0), В 1 (0,b) и В 2 (0,-b) называют вершинами гиперболы.
Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А 1 , А 2 , В 1 , В 2 параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот
Через вершины А 1 (а, 0) и А 2 (-а, 0) проведем теперь две симметричные относительно координатных осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии - точки О(0,0) - они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их.
Если же центр симметрии гиперболы расположен в точке С(х 0 , у 0 ) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:
Укажем, что гипербола является и графиком дробно-линейной функции .
Параболу в школьном курсе рассматривают как график квадратного трехчлена у=ах 2 +bх+с.
Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, это уравнение легко привести к виду
Здесь точка С(х 0 , у 0 ) - вершина параболы, ось симметрии параллельна Оу. Коэффициент р(р>0) называют параметром параболы. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус - вниз.
Можно рассмотреть параболу с осью симметрией, параллельной оси Ох. Ее уравнение имеет вид
Отметим, что уравнение параболы содержит квадрат только одной переменной: либо х (формула 11), либо у (формула 12).
Дадим определение, которое часто фигурирует как определение параболы. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки.
В основу метода координат положены две идеи:
Переменная - величина, которая принимает различные значения. Чаще всего обозначается буквами латинского алфавита: х, у, z и т.д.
Аргумент функции - независимая переменная. Это произвольный элемент из области определения. Обозначается обычно буквой х латинского алфавита. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х);
- использование прямолинейных (декартовых) координат.
Возьмем две взаимно перпендикулярные координатные прямые Ох и Оу с равными единичными отрезками. Точка пересечения координатных прямых О называется началом координат, координатная прямая Ох - осью абсцисс, а Оу - осью ординат. Т.о., мы задали систему координат. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.
Возьмем точку А координатной плоскости и проведем через нее прямые l 1 и l 2 , параллельные координатным осям. Абсциссой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l 1 и оси абсцисс. Ординатой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l 2 и оси ординат. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки А в прямоугольной декартовой системе координат.
В заключение обзора кривых второго порядка отметим, что эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов. Такие термины, как «эллиптическая орбита», «эллипсоид инерции», «параболическая траектория», «параболическое зеркало» и т.д., убеждают в широком применении кривых второго порядка.
Список использованной литературы
1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 2-е изд. - М., 2004.
2.Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. - 2-е изд. - М., 2007.
3.Бугров Я.С. Высшая математика. Задачник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2010.
4.Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2004.
5.Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд. - М., 2008.
6.Декарт Р. Избранные произведения. ? М., 1950.
7.Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - 2-е изд. - М., 2011.
8.Кривич М., Ольгин О. Мастерские науки. - 2-е изд. - М., 2004.
9.Кузнецов Б.Т. От Галилея до Эйнштейна. - 2-е изд. - М., 2006.
11.Меркулов И.П. Гипотетико-дедуктивная модель и развитие научного знания. - 2-е изд. - М., 2010.
Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости. учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011
Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач. курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009
Краткая историческая сводка о системе координат. Криволинейные, полярные и сферические системы координат. Рене Декарт - французский философ, физик и математик. Декартова прямоугольная система координат (на плоскости и в трёхмерном пространстве). презентация [640,7 K], добавлен 29.06.2010
Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора. контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014
Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы. творческая работа [481,5 K], добавлен 23.06.2009
Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат. контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009
Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций. курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Декартовы координаты курсовая работа. Математика.
Декабрьское Сочинение 2022 2022 Количество Слов
Контрольная Работа 9 Класс Модуль 2 Spotlight
Отношения В Семье Сочинение На Английском
Реферат: President Clintons Administration Essay Research Paper Last
Реферат по теме Современные медицинские технологии, их роль и возможности внедрения
Реферат: Инвестирование
Дипломная работа по теме Проект лабораторного стенда по исследованию приемника АМ сигнала
Курсовая работа: Трудовые права иностранных граждан и лиц без гражданства в Российск
Эссе по теме Кто он Чингиз-хан?
Шпаргалка: Основы и понятия политического менеджмента
Реферат: Dark side of the monn - Жизнь после смерти. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Страховая система в Германии
Курсовая работа: Формальные и неформальные группы в коллективе
Курсовая работа по теме Понятие конституционного строя и его основ
Функционально Стоимостной Анализ Курсовая Работа
Индивидуальный План Тренировок По Волейболу Эссе
Дипломная работа по теме Использование лечебно-физической культуры при заболеваниях органов пищеварения
Дипломная Работа На Тему Принцип Дії Прийомної Антени
Виртуальные Лабораторные Работы По Физике 7
Образование Централизованного Российского Государства Реферат
Парламент в современном мире - Государство и право контрольная работа
Входження Криму до складу України - История и исторические личности статья
Социальная защита граждан - Государство и право курсовая работа