Действительные Числа Реферат
Действительные Числа Реферат
Реферат на тему: Вещественное число
Веще́ственное , или действи́тельное число [1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2] .
Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами .
Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой . Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.
Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия [3] . Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере [3] была создана строгая теория вещественных чисел.
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.
Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом. [4]
Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины , то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др. [5]
Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным». [6] После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе [7] , где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил: [6]
Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.
Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону: [8]
Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало. [9] Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.
Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.
Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана [10] . В более поздней работе [11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств [12] , но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.
Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.
При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.
Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.
Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда [3] [13] .
В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши :
Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными .
Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел { a n } , обозначим [ a n ] .
определённые соответственно фундаментальными последовательностями { a n } и { b n } , называются равными , если
Если даны два вещественных числа α = [ a n ] и β = [ b n ] , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей { a n } и { b n } :
Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число α = [ a n ] по определению больше числа β = [ b n ] , то есть α > β , если
Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным , то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.
Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , то есть выражение вида
где есть один из символов + или - , называемый знаком числа, a 0 — целое неотрицательное число, — последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .
Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида
Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа
Если a 0 < b 0 , то α < β ; если a 0 > b 0 то α > β . В случае равенства a 0 = b 0 переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд n , такой что . Если a n < b n , то α < β ; если a n > b n то α > β .
Однако, при этом следует учитывать, что число . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.
Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение [14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел α и β называется вещественное число α + β , удовлетворяющее следующему условию:
Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.
В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.
Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний A и верхний A ' , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:
Если существует число α , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества A и A ' : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от α . Говорят также, что рациональное число α производит данное сечение множества рациональных чисел.
Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества A и A ' . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число α , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:
Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел , а его элементы — вещественными числами .
Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел α и β называется вещественное число α + β , удовлетворяющее следующему условию:
Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.
В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.
Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».
Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.
Здесь уместно привести знаменитое высказывает Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:
Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:
На множестве определено отображение ( операция сложения )
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a , b из некоторый элемент a + b , называемый суммой a и b . Также, на множестве определено отображение ( операция умножения )
сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a , b из некоторый элемент , называемый произведением a и b . При этом имеют место следующие свойства.
Между элементами определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов a , b из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.
Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.
Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.
Действительные числа
Реферат Действительные числа
История развития действительных чисел . Реферат . Математика.
Действительные числа - Реферат
Действительные числа : определение, примеры, представления...
Действительные числа | Образовательная социальная сеть
Реферат : "История развития действительных чисел ..."
Действительные числа
Реферат : Зарождение и создание теории действительного числа
Реферат - Действительные числа . Иррациональные...
Создание теории действительного числа
Реферат - История становления действительных чисел
Теория о действительных числах
Реферат на тему "Развитие понятия о числе "
Мое Отношение К Пагубным Привычкам Реферат
Реферат По Физике Физика И Медицина
Книга На Которую Ссылается Автор Реферата
Голодные Игры Аргумент Для Итогового Сочинения
Право И Моральные Ценности Курсовая Работа